等差数列前n项和的性质及应用.ppt

2018年3月知识回顾：1.{an}为等差数列.，an=，更一般的，an=，d=.an+1-an=d2an+1=an+2+ana1+(n-1)dan=an+ba、b为常数am+(n-m)dmnaamn2)(1naandnnna2)1(12.等差数列前n项和Sn==.复习：•等差数列的前n项和公式2)(1nnaanS2)1(1dnnnaSn1、通项公式与前n项和的关系：nnSn212例1、已知数列{an}的前n项和为，求这个数列的通项公式。这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？分析：nnnaaaaaS1321)1(13211naaaaSnn所以当n1时，212)]1(21)1[(21221nnnnnSSannn当n=1时，2311Sa也满足上式。因而，数列}{na是一个首项为23，公差为2的等差数列。注：由上例得Sn与na之间的关系：由nS的定义可知，当n=1时，11aS当n≥2时，1nnnSSa)2()1(11nSSnSannn即新课12461,{}4,=19S=2{}3{}SSnn123456789nm2m3m在等差数列ａ中，，求，在等差数列ａ中，a+a+a=8,a+a+a=12,求a+a+a=，在等差数列ａ中，S=30,S=100,求S课前练习}{na2nSpnqnr0p探究：如果一个数列的前n项和为，其中p、q、r为常数，且，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？1nnnaSS2nSpnqnr11Sapqr分析：由，得令p+q+r=2p–(p+q)，得r=0。时当2n22()[(1)(1)]pnqnrpnqnr2()pnpq==}{na所以当r=0时，数列是等差数列，首项a1=p+q，pqpnpqppnaadnn2)]()1(2[)](2[1公差有最大值nSda,0,01001nnaa有最小值nSda,0,01001nnaa2,nSAnBn二、配方，看对称轴等差数列的前n项的最值问题一、11=0mmmSSa三、特别的例题：已知等差数列的前n项和为，求使得最大的序号n的值。nS743,724,5nS的值。二次函数来求以利用一些点。因此，我们可的图象是一条抛物线的关于，容易知道时的函数值。另一方面当可以看成函数，所以项和公式可以写成等差数列的前nnSnxNxxdaxdySndandSnnnn)()2(2)2(21212分析：等差数列的前n项的最值问题)]75)(1(52[2nnSn所以，的公差为，，，列解：由题意知，等差数75-7437245561125)215(1451457522nn取最大值。时，或最接近的整数即取与于是，当nSn872151：数列{an}是等差数列，150,0.6ad（1）从第几项开始有0na（2）求此数列前n项和的最大值练习：10112nS=Snn1，设为等差数列{a}，公差d=-2，S为其前项和，若则a有最大值nSda,0,01001nnaa有最小值nSda,0,01001nnaa配方，看对称轴,2BnAnSn小结：{an}为等差数列，求Sn的最值。已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法1由S3=S11得11313321113111022dd∴d=－2113(1)(2)2nSnnn214nn2(7)49n∴当n=7时,Sn取最大值49.7n113Sn能力提升已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法2由S3=S11得d=－2∴当n=7时,Sn取最大值49.∴an=13+(n-1)×(-2)=－2n+15由100nnaa得152132nn已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法3由S3=S11得d=－20∴当n=7时,Sn取最大值49.则Sn的图象如图所示又S3=S11所以图象的对称轴为31172n7n113Sn练习1:已知数列{an}的通项为an=26-2n,要使此数列的前n项和最大,则n的值为()A.12B.13C.12或13D.14C练习2:等差数列｛an｝中，，则前n项和取最大值时，n为（）A．6；B．7；C．6或7；D．以上都不对；941,0ssaC1、数列{an}是等差数列，243,nan则前多少项的和最大？2{}217,nnaan、在等差数列中，则前多少项的和最小？作业新课2性质1:若Sm=p,Sp=m(m≠p),则Sm+p=性质2:若Sm=Sp(m≠p),则Sp+m=0－(m+p)等差数列{an}前n项和的性质两等差数列前n项和与通项的关系性质3:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则nnab2121nnST例1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=()A.63B.45C.36D.27B3.等差数列{an}前n项和的性质的应用例2.一个等差数列的前10项的和为100,前100项的和为10,则它的前110项的和为.－110例3.(09宁夏)等差数列{an}的前n项的和为Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则m=.10例4.两等差数列{an}、{bn}的前n项和分别是Sn和Tn,且71427nnSnTn求和.55abnnab556463ab146823nnanbn课堂练习1，等差数列{an}{bn}的前n项和分别为/,nnSS（1）已知4388ba，求/1515SS.（2）已知4332/nnSSnn，求88ba.2.两等差数列{an}、{bn}的前n项和分别是Sn和Tn,且22mnSmTnmnab，则.