数列的综合应用(共29张PPT)

考向一等差数列与等比数列的综合问题[自主练透型][例1](2016·天津卷)已知{an}是等比数列，前n项和为Sn(n∈N*)，且1a1－1a2＝2a3，S6＝63.(1)求{an}的通项公式；(2)若对任意的n∈N*，bn是log2an和log2an＋1的等差中项，求数列{(－1)nb2n}的前2n项和．[解析](1)设数列{an}的公比为q.由已知，有1a1－1a1q＝2a1q2，解得q＝2或q＝－1.又由S6＝a1·1－q61－q＝63，知q≠－1，所以a1·1－261－2＝63，得a1＝1.所以an＝2n－1.(2)由题意，得bn＝12(log2an＋log2an＋1)＝12(log22n－1＋log22n)＝n－12，即{bn}是首项为12，公差为1的等差数列．设数列{(－1)nb2n}的前n项和为Tn，则T2n＝(－b21＋b22)＋(－b23＋b24)＋…＋(－b22n－1＋b22n)＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n＝2nb1＋b2n2＝2n2.—[悟·技法]—解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解．—[通·一类]—1．(2017·石家庄市第一次模考)已知等差数列{an}中，2a2＋a3＋a5＝20，且前10项和S10＝100.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝1anan＋1，求数列{bn}的前n项和．解析：(1)由已知得2a2＋a3＋a5＝4a1＋8d＝2010a1＋10×92d＝10a1＋45d＝100解得a1＝1d＝2，∴{an}的通项公式为an＝1＋2(n－1)＝2n－1.(2)bn＝12n－12n＋1＝12×(12n－1－12n＋1)，∴数列{bn}的前n项和Tn＝12×[(11－13)＋(13－15)＋…＋(12n－1－12n＋1)]＝12×(1－12n＋1)＝n2n＋1.考向二数列与不等式的综合问题[互动讲练型][例2]正项数列{an}的前n项和Sn满足：S2n－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)令bn＝n＋1n＋22a2n，数列{bn}的前n项和为Tn.证明：对于任意的n∈N*，都有Tn564.[解析](1)由S2n－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0.由于{an}是正项数列，所以Sn0，Sn＝n2＋n.于是a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n.综上，数列{an}的通项公式为an＝2n.(2)证明：由于an＝2n，故bn＝n＋1n＋22a2n＝n＋14n2n＋22＝1161n2－1n＋22.Tn＝1161－132＋122－142＋132－152＋…＋1n－12－1n＋12＋1n2－1n＋22＝1161＋122－1n＋12－1n＋221161＋122＝564.—[悟·技法]—数列与不等式相结合问题的处理方法解决数列与不等式的综合问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法、穿根法等．总之解决这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了．—[通·一类]—2．(2017·湖南省东部六校联考)已知等比数列{an}满足2a1＋a3＝3a2，且a3＋2是a2，a4的等差中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝an＋log21an，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn－2n＋1＋470成立的n的最小值．解析：(1)设等比数列{an}的公比为q，依题意，有2a1＋a3＝3a2a2＋a4＝2a3＋2，即a12＋q2＝3a1q①a1q＋q3＝2a1q2＋4②.由①得q2－3q＋2＝0，解得q＝1或q＝2.当q＝1时，不合题意，舍去；当q＝2时，代入②得a1＝2，所以an＝2·2n－1＝2n.故所求数列{an}的通项公式an＝2n(n∈N*)．(2)因为bn＝an＋log21an＝2n＋log212n＝2n－n，所以Sn＝2－1＋22－2＋23－3＋…＋2n－n＝(2＋22＋23＋…＋2n)－(1＋2＋3＋…＋n)＝21－2n1－2－n1＋n2＝2n＋1－2－12n－12n2.因为Sn－2n＋1＋470，所以2n＋1－2－12n－12n2－2n＋1＋470，即n2＋n－900，解得n9或n－10.因为n∈N*，所以使Sn－2n＋1＋470成立的正整数n的最小值为10.考向三数列与函数的综合问题[互动讲练型][例3](2017·温州十校联考)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx的图象过点(－4n,0)，且f′(0)＝2n，n∈N*，数列{an}满足1an＋1＝f′1an，且a1＝4.