电子科技大学-随机过程-覃思义-第五章sjgc5.4

电子科技大学§5.4平稳过程的谱分析简介付氏变换在应用和理论中是一种有效的分析方法,特别在电路分析中用付氏变换确立了时域和频域间的关系.现用付氏变换来研究平稳过程.一、确定函数的功率谱密度电子科技大学设x(t)是定义在时间轴上的确定函数(信号),满足,)(2dttx)1()()(dtetxFtjx则x(t)的付氏变换存在,或称x(t)具有频谱:是复函数，有一般)(xF,)()()(xtjxFdtetxF电子科技大学的逆变换为)(xF)2()(21)(dteFtxtjxParseval(巴塞瓦尔)公式成立：)3()(21)(22dFdttx为能谱密度，称2)(Fx(t)在R上的总能量.)3表示式为信号的总能量的谱（电子科技大学）（若令0.,0;),()(TTtTttxtxT的付氏变换记为)(txTTTtjtjTdtetxdtetxTF)()(),(且巴塞瓦尔公式为dTFdttxT22),(21)]([二、平稳过程的功率谱密度电子科技大学均方积分均方连续设过程,}),({RttXTTtjXdtetXTF)(),(存在,且有巴塞瓦尔等式)3(),(2121)(2122TTdTFTdttXT成立.上式两边求均值再取极限,左端为)4()(21lim2TTTdttXTE电子科技大学称为平稳过程X(t)的平均功率.若(4)中的积分与求均值可交换顺序,则222)0(])([})({21limXXTTTRtXEdttXET平均功率等于过程的均方值(3′)式右端为dTFETT}),([21{lim212，记]),([21lim)(2TFETSXTX电子科技大学称为平稳过程X(t)的功率谱密度(功率谱,谱密度).从频率角度描述平稳过程统计规律的主要数字特征.注巴塞瓦尔等式可表示为)5(212dSXX称为平稳过程的平均功率谱表示式.电子科技大学三、平稳过程相关函数的谱分解研究平稳过程的相关函数与功率谱密度间的关系.定理5.4.1(维纳—辛钦)设{X(t),t∈T}是均方连续平稳过程，E[X(t)]=0,当其相关函数R(τ)满足,)(dR有电子科技大学)6(,)(21)R()5(,)()S(deSdeRjj平稳过程的相关函数与功率谱密度构成一对Fourier变换.(6)式称为相关函数的谱分解式.注推论1{X(t),t∈R}是平稳过程,则其谱密度S(ω)满足电子科技大学1)S(ω)为实值非负函数，即.0)()(SS2)又若{X(t),t∈R}是实过程,则S(ω)是偶函数.;0)(]),([21lim)()12STFETST证2)实平稳过程的相关函数是偶函数,由(5)式可得deRdeRSjj)()()(电子科技大学dueuRuj)().()()(SdueuRuj推论2若{X(t),t∈R}为实平稳过程,则因R(τ)与S(ω)均为偶函数.)5(cos)(2)(0dRS'6,cos)(1)(0dSRX注由付氏变换性质,可得谱密度及相关函数的关系及性质,参见P130~P132.电子科技大学),()(XSEX.1设平稳过程的功率谱密度为).(XR求相关函数解.0,0;0,)(xxx其中,1)(dtt有),()()(00tfdttftt和.2121)(21)(0jjXedeR电子科技大学EX.2设平稳过程的相关函数为,cos)(2aRX求其功率谱密度.改写为将解)(XR),(2)(2iaiaXeeR有互为付氏变换对的关系与因,)()(XXRS,)(21)(2)(2dSeeeRXiiaiaX电子科技大学)].()([)(2aaSX故四、谱密度的数学讨论以上是从工程的角度，将确定函数的谱密度概念引入平稳过程,得到了相关函数的谱展式,现从数学的角度进一步讨论.引理（波赫纳Bochner-辛钦Khintchine定理）函数ψ(t)为特征函数的充分必要条件是ψ(t)在R是一致连续，非负定且ψ(0)=1.电子科技大学定理5.4.2(维纳—辛钦)均方连续平稳过程{X(t),t∈T}的相关函数RX(τ)可表示为)7(),(21)(RdFeRXtjX其中F(ω)是R上的非负有界,单调不减,右连续函数,且FX(-∞)=0，FX(+∞)=2RX(0).证若RX(0)=0,则RX(τ)≡0，取FX(ω)≡0即可.电子科技大学若RX(0)0，令)0()()(XXRRf,1)0()0()0(XXRRf有，非负定因是非负定函数，))(()(Rf.上一致连续且在R由过程的均方连续性及平稳性推知.根据由波赫纳－辛钦定理，f(τ)一定是某一随机变量(或分布函数)的特征函数，存在分布函数G(ω),使电子科技大学)0()()(XXRRf)(dGetj令FX(ω)=2πRX(0)G(ω)即为定理所求.注RdFeRXtjX),(21)(称为平稳过程相关函数的谱展式.定义5.4.1称FX(ω)为过程{X(t),t∈T}的谱函数，若存在SX(ω)，使RdSFXX,)()(11电子科技大学称SX(ω)为过程的谱密度.利用特征函数和分布函数之间的关系,可证得定理5.4.1(维纳—辛钦).定理5.4.3设{X(t),t∈R}是均方连续的平稳过程,E[X(t)]=m,相关函数为RX(τ),谱函数为F(ω),则以下三个命题等价：;)(21l.i.m)1mdttXTTTT（均值各态历经）电子科技大学2)F(ω)在ω处连续；.0)(21lim)3TTXTdCT