和三角形有关的向量问题

和三角形有关的向量问题1/6与三角形有关的向量问题三角形有关的问题可以很好体现向量的核心问题如和差、数乘、数量积。在与三角形的重心、垂心、外心、内心等问题的联系上特别值得重视。一、三角形基本问题例1.如图ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，则下列推导不正确的是…（D）A．若ab0，则△ABC为钝角三角形。B．若ab=0，则△ABC为直角三角形。C．若ab=bc，则△ABC为等腰三角形。D．若c(a+b+c)=0，则△ABC为正三角形。解：A．ab=|a||b|cos0，则cos0，为钝角B．显然成立C．由题设：|a|cosC=|c|cosA，即a、c在b上的投影相等D．∵a+b+c=0,∴上式必为0，∴不能说明△ABC为正三角形例2.如图：已知MN是△ABC的中位线，求证：MN=21BC,且MN∥BC证：∵MN是△ABC的中位线，∴ABAM21,ACAN21∴BCABACABACAMANMN21)(212121∴MN=21BC,且MN∥BC例3.已知：平面上三点O、A、B不共线，求证：平面上任一点C与A、B共线的充要条件是存在实数λ和μ，使OC=λOA+μOB，且λ+μ=1。证：必要性：设A,B,C三点共线，则可设AC=tAB(tR)则OC=OA+AC=OA+tAB=OA+t(OBOA)=(1t)OA+tOB令1t=λ，t=μ，则有：OC=λOA+μOB，且λ+μ=1充分性：AC=OCOA=λOA+μOBOA=(λ1)OA+μOB=μOA+μOB=μ(OBOA)=μAB∴三点A、B、C共线例4.（04浙江）已知平面上三点CBA,,满足3AB，4BC，5CA，则ABCACABCBCAB的值等于一般地对于ABC的结论是ABCNM和三角形有关的向量问题2/6例.某人骑车以每小时a公里的速度向东行驶，感到风从正东方向吹来，而当速度为2a时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向。解：设a表示此人以每小时a公里的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为a，设实际风速为v，那么此时人感到的风速为va，设OA=a，OB=2a∵PO+OA=PA∴PA=va，这就是感到由正北方向吹来的风速，∵PO+OB=PB∴PB=v2a，于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是PB，由题意：PBO=45,PABO,BA=AO从而，△POB为等腰直角三角形，∴PO=PB=2a即：|v|=2a∴实际风速是2a的西北风二、三角形重心问题例1.已知O是ABC内一点，OA+OB+OC=0，则O是ABC的A.重心B.垂心C.外心D.内心例1.1已知O是ABC内一点，OA+2OB+3OC=0，则问ABC的面积与AOC的面积的比是多少？解：（一）平行四边形法：设ED,分别是BCAC,的中点，则ODOCOA2，OEOCOB42，故可得：OCOBOA32022OEOD，即OEOD2，故2:3:AOCAECSS，则1:3:AOCABCSS（二）化归法：延长OB使OBOB2'，延长OC使OCOC2'，则O是''CAB的重心，'''9131CABAOCAOCSSS，例2.已知O是平面内一点，CBA,,是平面上不共线的三点，动点P满足BCABOAOP21，,0，则动点P的轨迹一定通过ABC的A.重心B.垂心C.外心D.内心例3.已知O是平面内一点，CBA,,是平面上不共线的三点，动点P满足PBAOvv2a和三角形有关的向量问题3/6ACABOAOP，,0，则动点P的轨迹一定通过ABC的A.重心B.垂心C.外心D.内心例4.证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。