电子科技大学-随机过程-覃思义-第一章1sjgc1.5

特征函数特征函数电子科技大学一、特征函数的定义及例设X,Y是实随机变量,复随机变量Z=X+jY,的数学期望定义为1j),()()(YEjXEZE特别§1.5特征函数特征函数特征函数电子科技大学)(sin)(cosxtxdFjxtxdF)(xdFeitx注,Rt1）costx和sintx均为有界函数,故()jtXEe总存在.2)是实变量t的复值函数.()jtXEe)sin()cos()(tXjEtXEeEjtXX是实随机变量求随机变量X的函数的数学期望特征函数特征函数电子科技大学定义1.5.1设X是定义在(Ω,F,P)上的随机变量,称()(),jtXjtxEeedFxtR为X的特征函数.关于X的分布函数的Fourier-Stieltjes变换当X是连续型随机变量;)()(φdxxfetjtx.)(φkkjtxpetk当X是离散型随机变量)(φt特征函数特征函数电子科技大学,1}{cXPEx.1单点分布R.,)()(φteeEtjtcjtcEx.2两点分布pepetjtjt10)1()(φ.,1RtpeqpepjtjtEx.3二项分布Rtpeqtnjt,)()(φEx.4泊松分布Rtetjte,)(φ)1(特征函数特征函数电子科技大学0)(φdxeetxjtx00sincostxdxejtxdxexxRtjtttjt,112222)0λ(0.0,0;,)(xxexfxEx.5指数分布特征函数特征函数电子科技大学Ex.6均匀分布],,[aaURtatatt,sin)(φEx.7正态分布N(m,s2)σ2212φ(),jttttRem特别正态分布N(0,1)，则Rttte,221)(φ特征函数特征函数电子科技大学2()221()2jtxxteedxmssxums2()212ujtueedums222()12212ujtjtteedusms证明σπσ22()21(),2xfxexRm2122,jtttRems特征函数特征函数电子科技大学二、特征函数性质性质1.5.1随机变量X的特征函数满足：;1)0(φ)(φ)1t.)(φ)(φ)2tt22)(sin)(cos)(φ)1tXjEtXEt证22)](sin[)](cos[tXEtXE22[(cos)][(sin)]EtXEtX1])(sin)[(cos22tXtXE司蒂阶积分性质或矩的性质)0(φ特征函数特征函数电子科技大学)()(φ)2jtXeEt)(sin)(costXjEtXE)(sin)(costXjEtXE)][sin()][cos(tXjEtXE][)(XtjeE性质1.5.2随机变量X的特征函数为则Y=aX+b的特征函数是,)(φtX)(φ)(φatetXjbtYa,b是常数.)(φt特征函数特征函数电子科技大学Ex.8设Y～N(m,σ2),求其特征函数.解设X～N(0,1),有Y=sX+m,且.,)(φ221RtettXσ221σ2φ()φ(),.YXjtjttteteetRmm证()()φ()[][]φ()jaXbtYjbtjatXjbtXtEeEeeeat特征函数特征函数电子科技大学0,ε0,δ性质1.5.3随机变量X的特征函数在R上一致连续.)(φtε)(φ)(φthtδh使时,对t一致地有一般，t)εδδ,(性质1.5.4特征函数是非负定的函数，即对任意正整数n,任意复数z1,z2,…,zn,及,Rtrnrnssrsrzztt110.)(有,,,21,nr特征函数特征函数电子科技大学证)()()(111,xdFezzzzttstrtjnrnsnsrsrsrsr)(][1,xdFeezznsrsrxsjtxrjt.0)(21xdFeznrrxrjt注以上性质中一致连续性，非负定性是本质性的.1,)0(φ特征函数特征函数电子科技大学定理1.5.1(波赫纳—辛钦)函数为特征函数的充分必要条件是在R上一致连续，非负定且)(φt.1)0(φ定理1.5.2若随机变量X的n阶矩存在,则X的特征函数的k阶)(φt导数存在,且)(φtk)((0),φ)()(nkjXEkkk三、特征函数与矩的关系注逆不真.特征函数特征函数电子科技大学证仅证连续型情形设X的概率密度为f(x)，有)()]([xfexjdtxfedjtxkkkjtxk][)()(kkkjtxXEdxxfxdxxfxe()()kjtxkkkjtXjexfxdxjEXe两边求导，得对dxxfetjtx)()(φ)(φ)(tk特征函数特征函数电子科技大学令t=0，得故Ex.9随机变量X的概率密度为.0,;2π2π,cos21)(其它xxxf.)()(XDXE和求解2π0))()((coscos212)(φxfxfdxtxt)()0(φ)(kkkXEj)0(φ)()(kkkjXE特征函数特征函数电子科技大学2π0)1(cos)1(cos21dxxtxt.,]2π)1(sin[11]2π)1[(sin1121Rttttt.π412)0(0,)0(φ2因故2.