1.3事件的概率解析

§1.3事件的概率1.事件的频率则称m为事件A在n次试验中发生的频数或频次,称比值m/n为事件A在n次试验中发生的频率,记为fn(A)。设一个事件A在相同的条件下进行n次试验,在这n次试验中,事件A发生了m次。引入随机事件A发生的可能性的大小这个量。当试验次数充分大时，事件的频率总在一个定值附近摆动，而且，试验次数越多，一般说来摆动的幅度越小。这一性质称频率的稳定性。一、概率的统计定义及性质请看下面试验掷硬币试验掷骰子试验频率在一定程度上反映了事件在一次试验中发生的可能性大小。仅管每进行一连串（n次）试验，所得到的频率可能各不相同，但只要n足当大，频率就会非常接近一个固定值——概率。因此，概率是可以通过频率来“度量”的。频率是概率的近似。10≤fn(A)≤1；2fn(Ω)=1,fn(Ø)=0；3.若事件A1,A2,…,Ak两两互斥,则:频率的性质11()kkniniiifAfA考虑在相同条件下进行的S轮试验第二轮试验试验次数n2事件A出现m2次第S轮试验试验次数ns事件A出现ms次试验次数n1事件A出现m1次第一轮试验事件A在各轮试验中的频率形成一个数列下面我们来说明频率稳定性的含义………,11nm,22nmssnm,…11nmssnm22nm频率稳定在概率p(A)附近频率稳定性这种稳定性为用统计方法求概率开拓了道路。在实际中，当概率不易求出时，人们常用试验次数很大时事件的频率作为概率的估计值，并称此概率为统计概率。这种确定概率的方法为频率法。例如，若我们希望知道某射手中靶的概率，应对这个射手在相同条件下大量的射击情况进行观察、并记录。假设他射击n次,中靶m次,当n很大时,可用频率m/n作为其中靶概率之估计。2.概率的统计定义(2),;()1P()0P二、概率的古典定义具有下列特点:(1)试验的所有基本事件的个数是有限的;(2)每次试验中,各基本事件的发生是等可能性的；的试验,称为等可能性模型(古典概型).古典概率也具有如下性质:BA()()()PABPAPB(3)对于两个互斥的事件和,有:定义2如果古典概型中的所有基本事件的个数为,事件包含的基本事件的个数为,则事件的概率为AAnm()mAPAn事件包含的基本事件的个数所有基本事件的个数（古典定义）0()1PA(1)对任一事件A,有:非负性规范性可加性解(1)样本空间为例1一枚硬币连抛三次作为一次试验,观察出现正反面的情况.(1)写出试验的样本空间;(2)设表示“正面不出现”,求;(3)设表示“出现一次正面”,求;(4)设表示“第一次出现正面”,求.0A1A2A0()PA1()PA2()PA(2)事件可表示为:0A0(,,),1Am反反反01()8mPAn故(,,),(,,),(,,,(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)正正反正反正反正正）正正正正反反反正反反反正反反反8.n其中例2：号码锁上有6个拨号盘,每个拨号盘上有0～9共10个数字.当这6个拨号盘上的数字组成某一个6位数时(第一位数字可以为0)锁才能打开.问:如果不知锁的号码,一次就打开锁的概率是多少?分析:把样本空间中所有基本事件一一列出,但这个号码锁上,可以有106个等可能的6位数字,这就是总的基本事件数.而在不知道开锁号码时,在一次开锁中,拨出任何一个号码是等可能的.(4)事件2(,,),(,,),(,,),(,,),4Am正反反正正反正反正正正正241()82mPAn故(3)事件1(,,),(,,),(,,),3Am正反反反正反反反正，13()8mPAn故n若用A表示事件“一次就把锁打开”,显然A只包含一个基本事件,即m=1.故设A表示事件“取出的是白球”，则A所包含的基本事件个数：m=例3：袋中有5个白球和3个黑球。(1)从袋中任意取出1个球，问取出的球是白球的概率有多大？