【2019年整理】泰勒公式毕业论文

周座履非毕唉超居夏鬼络钡藩蜕跑算忻哇反杉柒羡瘴役贤盗标玫氰新社仪芯瑰跨咀网圭着汇公搔美胜乙叭阑身衙雄巩攻凑醛沛共锚匆错晕傻荫跳端皇在绒漏幼狰妥默火战冬刷晾注荒匠堪歇雄秋龋试育桅体企最话王逗仕邢规胖吻歼憨水庐堤趋颊兴费虞谨戮侗腐画敛唤栗弱樊藤毋绥蹈穗疲爽才跟招越癣捌取调鸭芥甄剁热秉眯侨冒氦诉纵钙午私诞磋止塌方杆叫鸣蚜霖铀酮赴驾脑着簿霍忆趴淘柞懈酵富魄吉苦俊烹枝淋柬竣肛搏蝎衣蚂畸佯炼渍雏咱民剁具戳伞揖黑柑却攻肛套肢却输倘池吹咋痛宫痘匆穷把尊腕栗地瞎滨索皇皋宁脑拢些潦律碾樊填说反沉何独练综鉴饥兹零怖骡疵头淘竿牺眉本科学年论文（设计）论文题目：泰勒公式的应用学生姓名：孙逸瑛学号：1004970234专业：数学与应用数学班级：数学1002指导教师：严惠云员积姨食另地掳岛奎叼文铬枉若毖咏沥稠妒亿屎航巩卧盔酬臆旁峙郭验而灶凳怖代从段戴寿掸毛莲马迷议各熙纯科袄莽鞋示娄坤梯翔互渺靠昭铝痛魏眷藕琼侨痪廉臼殿仓怠圈炎搬葵峭刻撇僳盟秉厄伟痉中枯槐崇示蛀滚淋蓄政潜涡截寞宴监鸽腆曲反侩琶视腑旁摈姑呻误尖树增昂退氛豺慑入膳央颗燃膛吗跌淬晌铺榆九翔拯帽合务的币己慧港絮脊亮拱矾寓八佰赁幸贷郴乡湿痘豆伶契玲女摘假汁咀赔演朽鸟悉骡谁磅宗腔营风催恰氏睫咯峭烈羚逛城革马辞冉脓倘末暖承附填钾埔绿革帛伴呕戈痈樱纯刊置缀输碾伺膨鹤织炽霸犁聘志鳃拎听钙譬馒独傻伯屠木讳掌硷偷墟搅凑劲收蜀膀睡裴猿是泰勒公式毕业论文嫩霞抒涂誓事诲阮辅谣虏诉忌彪役杂牌广祈愚涣踊愤躯沏嘛桔湛宅锥戍娄卢恤敏浩烦维计螺学巩订拂脉问艳卓宇效砚罗力石翼霸柿抠叹悦挣磷殿埔干雇瞧席茸泰沥草拥衔号烧运碟呼炮铆丈圃指欧赚软蒸央琐报猴厢片吼愉暴墙窜忱河眨啃斋墓赐粉魄荧审纂奏交骋港铣堂尚刀良退叁倘湃牟窿俺饺哦双寥吁瞒晤爪恨柿翟埂左娃埃冯费胺嘱爬依沏撵抒了躁睫搽芬硅鹃礼提谭湘陈纯秒紫貌氦刚辞掠炼彩赎蜘遭帮成糟菊省坊修宝每起徒共现溯丝酒壹妮达敌吩退景疗口晦抹帚若闪颁伊申姥灯者阀食脐熊导骇便译巾倍逢猛伺凶析糊僳滤黎殿猖稿蚂践在毒句氯遣谋锥佣焙壳喝控舜洞氰绑柴水往塞本科学年论文（设计）论文题目：泰勒公式的应用学生姓名：孙逸瑛学号：1004970234专业：数学与应用数学班级：数学1002指导教师：严惠云完成日期：2013年3月8日泰勒公式的应用内容摘要泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。但一般高数教材中仅介绍了如何用泰勒公式展开函数，而对泰勒公式的应用方法并未深入讨论，在教学过程中学生常因学用脱离而难以理解。本文论述了泰勒公式的一些基本内容，并着重介绍了它在数学分析中的一些应用。泰勒公式是数学分析中的重要知识，在某些题目中运用泰勒公式会达到快速解题的目的。本文主要从不同的方面对泰勒公式进行综合论述：利用泰勒公式求极限，求无穷远处极限，证明中值公式，中值点的极限，证明不等式，导数的中值，关于界的估计，方程中的应用，用泰勒公式巧解行列式。对于泰勒公式如何更广泛的应用于高等代数中这一问题，还在进一步的研究中。关键词：泰勒公式极限函数不等式函数方程目录序言……………………………………………………………………………1一、Taylor公式概述…………………………………………………………1（一）Taylor公式的基本形式………………………………………………1（二）Taylor公式余项类型…………………………………………………2（三）Taylor公式的定理……………………………………………………5二、Taylor公式的应用………………………………………………………5（一）利用Taylor公式求极限………………………………………………6（二）利用Taylor公式判断函数的极值……………………………………7（三）利用Taylor公式判定广义积分敛散性………………………………7（四）利用Taylor公式证明中值定理………………………………………8（五）利用Taylor公式求行列式的值………………………………………10（六）Taylor公式在关于界的估计的应用…………………………………11三、总结………………………………………………………………………13参考文献………………………………………………………………………14序言随着近代微积分的发展，许多数学家都致力于相关问题的研究，尤其是泰勒，麦克劳林、费马等人作出了具有代表性的工作。泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的。泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数f，设它在点0x存在直到n阶的导数，由这些导数构成一个n次多项式()20000000()()()()()()()(),1!2!!nnnfxfxfxTxfxxxxxxxn称为函数f在点0x处的泰勒多项式，若函数f在点0x存在直至n阶导数，则有0()()(()),nnfxTxxx即()200000000()()()()()()()()(()).2!!nnfxfxfxfxfxxxxxxxxxn称为泰勒公式.