π41π412220)0(φ)(1jXE)0(φ)()(22jXEXD特征函数特征函数电子科技大学三、反演公式及唯一性定理由随机变量X的分布函数可惟一确定其特征函数：)(φ)(txF问题能否由X的特征函数唯一确定其分布函数？)()(φxFt)()(φxFt？从而特征函数特征函数电子科技大学定理1.5.3（反演公式）设随机变量X的分布函数和特征函数分别为F(x)和,)(t.)(φ2π1lim)()(2112dttiteexFxFTTitxitxT则对F(x)的任意连续点x1,x2,（x1x2）,有推论1(唯一性定理)分布函数F1(x)和F2(x)恒等的充要条件是它们的特征函数和恒等.)(1t)(2t特征函数特征函数电子科技大学推论2若随机变量X的特征函数在R上绝对可积，则X为连续型随机变量，其概率密度为)(tdttexfitx)(φ)(2π1反演公式注对于连续型随机变量X，概率密度与特征函数互为富氏变换(仅差一个负号).2.1,0,,kkXPpk其特征函数为推论3随机变量X是离散型的,其分布律为特征函数特征函数电子科技大学kiktkRtept.,)(φππ)(φ2π1dttepitkk且反演公式ππππeφ()itkistitkkstdtpeedt,Ns证设有ππππe20itskkkksskpdtpdtp特征函数特征函数电子科技大学ππ.)(φ2π1dttepitkkππe0.itksskdt其中，当时Ex.9随机变量X在[]上服从均匀分布,Y=cosX,利用特征函数求Y的概率密度.,2π2π解X的概率密度为.0,]2π,2π[,π1)(其它xxf特征函数特征函数电子科技大学Y的特征函数为)()()(cosXititYYeEeEt2π2π2π0coscosπ12π1dxedxexitxit偶函数令dxuxdxduxu21sin,cos102112)(duuetituY特征函数特征函数根据特征函数与分布函数一一对应的惟一性定理,知随机变量Y的概率密度为.0.1;0,11π2)(2其它yyyfYEx.10已知随机变量X的特征函数为Rttt,cos)(2试求X的概率分布.特征函数特征函数电子科技大学解22)2(cos)(jtjteettjtjtee22412141}2{}0{}2{202XPeXPeXPejtjtjt根据特征函数与分布函数一一对应的惟一性定理,知随机变量X的分布律为X202p1/41/21/4特征函数特征函数电子科技大学四、独立随机变量和的特征函数nkkXY1)(φ)(φ1ttkXnkY则定理1.5.4随机变量X1,X2,…,Xn相互独立,令Ex.11随机变量Y～B(n,p),写出其特征函数.解二项分布随机变量Y可表示为,且nkkXY1Xk～B(1,p),k=1,2,…,n,相互独立,故Y的特征函数为nitXnkYpeqttk)()(φ)(φ1特征函数特征函数电子科技大学Ex.12若X1,X2,…,Xn相互独立,且Xk～N(0,1),证明也服从N(0,1)分布.nkkXnY1122)(tket证Xk的特征函数为,则RtettntXnkXknkk,)(φ)(φ2121212φ()φ(),nkktYXttetRn从而由唯一性定理知,Y～N(0,1).特征函数特征函数电子科技大学五、多维随机变量的特征函数定义1.5.2二维随机变量(X,Y)的特征函数定义为1212φ(,)[e]jtXtYttE12(,)jtxtyedFxy连续型1212φ(,)(,)jtxtyttefxydxdy特征函数特征函数电子科技大学12s,.rjtxtyrsrsep离散型定义1.5.3n维随机向量(X1,X2,…,Xn)的分布函数为F(x1,x2,…,xn),则它的特征函数为11()12φ(,,,)[]nnjtXtXntttEe111(,,)nnnjtxtxedFxx1212φ(,)[e]jtXtYttE特征函数特征函数电子科技大学性质1.5.51)随机变量X1,X2,…,Xn相互独立的充要条件是),,,(φ21nttt)(φ1kXnktk与独立和的特征函数性质有什么nkkXY1差别?2)二维随机变量(X,Y)的特征函数为),,(φ21tt则Z=aX+bY+c的特征函数为.),,(φ)(φRtbtatetitcZ特征函数特征函数电子科技大学),(φ)(φtttYX特别有φ()[][e]jtaXbYcjtaXbYjtcZtEeeE证[]jtcjatXjbtYeeφ(,).jtcEatbtEx.13设(X1,X2)服从二维正态分布,且E(Xk)=k,k=1,2,记.1,2.,,,),(ovjkjkXXCKjkij特征函数特征函数电子科技大学),(φ21,21ttXX解)4322(21)2(22212121ttttttie求Y=X1+X2的特征函数.]σσ2ρσ[21)μμ(2222212121212211ttttttieσ),(φ)(21,tttXXY263ttie特征函数特征函数电子科技大学.,ee212213Rttti故Y=X1+X2～N(3,12).