(2)从袋中任意取出2个球，取出的2个球都是白球和取出的2个球是1个白球1个黑球的概率各为多少？解:(1)从袋中任取一球的所有基本事件个数:n=，61()10PA。注：这个数字很小.因此,一次要把锁打开几乎是不可能的.5()8mPAn。18C15C所以，同理：1白1黑的取法有种，故其概率为:故其概率为:(2)从8个球中任取2球的方法有，即基本事件总数为28。11532815()28CCPCC1153CC2887282!C种2554102!C种而从5个白球中任取2个球的取法有，105()2814PB(2)设A表示“6人中没有任何2人在同一天过生日”，则A含有个基本事件，因此所求概率为:解(1)9月共有30天，每个人生日都可以是30天中的任一天，故基本事件总数为。例4：某班有6名同学都是9月出生的，求这6人中没有任何2人在同一天过生日的概率。6306()0.586430PPA630630P排列组合有关知识复习加法原理：完成一件事情有n类方法，第i类方法中有mi种具体的方法，则完成这件事情共有1niim种不同的方法乘法原理：完成一件事情有n个步骤，第i个步骤中有mi种具体的方法，则完成这件事情共有1niim种不同的方法排列：从n个不同的元素中取出m个(不放回地）按一定的次序排成一排不同的排法共有(1)(2)(1)mnAnnnnm全排列：!nnAn可重复排列从n个不同的元素中可重复地取出m个(可放回地)排成一排,不同的排法有种mn组合：从n个不同的元素中取出m个(不放回地）组成一组，不同的分法共有!!()!mnnCmnm解：55510515CCCn（1）1112134448412CCCCCCnA9125)(AP（2）5551021213CCCCnB916)(BP将15名同学(含3名女同学),平均分成三组.求(1)每组有1名女同学(设为事件A)的概率；(2)3名女同学同组(设为事件B)的概率例5：§例2摸球问题袋中10只小球，3个红的，7个白的。从中抽取三球，每次任取一球，试在下列情况下求所得三球都是白球的概率。(1)每取一球看后放回袋中，再抽取下一个(有放回抽样)；(2)每取一球看后不放回袋中，再抽取下一个(无放回抽样)。解设A={所取三球均为白球}(1)有放回抽样由于每次抽取出的小球看过颜色后都放回袋中，因此，每次都是从10个小球中抽取。由乘法法则，样本空间中的基本事件数而A发生，即3次取的小球都是白球，则有利于A的基本事件数1000103n.34373m343.01000343)(nmAP所以(2)无放回抽样7208910310An类似讨论可知，有利于A的基本事件数21037Am292.02478910567)(nmAP另一方面，无放回抽样也可这样理解:无放回抽取3次，每次任取一球，相当于从10球中一次取出3球(即相当于“从袋中任取3球”)。其概率计算与组合数有关，即292.02478910567)(31037CCAP两法所求结果相同，有何想法？第一次从10个小球中抽取1个，由于不再放回，因此，第二次从剩下的9个小球中抽取1个，第三次从剩下的8个小球中抽取1个，因而样本空间中的基本事件数可见“无放回地抽取k次，每次抽取一个”与“从中任取k个(一次取出k个)”，虽然模式不同，前者讲究顺序，后者不计较顺序，但它们最终计算的结果是一样的。在具体问题中，应根据实际情况，选择适当的模式计算。不过分式上下的模式必须相同。例3等级分相同的甲、乙两只足球队进行五局三胜的大奖赛，胜者独得50万元奖金。现已赛三场，甲两胜一负。现乙因故退出后面的比赛并提出按已胜场次分奖金，即甲得2/3，乙得1/3。问这样分配50万元合理吗？解这种分法看似合理，仔细分析，会发现是不合理的。设想把余下的两场赛完，则结果有如下四种情况:甲甲、甲乙、乙甲、乙乙。其中“甲乙”意指第一场甲胜第二场乙胜，其余类推。注意到两队等级分相同，可认为每场胜率相同，从而上述四个结果是等可能的。