电子科技大学-随机过程-覃思义-第三章sjgc3.4

电子科技大学§3.4泊松过程(二)三、更新计数过程定义3.4.1设{N(t),t≥0}是一个计数过程，如果它的时间间隔序列T1,T2,…,Tn,…相互独立同分布，称为更新计数过程.例同类型设备的更新，如一个元件；一个灯泡；一个系统…电子科技大学假定每个更换对象的寿命具有相同的概率密度，则相继两次损坏之间的更新时间T1,T2,…相互独立同分布.定理3.4.1更新计数过程{N(t),t≥0}是泊松过程的充要条件是时间间隔T具有指数分布.等价于时间间隔序列T1,T2,…,Tn,…相互独立同服从相同指数分布.注证由定理3.3.2知必要性,仅需证充分性,应有电子科技大学)0,,2,1,0(,!)(})({kektktNPtk1()(),1iTTuuiuTi的特征函数为指数分布特征函数,1kiikTW等待时间相互独立，故且kTTT,,,21电子科技大学,2,1,]1[1)]([)(kiuuukkTWk由特征函数的反演公式及唯一性定理知,Wk的密度函数为.0,0;0,)!1()()(1ttetktftkkwk分布函数为.0,00,!)(1)(10tteittFkitiwk电子科技大学})({}{ktNtWk因}1)({})({})({ktNPktNPktNP故)()(1tFtFkkww)0,,2,1,0(,!)(kekttk{N(t),t≥0}的概率分布为泊松分布,即N(t)～P(t).电子科技大学一般地，设{N(t),t≥0}为更新计数过程,有：0)()]([)(kktNkPtNEtm3)1),1的特征函数为等待时间kiikTWkWuuTk)]([)(2)有因,})({}{ktNtWk).(1)()(kFtFtNWk电子科技大学思考题如何模拟一个参数为λ的Poisson过程{N(t),t≥0}？1.结合定理3.4.1，并查找相关资料.2.给出算法步骤，并说明算法原理.提示10)()]()([1kWkWWtFtFtFkkkk电子科技大学EX.5调查城市人员流动情况,可在关键路口观察公交车的载客情况，设[0,t)内通过的公交车数N(t)是一个poisson过程，而每辆车的载客人数为ξn，则经公交车通过此路口的人数为：)(1)(tNnntX四、复合泊松过程电子科技大学EX.6若将股票交易次数N(t)看作一个Poisson过程,ξn表示第n次与第n－1次易手前后股票价格差,则X(t)就代表直到t时刻股票的价格变化.定义3.4.2设{N(t),t≥0}是强度为λ的齐次Poisson过程,{ξn,n≥1}是相互独立同分布的随机变量序列，并与N(t)相互独立,称为复合Poisson过程..)(1)(tNnntX电子科技大学定理3.4.2设{X(t),t≥0}是复合泊松过程0)()(1,ttXtNnn其中{N(t),t≥0}是强度为λ的泊松过程，ξn,n=1,2,…相互独立与ξ同分布，有2）ξ的特征函数为的特征函数为则)(),(tXu[()1](,),0.tuXtuet证明见P531）{X(t),t≥0}是独立增量过程。电子科技大学4）方差函数为).()()()(22tEENDtDX3）均值函数为).()()]([)]([)(tEEtNEtXEtmXEX.7保险公司赔偿金储备问题设寿险投保人的死亡数N(t)是强度为λ的poisson过程,ξn表示第n个死亡者的赔偿金额,ξn,n=1,2,…相互独立同分布,ξn服从参数为α的指数分布。Y(t)是保险公司在[0,t)时间段内的总赔付金额,试求平均赔付金额和D[Y(t)].电子科技大学解0)()(1,ttYtNnn是一个复合泊松过程,有).()()]([)]([11tEEtNEtYE1)()(01dxxxfE保险公司在[0,t)时间内平均支付的赔偿金为.1)()]([1ttEtYE122222[()]().tDYttEt电子科技大学EX.8设某仪器受到震动而引起损伤，若震动次数N(t)按强度为λ的Possion过程发生,第k次震动时引起的损伤为Dk,且D1,D2,…相互独立同分布,与{N(t),t≥0}相互独立.又假设仪器受到震动而引起损伤将随时间按指数衰减。需考虑总损伤的平均程度.分析1）设初始损伤为Dk，经时间t后衰减为Dke－αt，t≥0(α0);电子科技大学2）假设各次震动而引起损伤是可叠加的，则在t时刻的总损伤可表示为)(1)(tNkWtkkeDtD其中Wk是第k次受震动的时刻，需求E[D(t)].解由全期望公式][)]([)(1)(tNkWtkkeDEtDE电子科技大学)]}([{)(1)(tNeDEEtNkWtkk对任意正整数n,有])([)(1)(ntNeDEtNkWtkk])([1)(ntNeDEnkWtkkDk与N(t)相互独立Dk与Wk相互独立。])