(1)在等差数列na中,已知.,63,6,994nSaan求解:设首项为1a,公差为d,则3188639111dadada得76)1(231863nnnnnSn或得练习(2)若一个等差数列前3项和为34,后3项和为146,且所有项的和为390,求这个数列项数.解:,146,3421321nnnaaaaaa又23121nnnaaaaaa而60,180)(3:11nnaaaa两式相加得13,3902)(1naanSnn得由(2)若一个等差数列前3项和为34,后3项和为146,且所有项的和为390,求这个数列项数.练习nn93111157841,{a},{b}n31=,,41aabnnabbbbnnnn已知A及B是等差数列的前项A且求B作业第46页课本习题A组第4,5题新课3性质1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…也在等差数列,公差为在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有性质4:(1)若项数为偶数2n,则S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an,an+1为中间两项),此时有:S偶－S奇=,SS奇偶n2dnd1nnaa等差数列{an}前n项和的性质性质4:(1)若项数为奇数2n－1,则S2n-1=(2n－1)an(an为中间项),此时有:S偶－S奇=,SS奇偶性质5:为等差数列.{}nSnan1nn例2.在等差数列{an}中,已知公差d=1/2,且a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=()A.85B.145C.110D.90A例1.一个等差数列的前12项的和为354,其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为32:27,则公差为.52008200612007{}n2007,220082006naSSaSn例3、在等差数列中，前项和为S，且，求21{}n21,2111{}2nnnnnnaSaaSSSn例4、在等差数列中，前项和为S，且，（）证明数列是等差数列。（）并求新课4例3.设数列{an}的通项公式为an=2n-7,则|a1|+|a2|+|a3|+……+|a15|=.153等差数列{an}前n项和的性质的应用112n1{}=21+++naaaaa、在等差数列中，，d=-4,求…练习2n{}n3205,{}nT22nnannan例、在等差数列中，前项和S求数列的前项和例8.设等差数列的前n项和为Sn,已知a3=12,S120,S130.(1)求公差d的取值范围;(2)指出数列{Sn}中数值最大的项,并说明理由.解:(1)由已知得a1+2d=1212a1+6×11d013a1+13×6d02437d等差数列{an}前n项和的性质(2)∵11(1)2nSnannd1(122)(1)2ndnnd25(12)22ddnn∴Sn图象的对称轴为5122nd由(1)知2437d由上得51213622d1362n即由于n为正整数,所以当n=6时Sn有最大值.∴Sn有最大值.作业求集合的元素个数，并求这些元素的和.}60,,12{mNnnmmM作业1、已知等差数列25,21,19,…的前n项和为Sn,求使得Sn最大的序号n的值.2：已知在等差数列{an}中,a10=23,a25=-22,Sn为其前n项和.（1）问该数列从第几项开始为负？（2）求S10（3）求使Sn0的最小的正整数n.(4)求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a20|的值1.根据等差数列前n项和，求通项公式.1112nnnanaSSn2、结合二次函数图象和性质求的最值.ndandSn)2(2123.等差数列{an}前n项和的性质性质1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…也在等差数列,公差为在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有性质2:若Sm=p,Sp=m(m≠p),则Sm+p=性质3:若Sm=Sp(m≠p),则Sp+m=性质4:(1)若项数为偶数2n,则S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an,an+1为中间两项),此时有:S偶－S奇=,SS奇偶n2d0nd1nnaa－(m+p)性质4:(1)若项数为奇数2n－1,则S2n-1=(2n－1)an(an为中间项),此时有:S偶－S奇=,SS奇偶两等差数列前n项和与通项的关系性质6:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则nnab性质5:为等差数列.{}nSnan1nn2121nnST新课5倒序法求和倒序相加法：将数列的顺序倒过来排列，与原数列两式相加，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，这样的数列可用倒序相加法求和。倒序法求和221)(xxf23例1.若)6()5()4()5(ffff，则的值为。221)(xxfxxxxf2222221)1(1xx2222122222211)1()(xxxfxf【解析】∵∴∴裂项法求和所谓”裂项法”就是把数列的各项分裂成两项之差,相邻的两项彼此相消,就可以化简后求和.一些常用的裂项公式:11)1(nn12)12(1)2(nn)2(1)3(nnnn11)4(111nn)121121(nn21nn1)211(nn211111[2].11212312nSn例求的值解：nan211设)1(2nn)111(2nn)]111()111()3121()211[(2nnnn122)111(2nnSn)1(2)1(23