电子科技大学-随机过程-覃思义-第四章sjgc4.1

收敛性与极限定理电子科技大学第四章二阶矩过程的均方微积分§4.2二阶矩随机变量空间及均方极限§4.3随机过程的均方极限与均方连续§4.4随机过程的均方导数§4.5随机过程的均方积分§4.1收敛性与极限定理收敛性与极限定理电子科技大学§4.1收敛性与极限定理一、分布函数弱收敛定义4.1.1对于分布函数列{Fn(x)},如果存在单调不降函数F(x),使,)()(limxFxFnn.)()(xFxFWn在F(x)的每一连续点成立,称Fn(x)弱收敛于F(x).记为收敛性与极限定理电子科技大学分布函数列的极限函数F(x)是有界非降函数，但不一定是分布函数.注定理4.1.1连续性定理（列维－克拉美）正极限定理设分布函数列{Fn(x)}弱收敛于某一分布函数F(x),则相应的特征函数列收敛于特征函数，且在t的任一有限区间内收敛是一致的.{φ()}φ()ntt一致成立.)()(xFxFWn收敛性与极限定理电子科技大学处连续在0)()}(φ{tntt)()(xFxFWn)}(φ{tn)(t逆极限定理设特征函数列收敛于某一函数,且在t=0连续,则相应的分布函数列{Fn(x)}弱收敛于某一分布函数F(x)，而且是F(x)的特征函数.)(t)(t连续性定理可用来确定随机变量序列的极限分布.收敛性与极限定理电子科技大学Ex.1设随机变量序列X1,X2,…相互独立,且Xk～P(λ)（k=1,2,…).nnnnYDYEYY*nkknXY11)求的概率分布;n2)证明：当时,趋于正态分布.解1))1(λ)(φiteket)1(λ1)(φΠ)(φtinknkYeettn收敛性与极限定理电子科技大学()()λ.nnEYDYn即Yn～P(nλ),且2)的特征函数为*nYλφ)(φλ*ntetnnYtniYexp()λλλntniintnneee2λλexp[(1)]2λλittninteennn)]λ2[λ2ntne收敛性与极限定理电子科技大学.,)(φlim22*RtettYnn有由连续性定理的逆定理知当趋于正态分布.*nYn，二、随机变量的收敛性定义4.1.2设随机变量序列{Xn}的分布函数列{Fn(x)}弱收敛于随机变量X的分布函数F(x),称{Xn}依分布收敛于X,记为nasXXWn,收敛性与极限定理电子科技大学定义4.1.3设{Xn},n=1,2,…是定义在(Ω,F,P)上的随机变量序列,若对0,εlimε0,nnPXXlimε1.nnPXX或称随机变量序列{Xn}依概率收敛于X,记为)(limpXXnn.XXpn或收敛性与极限定理电子科技大学定义4.1.4：设{Xn},n=1,2,…是定义在(Ω,F,P)上的随机变量序列,若存在一个随机变量X(可以是常数),使{lim}1nnPXX称随机变量序列{Xn}以概率为1收敛于X，或称几乎处处收敛于X,记为..limsaXXnn...XXsan或收敛性与极限定理电子科技大学定义4.1.5设{Xn},n=1,2,…是定义在(Ω,F,P)上的随机变量序列,若,且2nXE,0][lim2XXEnn称随机变量序列{Xn}均方收敛于X,记为.milXXnn收敛性与极限定理电子科技大学概率为1收敛依概率收敛依分布收敛三、几种收敛性的关系均方收敛收敛性与极限定理电子科技大学证明随机变量序列{Xn}均方收敛于X,则一定依概率收敛于X.从而.0εlimXXPnn22ε][εXXEXXPnn证由马尔科夫不等式,对有0ε收敛性与极限定理电子科技大学四、极限定理定理4.1.2.切比雪夫(Chebyshev)大数定律设Xk，k=1,2…是相互独立的随机变量序列,其数学期望和方差都存在，且存在常数C,使得D(Xn)C,k=1,2,…则对于任意的e＞0，有1}|)(11{|lim11eniiniinXEnXnP收敛性与极限定理电子科技大学则{Xk},k=1,2…服从大数定律，即对任意的e0,有1}|1|{lim1enkknXnP设Xk，k=1,2…是相互独立且同分布的随机变量序列，且E(Xk)=,D(Xk)=s2,k=1,2,…定理4.1.3独立同分布大数定律收敛性与极限定理电子科技大学则{Xk},k=1,2…服从大数定律，即对任意的e0,有1}|1|{lim1enkknXnP设Xk，k=1,2…是相互独立且同分布的随机变量序列，且E(Xk)=，k=1,2,…定理4.1.4辛钦大数定律收敛性与极限定理电子科技大学定理4.1.5贝努里(Bernulli)大数定律1}||{lim,0eepnmPn有的设是n次重复独立试验中事件A发生的频率，nmp是事件A在每次试验中发生的概率。则对任意收敛性与极限定理电子科技大学设{Xk},k=1,2…为相互独立,具有相同分布的随机变量序列,且E(Xk)=,D(Xk)=s2,则{Xk}满足中心极限定理，即有)(lim1xΦxnnXPnkkns定理4.1.6独立同分布中心极限定理的分布函数。是标准正态分布其中)1,0()(NxΦ