([)(1ntNeEeDEnkWtkk电子科技大学根据定理3.3.4可得])([1ntNeEnkWknkUnkUUenEeEeEkk11)(][][1ttxetndxetn0)1(1)()1()(])()([1DEettNtNtDEt.0),1)(()]([1teDEtDEt电子科技大学1)令Y(t)=N1(t)－N2(t)，t0,求Y(t)的均值函数和相关函数.2)证明X(t)=N1(t)+N2(t),t0,是强度为λ1+λ2的泊松过程.3)证明Y(t)=N1(t)－N2(t)，t0,不是泊松过程.EX.9设N1(t)和N2(t)分别是强度为λ1和λ2的相互独立的泊松过程,五、泊松过程的叠加与分解电子科技大学)]}()()][()({[),(2121tNtNsNsNEtsRY)]()([)]()([)]()([)]()([12212211tNsNEtNsNEtNsNEtNsNE)]([)]([)]([)]([),(),(122121tNEsNEtNEsNEtsRtsRNNststtsstts212222112),min(),min(.2)(),min()(21222121ststts,)()]([)]([)(12121ttNEtNEtmY）解电子科技大学2)根据泊松分布的可加性知X(t)=N1(t)+N2(t),t0,3)Y(t)=N1(t)－N2(t)的特征函数为1112()exp{()}iuiuYutetet独立和的特征函数由分布函数与特征函数的一一对应的惟一性定理知Y(t)不是泊松过程.服从参数为(λ1+λ2)t的泊松分布.问题:如何证明?电子科技大学定理3.4.3设{N1(t),t≥0}和{N2(t),t≥0}是相互独立的强度分别为λ1和λ2的泊松过程,则{N(t)=N1(t)+N2(t),t0}是强度为λ1+λ2的泊松过程.证)()()(21tNtNtN是计数过程,而且满足1）零初值性;0)0()0()0(21NNN1.泊松过程的叠加电子科技大学2）独立增量性对任意nttt210)()()()()()(1221111kkkkkktNtNtNtNtNtN相互独立.需证对一切0≤t1t2,N(t2)－N(t1)～P[(1+2)(t2－t1)].3)增量平稳性][)()]()([)()(1212tNtNiutNtNeEu][][))()(())()((12221121tNtNiutNtNiueEeE两个过程的独立性电子科技大学)})((exp{)})((exp{11221121iuiuettett)})()(exp{(11221iuett即对一切0≤t1t2,增量根据定义3.4.2′知{N(t)=N1(t)+N2(t),t0}是强度为λ1+λ2的泊松过程.)])([(~)()(122112ttPtNtN两个均为泊松过程注定理可以推广到任意有限个过程的情形.电子科技大学2.泊松过程的分解分解模型—随机并联系统子系统A{N(t),t0}{N1(t),t0}{N2(t),t0}p1－p子系统B若输入{N(t),t0}是强度为λ的泊松过程，子系统A与B的输入过程{N1(t),t0}、{N2(t),t0}有什么关系？电子科技大学设进入系统的质点数{N(t),t≥0}是强度为λ的泊松过程,每个质点进入子系统A或B与{N(t),t≥0}相互独立.N1(t)是以概率p进入子系统A的质点数，N2(t)是以概率1－p进入子系统B的质点数.1）对任意t∈T，N(t)=N1(t)+N2(t)；2）N1(t)与N2(t)分别是强度为λp和λ(1－p)的泊松过程；3）对任意固定t∈T，N1(t)与N2(t)相互独立.有电子科技大学定理3.4.4}0),({ttN强度为λ的泊松过程}0),({ttN,全体事件可分为r类,第i类事件发生的概率为10ip,ri,,2,1,riip11.则}0),({ttN可分解为r个相互独立的泊松过程之和,各泊松过程的参数分别为λpi,i=1,2,…,r.证仅证r=2的情形.记2,1},0),({ittNi是第i类事件发生的次数,且有10,1,21ppppp.电子科技大学(1)因0=)()()0(21tNtNN,推知0)0(,0)0(21NN,(2)对任意的nnttttt12100,泊松过程}0),({ttN的增量nitNtNii,,2,1),()(1相互独立.在时间间隔),[1iitt内N(t)出现的事件以概率1p为第1类事件,故在时间间隔),[1iitt内N1(t)出现的事件数,即}0),({1ttN的增量nitNtNii,,2,1),()(111也相互独立电子科技大学(3)对任意ts0,用)()(),(sNtNtsN表示过程的增量,则}0),({1ttN增量分布为}),({}),(),({}),({11mtsNPmtsNktsNPktsNPkmλλ()[()],0,1,2!kptsptsekk)!)][)1(stmkmkkmkmemstppCλ(λ(λ(λ(λ)[)][(1)()]!()!kmktsmkptsptsekmk}0),({1ttN具有平稳增量过程电子科技大学同上理,类似可证明过程}0),({2ttN有相同结论成立,且}0),({2ttN是强度为)pλ(1的泊松过程.(4)证}0),({1ttN和}0),({2ttN的相互独立性.参见讲义P59电子科技大学六、非齐次泊松过程齐次泊松过程中有“增量平稳”的假定条件,假定到达率λ是常数.当过程的到达率随时间缓慢变化,此假设合理.若过程的增量平稳条件不满足，到达率随时间改变，设到达率为时间函数λ(t),则引入非齐次泊松过程概念：电子科技大学定义3.3.5如果计数过程满足下列条件1）N(0)=0；2）{N(t),t≥0}是一个独立增量过程；);(o)(}1)()({)3ttttNttNP).(o}2)()({)4ttNttNP称{N(t),t≥0}是具有速率函数为λ(t)的非齐次poisson过程.电子科技大学定理3.4.8若N(t),t≥0}是非齐次泊松过程，且达到率λ(t)是连续函数，则在[t0,t0＋t]时间内事件A出现k次的概率为})]()({[00ktNt