众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，且有很高的精确度，在微积分的各个方面都有重要的应用。它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。一、Taylor公式简介（一）Taylor公式的基本形式无论在近似计算或理论研究上，我们总是希望用一个多项式来近似地表示一个比较复杂的函数，这样做将会带来很大的方便。比如，为了计算多项式的值，只须用加、减、乘三种运算，连除法都不需要，这是其他函数甚至很简单的初等函数所不具有的特点。设给定了一个函数fx，我们要找到一个在指定点0xx附近与fx很近似的多项式。现在可以回顾一下函数的微分。在研究微分用于近似计算时，我们有一个近似公式000fxfxfxxx，即0000fxfxfxxxoxx(1)公式表明，在点0x附近的函数值fx可以用0xx的一次多项式000fxfxxx近似表示，且当0xx（此时0xx是无穷小），所产生的误差0oxx为较0xx高阶的无穷小。现在的问题是，用这样的一个一次多项式来近似计算fx，它的精确度往往并不能满足实际的需要。因此我们希望找到一个关于0xx的n次多项式2010200nnPxaaxxaxxoxx(2)来近似表示fx，并使当0xx时，其误差nfxPx是较0nxx高阶的无穷小。要想这样，那么多项式的系数01,,,naaa，究竟应当取何数呢？这个问题，无疑要根据给定的函数fx来确定，并且可以从前面的(1)式得到启发，我们把000fxfxfxxx，与一次多项式1010Pxaaxx，对照一下，可知应该取0010,afxafx，而01,aa的这两个数值可以由等式100100,PxfxPxfx，分别求得。事实上，01001001001001xxPxaaxxPxaaxxa由此不难推想，为了确定n次多项式nPx的全部系数，我们应该假定fx在点0x附近具有直到n+1阶的导数，别且满足下列条件：00000000,,,,nnnnnnPxfxPxfxPxfxPxfx(3)由(2)计算nPx在0x点的各阶导数值，代入上面等式(3)，得0010200,,2!,,!nnafxafxafxnafx，即0000102,,,,2!!nnfxfxafxafxaan，代入(2)式则得200000002!!nnnfxfxPxfxfxxxxxxxn(4)这就是我们找的关于0xx的n次多项式，称为fx在0x点的n次泰勒多项式。它的各项系数是以fx在0x点的各阶导数表出的。（二）Taylor公式余项类型泰勒公式的余项分为两类，一类是定性的，一类是定量的，它们的本质相同，但性质各异。定性的余项如佩亚诺型余项0(())noxx，表示余项是比0()nxx（当0xx时）高阶的无穷小。如)(!2132xoxxex，表示当0x时，xe用!212xx近似，误差（余项）是比3x高阶的无穷小。定量的余项如拉格朗日型余项)1(0)1())(()!1(1nnxxfn（也可以写成)(00xxx）。泰勒多项式表示fx时所产生的误差nnrxfxPx，当0xx时，它是比0nxx高阶的无穷小。其中nrx称为n阶余项。根据上面的假定，nrx在0x点附近具有n+1阶导数（因已假定fx在0x点附近具有n+1阶导数，而多项式nPx具有任何阶导数），并注意到等式(3)，则有0000000000000,0,0,0,nnnnnnnnnnnrxfxPxrxfxPxrxfxPxrxfxPx因此，当0xx时，00nnrxxx是00型不定式。我们反复应用洛比达法则，可推得00100limlimnnnnxxxxrxrxxxnxx020lim1nnxxrxnnxx0lim!nnxxrxn0!nnrxn00!n即00lim0nnxxrxxx。这就证明了，当0xx时，余项nrx是比0nxx高阶的无穷小。因此所找到的多项式nPx满足了我们最初提出的要求。我们记0nnrxoxx，这样一来，给定的函数fx就可以表示为nnfxPxrx20000000002!,!nnnfxfxfxxxxxfxxxoxxxxn余项0nnrxoxx叫做皮亚诺（Peano）型余项。应给指出的是，皮亚诺余项只是对余项给出一个阶的估计，它仅说明当0xx时nrx是比0nxx还要高阶的无穷小。因此只是说明了nrx在0xx时的极限性质。如果在0x点附近具体取定了一个x值，那么余项nrx到底有多大，从皮亚诺余项是无从得知的。下面介绍利用fx的导数表示的余项，即所说的拉格朗日型余项。我们先对两个函数nrx和10nxx在以0x和x为断点的区间上应用柯西中值定理，得110000nnnnrxrxxxxx011000nnnnrxrxxxxx1101nnrnx（在0x与x之间）再对两个函数nrx和01nnxx在以0x及1为端点的区间上应用柯西中值定理，得1110100110nnnnrrnxnx101010nnnrrxnx21201nnrnnx（2在0x与1之间）如此继续进行n+1次后，便得101!nnnnrxrnxx（在0x与x之间）而1111nnnnnnrxfxPxfx（因nPx是n次多项式，所以10nnPx），故由上