电子科技大学-随机过程-覃思义-第四章sjgc4.3

电子科技大学§4.3随机过程的均方极限与均方连续本节将二阶矩随机变量空间中的均方极限概念引入二阶矩随机过程中,并引进均方连续的概念.一、二阶矩过程二阶矩过程是一类重要的随机过程，在物理、生物、通讯与控制、系统工程与管理科学等方面，有广泛的应用.电子科技大学1）随机过程的概率性质由其分布函数族完全确定，但在实际问题中很难确定出分布函数族.2）正态随机过程的一、二阶矩就能完全确定其有限维分布.3）不少实际问题通过对二阶矩的讨论就足以了解过程的统计特征.电子科技大学定义4.3.1如过程XT={X(t),t∈T},对任意t∈T,有})({2tXE称过程是二阶矩过程..二阶矩过程的均值函数和协方差函数一定存在.高阶矩存在则低阶矩及其他同阶一定存在.注随机变量矩性质:正态过程是二阶矩过程.电子科技大学EX.1余弦波过程X(t)=Acos(ωt+Q),t≥0.振幅A与角频率ω取常数，相位Q～U(－p,+p)ppp.0,21)(cos)(2222tAdtAtXE因故X(t)是一个二阶矩过程.ppp,021)cos()}({dtAtXE且)]()([),(sXtXEtsR]21)cos()cos(2pppdstA电子科技大学2211cos()cos,22AtsA()ts二、二阶矩过程的均方极限定义4.3.2设{X(t),t∈T}是二阶矩过程,X∈H,如果0)(lim)),((lim00XtXXtXdtttt称X(t)均方收敛于X,记为XtXtt)(l.i.m0成立的充分必要条件是XtXtt)(l.i.m0注电子科技大学有若对任意的数列),(},{0ktttkkl.i.m()kkXtX随机过程有类似随机变量序列的均方收敛意义下的性质.定理4.3.1(洛易夫均方收敛准则)X(t)在t0处收敛的充分必要条件是极限))()((lim0,tXsXEtts存在.二重极限电子科技大学二、二阶矩过程的均方连续定义4.3.3称二阶矩过程{X(t),t∈T}在t0∈T处均方连续,如果)()(l.i.m00tXtXtt若X(t)对都均方连续,称随机过程Tt{X(t),t∈T}是均方连续的.电子科技大学定理4.3.2(均方连续准则)二阶矩过程{X(t),t∈T}在t0∈T处连续的充分必要条件是{X(t),t∈T}的相关函数R(s,t)在(t0,t0)处连续.证由均方收敛准则知)()(l.i.m00tXtXtt])()([))()((lim00,0tXtXEtXsXEtts定理4.3.1及均方连续定义).,(),(lim00,0ttRtsRtts即电子科技大学参见P73定理4的证明.定理4.3.3二阶矩过程的均方连续相关函数R(s,t)在对角线上连续.均方连续准则的重要性:二阶矩过程的均方连续可由其相关函数的普通意义下的连续性来确定.推论1二阶矩过程{X(t),t∈T}的相关函数R(s,t)对Tt在点(t,t)处连续,则它在T×T上连续.均方连续的重要结论：电子科技大学0TTtsR(s,t)在整个区域T×T上连续，等价于在对角线上连续.处连续在对证),(,),(ttTttsR定理4.3.2{X(t),t∈T}在T上均方连续有对,,00Tts),()(l.i.m00sXsXss)()(l.i.m00tXtXtt电子科技大学定理4.2.5之1)])()([))()((lim0000tXsXEtXsXEttss),(),(lim0000tsRtsRttss即由s0,t0的任意性知R(s,t)在T×T上连续.EX.2{N(t),t≥0}为参数为λ的Poisson过程,,)(ttmN均值函数sttstsRN2),min(),(自相关函数在(t,t)处连续,故{N(t),t≥0}是均方连续过程.电子科技大学N(t)Poisson过程的每一条样本函数都是跃度为1的阶梯函数均方连续过程的样本函数可能不连续..EX.3设{W(t),t≥0}是参数为σ2的维纳过程,其自相关函数RW(s,t)=σ2min(s,t)电子科技大学对任意t≥0在(t,t)处连续，维纳过程均方连续.设随机过程X(t)=W2(t),t≥0，其均值函数为E[X(t)]=σ2t.自相关函数为)),(min2(),(24tssttsRX.)(3),(,024是均方连续过程故是连续函数，对任意tXtttRtX.0)1()(均方连续，对所有过程同理tttWtX电子科技大学定理4.3.4若二阶矩随机过程{X(t),t∈T}均方连续，则其均值函数、方差函数也在T上连续.由定理4.2.5可得思考题：1)你认为关于随机过程的均方极限最本质的性质是哪一条?为什么?2)均方连续随机过程的样本函数是否一定是连续函数?