考虑到前三场的情况，甲甲、甲乙、乙甲的结果均为甲方胜，则甲、乙最终获胜的可能性大小之比为3:1，即甲应分得37.5万，乙应分得12.5万，才算公平。此例告诉我们，表面上看来简单合理的东西，经过深入分析可能发现其不合理之处，这是我们在处理实际问题时必须注意的。另一方面，在此我们也看到了概率在解决实际问题方面的作用。例4超几何概型已知一批产品共N件，其中有次品M件。从中任取n件，试求其中恰有m件次品的概率。解设件次品｝件产品中恰有＝｛mnA},min{,,2,1,0)(nMmCCCAPnNmnMNmM这是无放回抽样下计算概率的重要公式。例5将n只已编号的球随机地放入个同样编过号的盒子中，试求任意n个盒子中各有一球的概率(假定每个盒子的容量不限)。解设A={任意n个盒子中各有一球}将n只球放入N个盒子中去，每一种放法是一个基本事件且是等可能的。故此问题是古典概型问题。由题设，基本事件总数就是从N个不同元素中抽取n个的重复排列数，为，有利于A的基本事件数可如下计算:先从N个盒子中任取n个盒子来放球，这是组合问题，有种可能。再将n个球放入n个指定的盒子中是全排列问题，放法有种。由乘法原理，有利于A的基本事件数为即nN!n!nCnN.nNAnNC例如著名的生日问题nnNNAAP)(所以有许多问题和本例具有相同的数学模型某班有m(m≤365)个学生，由于每人的生日在365天中的任一天是等可能的，故他们中任何两人生日不在同一天的概率为：，此即原题中N=365，n=m的情况。mmAp365365对不同的m，经计算有下述结果：m2330405064p0.4930.2940.1190.0300.003例6今有11位乘客在16层楼的底层进入电梯梯厢，假定该电梯从第二层起至顶层的每一层等可能地停靠。试求下列事件的概率：(1)恰有3位乘客在顶层离开梯厢(A)；(2)没有2位或2位以上的乘客在同一层离开梯厢(B)。从上表看出，随着班级人数的增加，任何两人生日都不在同一天的可能性越来越小，亦即事件“至少有两人生日在同一天”的可能性越来越大，显然这一点并不象人们在直觉上想象的那么小，在50人的班级中竟有97%的班级可能会发生上述事件，而在64人的班级中几乎百分之百会出现生日相同的人。解：因为11位乘客中的每一位都可在底层以外的15层中的任一层离开梯厢，故基本事件总数n=1511。831114CmA(1)事件A意味着除顶层离去的3位乘客外，其余8位乘客可在除底层、顶层外的任一层离去，即有148种可能情形。而顶层离去的是11位中的任意3位，又有种可能情形。综上，由乘法原理可知，A包含的基本事件数。于是，事件A的概率为0282.01514)(118311CnmAPA(2)事件B的等价事件是“11位乘客在15层中的不同层次离去”，即。故事件B的概率为1115AmB0063.015)(111115AnmBPB例7某校毕业班同宿舍的7位同学，拟在离校前合影留念。事先商定照相时7人横排成一队。试求下列事件的概率：(1)其中指定的3位排在一起(A)；(2)指定的3位及余下的4位分别排在一起(B)。解：基本事件总数n=7！=5040。于是：,720!3!5Am1429.0!7!3!5)(AP,288!3!4!2Bm0571.0!7!3!4!2)(BP三、概率的几何定义例1某店为促销搞有奖销售，在店堂设置了一个均匀地刻有刻度[0，100]的转盘。试求转针停止在区间[70，85]内的概率。该问题具有等可能性，但却不具备有限性，故不能用古典概型来求解。定义设是一个有度量的几何区域，是一个有度量的小几何区域。记它们的度量(长度、面积、体积等)分别为、。若随机点落在内任一位置是等可能的，则事件{向内投掷的随机点落入区域g}的概率为g)()(gA)()()(gAP由上述定义给出的随机试验模型称为几何概型，由上式计算的概率称为几何概率。下面