微积分预备知识

(1)符号函数010001sgnxxxxy当当当1-1xyoxxxsgn2.几个特殊的函数举例(2)取整函数y=[x][x]表示不超过的最大整数12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线x0,10,12)(,2xxxxxf例如12xy12xy在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.3.分段函数例1.已知函数1,110,2)(xxxxxfy求)21(f及,)1(tf解:212)21(f2)1(tf10t,11t1t,2t时0t函数无定义并写出f(x)的定义域及值域.f(x)的定义域),0[D值域),0[)(Df4.函数的几种特性;)(),()(,,,.,)(212121上是单调增加的在区间则称函数恒有时当如果区间的定义域为设函数IxfxfxfxxIxxDIDxf..)(,)(,,0.,)(否则称无界界上有在则称函数成立有任一数使对若存在数集的定义域为设XxfMxfXxMDXDxf有界性:单调性:.)(上是单调减少的在区间则称函数Ixf,,,2121时当如果xxIxx),()(21xfxf恒有奇偶性:总有若关于原点对称的定义域设,,)(DxDxf),()(xfxf;)(为偶函数则称xfyx)(xf)(xfyox-x)(xf总有若,Dx),()(xfxf.)(为奇函数则称xf)(xfyx)(xfox-x)(xfy周期性:,)(Dxf的定义域为设如果存在一个不为零的)()(xfTxf且为周则称)(xf,,,DTxDxT使得对任一数.)(,的周期称为期函数xfT.恒成立（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.)(xfy直接函数xyo),(abQ),(baP)(1xfy反函数直接函数与反函数的图形关于直线对称.xy5.反函数和复合函数反函数例2求y的反函数及其定义域.解:01x当时,2xy则]1,0(,yyx10x当时,xyln则]0,(,yexy21x当时,12xey则]2,2(,ln12eyxy反函数y定义域为]2,2(]1,(e21,210,ln01,12xexxxxx212e21yox1,]1,0(,]0,(,]2,2(e1),(Duufy1)(DDg且则设函数称为由①,②确定的复合函数,①②u称为中间变量.注意:构成复合函数的条件1)(DDg不可少.例如,由,arcsinuy但22,arcsinxuuy不能构成复合函数.可定义复合函数复合函数复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,2cotxy例如,uy,cotvu.2xv22,0,,0,()()2,0,,0,[()].xxxxgxfxxxxxgfx设求解2(),()0[()]()2,()0fxfxgfxfxfx22(),02,0xxxx22,0,2,0.xxxx例3(97年考研题)6.基本初等函数(1)幂函数)(是常数xyoxy)1,1(112xyxyxy1xy(2)指数函数)1,0(aaayxxayxay)1()1(a)1,0(xey(3)对数函数)1,0(logaaxyaxylnxyalogxya1log)1(a)0,1(自然对数函数(4)三角函数正弦函数xysinxysinxycosxycos余弦函数正切函数xytanxytanxycot余切函数xycot(5)反三角函数xyarcsinxyarcsin反正弦函数xyarccosxyarccos反余弦函数xyarctanxyarctan反正切函数幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.xycot反余切函数arcxycotarc由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成,并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.7.初等函数例如0,0,xxxxy可表为,2xy故为初等函数.符号函数010001sgnxxxxy当当当为非初等函数.8.双曲函数与反双曲函数2sinhxxeex双曲正弦xycoshxysinh),,(:D奇函数.2coshxxeex双曲余弦),,(:D偶函数.(1)双曲函数xey21xey21双曲函数常用公式;sinhcoshcoshsinh)sinh(yxyxyx;sinhsinhcoshcosh)cosh(yxyxyx;1sinhcosh22xx;coshsinh22sinhxxx.sinhcosh2cosh22xxx(2)反双曲函数奇函数,),(:D.),(内单调增加在;sinhxy反双曲正弦ar).1ln(sinh2xxxyarsinharxy.),1[内单调增加在),1[:Dy反双曲余弦coshar).1ln(cosh2xxxyarxcosharxy下列函数能否复合为函数)]([xgfy，若能，写出其解析式、定义域、值域．,)()1(uufy2)(xxxgu,ln)()2(uufy1sin)(xxgu思考题思考题解答2)]([)1(xxxgfy},10|{xxDx]21,0[)(Df)2(不能．01sin)(xxg)(xg的值域与)(uf的定义域之交集是空集.且备用题证明证:令,1xt则,1txtctfbtfa)()1(由xcxfbxfa)()1(消去),1(xf得时其中a,b,c为常数,且为奇函数.为奇函数.1.设2.设函数),(,)(xxfy的图形与,ax均对称,求证)(xfy是周期函数.)(babx证:由)(xaf)(xf的对称性知),(xaf)(xbf)(xbf于是)(xf)(axaf)2(xaf故)(xf是周期函数,周期为._________1反三角函数统称对数函数，三角函数和、幂函数，指数函数，.__________)(ln]31[)(2的定义域为，则函数，的定义域为、函数xfxf一、填空题:.______32复合而成的函数为，、由函数xueyu.__________2lnsin4复合而成由、函数xy._________)0()()(___________)0)((__________)(sin__________]10[)(52的定义域为，的定义域为，的定义域为，为）的定义域（，则，的定义域为、若aaxfaxfaaxfxfxfxf练习题.sin的图形”作函数二、应用图形的“叠加xxy.)]([)]([)(111011)(，并作出它们的图形，求，，，，，三、设xfgxgfexgxxxxfx.)()()(30.05020.0500220形出图之间的函数关系，并作千克于行李重量元元，试建立行李收费出部分每千克千克超元，超出千克每千克收费～千克以下不计费，定如下：四、火车站行李收费规xxf一、1、基本初等函数；2、],[3ee；3、2xey；4、xvvuuy2,ln,sin；5、[-1,1],[kk2,2],]1,[aa,21210]1,[aaaa.三、0,10,00,1)]([xxxxgf；1,11,11,)]([xexxexfg.练习题答案四、50),50(3.0105020,2.0200xxxxxy