证：设AC=b，CB=a，则AD=AC+CD=b+21a,CBECEB=∵A,G,D共线，B,G,E共线∴可设AG=λAD，EG=μEB,则AG=λAD=λ(b+21a)=λb+21λa,EG=μEB=μ(21b+a)=21μb+μa,∵AGEGAE即：21b+(21μb+μa)=λb+21λa∴(μ21λ)a+(21μλ+21)b=0∵a,b不平行，∴ADAG32313202121021即：AG=2GD同理可化：AG=2GD,CG=2GF三、三角形垂心问题例1.ABC中，O为其外心，P为平面内一点，OPOCOBOA，则P是ABC的A.重心B.垂心C.外心D.内心例2.已知O是平面内一点，CBA,,是平面上不共线的三点，动点P满足CACACBABABOAOPcoscos，,0，则动点P的轨迹一定通过ABC的A.重心B.垂心C.外心D.内心解：ABCEFDG和三角形有关的向量问题4/6CACACBABABAPcoscos，且0coscosBCBCBCCACACBABAB例3.已知O是ABC所在平面上一点，若OAOCOCOBOBOA，则O是ABCA.重心B.垂心C.外心D.内心例4.如图，AD、BE、CF是△ABC的三条高，求证：AD、BE、CF相交于一点。证：设BE、CF交于一点H，AB=a,AC=b,AH=h,则BH=ha,CH=hb,BC=ba∵BHAC,CHAB∴0)()()(0)(0)(abhabhbahaahbah∴AHBC又∵点D在AH的延长线上，∴AD、BE、CF相交于一点例4.已知O为△ABC所在平面内一点，且满足|OA|2+|BC|2=|OB|2+|CA|2=|OC|2+|AB|2，则O是三角形的A.重心B.垂心C.外心D.内心解：设OA=a,OB=b,OC=c,则BC=cb,CA=ac,AB=ba由题设：OA2+BC2=OB2+CA2=OC2+AB2，化简：a2+(cb)2=b2+(ac)2=c2+(ba)2得：c•b=a•c=b•aBCOABCDEFH和三角形有关的向量问题5/6从而AB•OC=(ba)•c=b•ca•c=0∴ABOC同理：BCOA,CAOB四、三角形外心问题例1.已知O是ABC所在平面上一点，若222OCOBOA，则O是ABC的A.重心B.垂心C.外心D.内心例2.已知O是平面内一点，CBA,,是平面上不共线的三点，动点P满足2OCOBOPCACACBABABcoscos，,0，则动点P的轨迹一定通过ABC的A.重心B.垂心C.外心D.内心解：点P在BC的垂直平分线上五、三角形内心问题例1.已知O是平面内一点，CBA,,是平面上不共线的三点，动点P满足ACACABABOAOP，,0，则动点P的轨迹一定通过ABC的A.重心B.垂心C.外心D.内心例2.O是ABC所在平面上一点，CBA,,所对的边分别是cba,,，若0OCcOBbOAa，则O是ABC的A.重心B.垂心C.外心D.内心解：因为0OCcOBbOAa，又ABOAOB，ACOAOC，所以0ACcABbOAcba，即ACACABABcbabcOA例3.三个不共线向量OCOBOA,,满足和三角形有关的向量问题6/6CACAABABOA=CBCBBABAOB=BCBCCBCAOC则O是ABC的A.重心B.垂心C.外心D.内心例4.若I是ABC的内心，CBA,,所对的边分别是cba,,，O为ABC所在平面上一点，求证：cbaOCcOBbOAaOI六、三角形心心关系在ABC中，HGO,,分别是ABC的外心、重心、垂心。（1）求证：OCOBOAOH；（2）求证：HGO,,三点共线；（3）若OAAH，求BAC的大小.解：连接BO并延长交ABC外接圆于点D连接AD,CD,AH,CH,显然BCAH，BCCD，所以CDAH//，同理DACH//，所以CDHA，即OCOBOCODOHOA，所以OCOBOAOH因为G是是ABC的重心，所以OAACABAOAGOG2132=OAACAB31=OCOBOA31。OAAH，则OAOAOH，所以OAOCOB，两边平方并注意到OCOBOA，又BOCcos=BAC2cos=21，323或BAC七、HOABDCG