(1)求数列{an}的通项公式；(2)记bn＝anan＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.[解析](1)f′(x)＝2ax＋b，由题意知b＝2n，16n2a－4nb＝0，∴a＝12，b＝2n，则f(x)＝12x2＋2nx，n∈N*.数列{an}满足1an＋1＝f′1an，又f′(x)＝x＋2n，∴1an＋1＝1an＋2n，∴1an＋1－1an＝2n，由叠加法可得1an－14＝2＋4＋6＋…＋2(n－1)＝n2－n，化简可得an＝42n－12(n≥2)，当n＝1时，a1＝4也符合，∴an＝42n－12(n∈N*)．(2)∵bn＝anan＋1＝42n－12n＋1＝212n－1－12n＋1，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝21－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1＝21－12n＋1＝4n2n＋1.—[悟·技法]—数列与函数的综合问题的解题策略(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．另外，解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常见解法有助于该类问题的解决．—[通·一类]—3．已知函数f(x)＝2x＋33x，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f1an，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1，求Tn.解析：(1)∵an＋1＝f1an＝2an＋33an＝2＋3an3＝an＋23，∴{an}是以23为公差的等差数列．又a1＝1，∴an＝23n＋13.(2)Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1＝a2(a1－a3)＋a4(a3－a5)＋…＋a2n(a2n－1－a2n＋1)＝－43(a2＋a4＋…＋a2n)＝－43·n53＋4n3＋132＝－49(2n2＋3n)．考向四数列在实际问题中的应用[互动讲练型][例4](1)(2017·济宁一模)某城市有关部门计划在2016年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，则该城市从2016年到2022年年底共投入电力型公交车的辆数为()A．4118B．4119C．4120D．4121[解析]每年投入电力型公交车的辆数可构成等比数列{an}，其中a1＝128，q＝32，设{an}的前n项和为Sn,2022年投入的电力型公交车辆数是该等比数列的第七项，从2016年到2022年年底共投入电力型公交车的辆数是该等比数列的前七项和，则S7＝128×[1－327]1－32＝4118，故从2016年到2022年年底共投入4118辆电力型公交车．[答案]A(2)(2017·合肥二模)若运载“神八”的改进型“长征二号”系列火箭在点火后某一秒钟通过的路程为2km，此后每秒钟通过的路程增加2km，若从这一秒钟起通过240km的高度后，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是()A．10秒钟B．13秒钟C．15秒钟D．20秒钟[解析]设从这一秒钟起，经过x秒钟通过240km的高度．由已知得每秒钟行驶的路程组成首项为2，公差为2的等差数列，故有2x＋xx－12×2＝240，即x2＋x－240＝0，解得x＝15或x＝－16(舍去)．[答案]C—[悟·技法]—解数列应用题的建模思路从实际出发，通过抽象概括建立数学模型，通过对模型的解析，再返回实际中去，其思路框图为：—[通·一类]—4．(2017·杭州调研)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于()A．5B．6C．7D．8解析：每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n项和Sn＝21－2n1－2＝2n＋1－2.由2n＋1－2≥100，得2n＋1≥102.由于26＝64,27＝128，则n＋1≥7，即n≥6.答案：B5．(2017·贵阳二模)某科研单位欲拿出一定的资金奖励科研人员，第1名得全部资金的一半多一万元，第2名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得到剩下的一半多一万元，到第10名恰好资金分完，则此科研单位共拿出的奖励资金为()A．2002万元B．2020万元C．2046万元D．2060万元解析：设第10名到第1名得的奖金数分别是a1，a2，…，a10，记为{an}，设其前n项和为Sn，则an＝12Sn＋1，得a1＝2，an－an－1＝12an，即an＝2an－1，因此每人得的奖金数组成以2为首项，以2为公比的等比数列，所以S10＝2×1－2101－2＝2046.答案：C