事件的运算与关系解读

1第一章二、事件的运算与关系一、事件的包含与相等第二节事件的关系与运算三、事件的运算规律2事件间的关系及事件的运算事件是一个集合，因而事件间的关系和运算,自然按照集合论中的集合之间的关系和运算来处理。一次随机试验,有多个不同的事件发生。这些事件有些简单，有些复杂。我们对其进行分析寻求它们之间的关系。下面给出这些关系和运算在概率论中的提法，并根据“事件发生”的含义给出它们在概率论中的含义。值得注意的是概率论中的和、差、积等运算与代数中的和、差、积的概念不同，在学习中要把握住运算的含义，掌握其运算的规律。3S一、事件的包含与相等BA记为.BAAxBx若事件A发生必导致事件定义：B发生，则称B包含了A。（A的每一个样本点都是B的样本点）或.AB即定义：若BA且.AB则称A与B相等记为A=B.文氏图(Venn图)例1:产品有长度、直径、外观三个指标,A=“长度不合格”,AB例2:掷骰子,A=“出现偶数点”,则A=BB=“产品不合格”,则B=“点数能被2整除”4抛两个分币A={正好一个上},B={上，上},C={至少一个上},D={无下}.DBCBCA例如如例1中设}2{取到的球号A}4{取到的球号B}{取到的球号是偶数C}1{取到的球号D有CABA,DA.DS二、事件的运算与关系5S1、事件的和、并(加法)（和运算）ABBABAAx若由“事件A与事件B至少有一个发生”Bx或定义所构成的事件称为A与B的和，记为或BA即BA若A与B有公共元素，此元素在BA中只出现一次。例如dcbaA,,,fedcB,,,fedcbaBA,,,,,类似，由“事件nAAA,,,21”中至少有一个发生所构成的事件，称为nAAA,,,21的和，记为nAAA21或nAAA216注：BA包含了A事件，也包含了B事件。例如A1={开关K1合上}A2={开关K2合上}A3={开关K3合上}B={灯亮}123BAAA三个开关至少有一个合上。例如：A1={甲生病没来}A2={乙生病没来}B={甲和乙至少有一个没来}12BAA例如：工地上A1={缺水泥}A2={缺黄沙}12BAA={缺水泥或黄沙}1K2K3KB72、事件的积、交(乘法)（积运算）BAAx由“事件A与事件B同时发生”Bx且BA或.AB定义即所构成的事件，记为例如dcbaA,,,fedcB,,,dcBA,例如电路图21AAB1K2KBA1={开关K1合上}A2={开关K2合上}称为事件A与B的积。SABAB8例如：设以nAAA,,,21表示毕业班一位学生的每门及格的学习成绩。以B表示该学生可以拿到毕业证书。则nAAAB21(表示门门课程都合格了)。类似，由“事件nAAA,,,21”中同时发生所构成的事件，称为nAAA,,,21的积，记为nAAA21或nAAA2193、事件的差、(减法)（差事件）BAAx由“事件A发生且事件B不发生”Bx且ABABASBABA定义构成的事件为事件A与事件B的差。记为}{BA同时例如dcbaA,,,fedcB,,,baBA,体检例如：A1={身高合格}A2={体重不合格}B={身高合格且体重合格}21AAB10事件C={t|t1500}“一等品”010001500CB次品一等品S6:{t|t0}中事件A={t|t1000}“次品”事件B={t|t1000}“合格品”11S4、互不相容事件ABBA事件A与事件B不能同时发生事件A与事件B定义的事件，称为记为若BA则称A与B相容.（可同时发生）注：基本事件是两两互不相容的(互斥)。如：产品检验是一等品、二等品、次品是互不相容的。互不相容(互斥).12S5、对立事件BA则称A与B为对立事件(互逆)SBA且BA即：事件A、B必有且仅有一个发生。定义事件A、B满足记为BAAB可见：若E只有两个互不相容的结果，那么这两个结果构成对立事件。例如：地震后一建筑物倒塌了为A,则没有倒塌为.A考试成绩及格了为A,则不及格为.A13nAAA,,,21表示毕业班一位学生的以C表示该学生拿不到毕业证书。则nAAAB21(表示门门课程都合格了)。例如：设以12nCAAA表示该学生至少有一门课程不及格。以B表示该学生可以拿到毕业证书。每门及格的学习成绩。146、完备事件组若事件运算满足121.nAAAS),2,1,(.2njijiAAji则称nAAA,,,21为完备事件组。1A2AnA如:中华人民共和国地图由31个省、市的版图（完备事件组）组成。学生的考试成绩由0－100分（101个完备事件组）组成。15主讲教师:王升瑞概率论与数理统计第二讲16三、事件的运算规律1.交换律ABBAABBA2.结合律)(CBACBA)()(CBACBA)(3.分配律)(CBA)()(CABA)(CBA)()(CABA4.德摩根律BABABABA即A、B中不是至少有一个发生，就是两个都不发生。A、B不是两个都发生，就是两个至少有一个不发生。推广：11nniiiiAA;11nnkkkkAA5、包含运算：ABB，ABAB，则ABABA，设6、ABABAAB7、AABAB8、,;AABBAB,AAAAAA,;ABAABB,ASSASA18例1.设A,B,C表示三个事件,试表示下列事件(1)A发生,B与C不发生(2)A与B发生,C不发生(3)A,B与C都发生(4)A,B与C至少有一个发生(5)A,B与C全都不发生(6)A,B与C至少有两个发生思考:判断AB(1)若且,AC则BC,AB(2)若则BBA)(CBA)(CAB)(ABC)(CBA)(CBAABC()CABCBABCA19例2某城市的供水系统由甲、乙两个水源与三部分管道1，2，3组成。每个水源都可以供应城市的用水。设事件Ak表示第k号管道正常工作，k=1，2，3。B表示“城市能正常供水”，B表示“城市断水”。城市甲乙123解123BAAA123BAAA123()AAA试用321,,AAA表示.,BB123AAA20例3从一批100件的产品中每次取出一个（取后不放回），假设100件产品中有5件是次品，用事件AK表示第k次取到次品（k=1,2,3),试用321AAA表示下列事件。1、三次全取到次品。321AAA2、只有第一次取到次品321AAA3、三次中至少有一次取到次品123AAA4、三次中恰有两次取到次品123AAA123AAA321AAA5、三次中至多有一次取到次品123AAA123AAA123AAA123AAA或121323AAAAAA21例4以A表示“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则A为：(a)甲滞销，乙畅销(b)甲乙两种产品均畅销(c)甲种产品畅销(d)甲滞销或乙畅销解：设B=“甲产品畅销”，C=“乙产品畅销”则ABCABCBC，故选(d)22作业P652，3，4,5,6