二重积分的概念

第一节二重积分的概念与性质一.二重积分的概念1．引例——曲顶柱体的体积曲顶柱体：△柱体的底是xoy面上的一有界闭区域D；△侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面；△顶是曲面z=f(x,y)(f(x,y)≥0),f在D上连续。区域的直径：闭区域上任意两点间距离的最大值，称为闭区域的直径。平顶(z=f(x,y)=常数)柱体的体积：体积=高（z=常数）×底面积（区域D的面积）（请回忆在§6—1解决计算曲边梯形面积的思想分析方法：……）oxyzDz=f(x,y)yxzz=f(x,y)oD(i,i)△i·曲顶柱体的体积V:①分割：D=△1∪△2∪…∪△nV=△V1∪△V2∪…∪△Vn(△i为△Vi窄条曲顶柱体的底；di为△i的直径。)②近似：近似地将小曲顶视为平顶（满足条件：z=f(x,y)连续，小区域△i的直径di很小），以点(i,i)△i的竖坐标f(i,i)为高，则得每个小窄条曲顶柱体的体积近似值△Vi≈f(i,i)△i(i=1,2,…,n)③求和：④取极限：其中d=max｛d1,d2,…,dn｝,用△i也示小区域的面积。11(,)nniiiiiiVVf01lim(,)niiidiVf2．引例——平面薄片的质量有一个平面薄片,在xoy平面上占有区域D,计算该薄片的质量M.度为设D的面积为,则M若非常数,仍可用其面密“分割,,近似和,求极限”解决.1)“分割”用任意曲线网分D为n个小区域,,,,21n相应把薄片也分为小区域.Dyx2)“近似”中任取一点k在每个),,(kk3)“近似和”nkkkk1),(4)“取极限”)(max1knk令nkkkkM10),(limk),(kk则第k小块的质量yx两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“分割,近似和,取极限”nkkkkfV10),(limnkkkkM10),(lim曲顶柱体体积:平面薄片的质量:2.定义（二重积分）：设z=f(x,y)在区域D上有界，则①分割：用平面曲线网将D分成n个小区域△1,△2,…,△n各个小区域的面积是△1,△2,…,△n各个小区域的直径是d1,d2,…,dn②近似：在各个小区域上任取一点(i,i)△i，作乘积f(i,i)△i(i=1,2,…,n)③求和：1(,)niiiif④取极限：当n→∞且=max｛d1,d2,…,dn｝→0时，极限存在，则称此极限值为z=f(x,y)在D上的二重积分，记为即f(x,y)——被积函数f(x,y)d——被积表达式d——面积元素x,y——积分变量D——积分区域——积分和式01lim(,)niiiif(,)Dfxyd01(,)lim(,)niiiiDfxydf1(,)niiiif[注记]：①在直角坐标系中，i≈(xi)(yi)面积元素d=dxdy,故二重积分又有形式②由于二重积分的定义，曲顶柱体的体积是③二重积分的几何意义：△当f(x,y)≥0时，二重积分的几何意义是：曲顶柱体的体积；△当f(x,y)≤0时，二重积分的几何意义是：曲顶柱体的体积的负值；△当f(x,y)在D上既有在若干分区域上取正值，也有在其余区域上取负值时，二重积分的几何意义是：xoy面上方的柱体体积为正、下方的为负时的柱体体积的代数和。(,)Dfxydxdy(,)DVfxyd③函数f(x,y)在闭区域D上连续，则f(x,y)在D上的二重积分必定存在。⑤n→∞(→0)时，积分和式极限存在，与对D区域的分法无关，与(i,i)△i的取法无关，仅与D和f(x,y)有关。⑥“△i的直径很小”与“△i的面积很小”对于“近似”有根本的区别，因此极限过程用→0，而不能仅用n→∞来描述。二．二重积分的性质⑴⑵⑶⑷(,)(,)DDafxydafxyd[(,)(,)](,)(,)DDDfxygxydfxydgxyd12(,)(,)(,)DDDfxydfxydfxydDd（为D的面积）（D=D1+D2）⑸在D上,若恒有f(x,y)≤g(x,y)，则特别地，在D上若f(x,y)≤0(≥0)恒成立，则⑹⑺在D上若m≤f(x,y)≤M，为D的面积，则(,)(,)DDfxydgxyd(,)0Dfxyd(≥0)(,)(,)DDfxydfxyd(,)DmfxydM⑻二重积分中值定理：设f(x,y)∈C(D)，D为有界闭区域，为D的面积，则至少(,)∈D，使(,)(,)Dfxydf[例题解析]例1122311(),{(,)|11,22}DIxydDxyxy其中222322(),{(,)|01,02}DIxydDxyxy其中设利用二重积分的几何意义说明I1和I2之间的关系解：由二重积分的几何意义知，I1表示底为D1，顶为曲面z=（x2+y2）3的曲顶柱体M1的体积；I2表示底为D2，顶为曲面z=（x2+y2）3的曲顶柱体M2的体积；由于位于D1上方的曲面z=（x2+y2）3关于yox面和zox面均对称，故yoz面和zox面将M1分成四个等积的部分，其中位于第一卦限的部分即为M2。由此可知124IIxy1-1-22例2利用二重积分的几何意义确定二重积分223)Dxyd（的值，其中22:9Dxy解：曲顶柱体的底部为圆盘229xy其顶是下半圆锥面223zxy故曲顶柱体为一圆锥体，它的底面半径及高均为3，所以223)9Dxyd（例3利用二重积分的几何意义说明：（1）当积分区域D关于y轴对称，f（x，y）为x的奇函数，即f（-x，y）=-f（x，y）时有(,)0Dfxyd（2）当积分区域D关于y轴对称，f（x，y）为x的偶函数，即f（-x，y）=f（x，y）时有1(,)2(,)DDfxydfxyd（D1为D在x≥0的部分）12222()2()DDxydxyd(,)0Dfxyd[注记]：结论的推广（1）当积分区域D关于x轴对称，f（x，y）为y的奇函数，即f（x，-y）=-f（x，y）时有(,)0Dfxyd（2）当积分区域D关于x轴对称，f（x，y）为y的偶函数，即f（x，-y）=f（x，y）时有1(,)2(,)DDfxydfxyd（D1为D在y≥0的部分）例4比较23()0()0DDxydxyd和的大小，22{(,)|(2)(1)2}Dxyxy其中分析：主要考虑2322()(){(,)|(2)(1)2}xyxyDxyxy与在的大小【附注】比较和的大小(,)fxy(,)xy先令得曲线(,)(,)fxyxy(,)(,)(,)0Fxyfxyxy在的两侧(,)0Fxy一般的有(,)0(,)0FxyFxy或判断D在曲线的哪一侧，即可判断(,)fxy(,)xy的大小例5利用二重积分的性质估计积分值的范围22(10)((2)(1)2)DxydDxy11(10)30Dxyd分析：111015xy2DS【作业】习题9—11、2、3