有限元-第2讲-有限元法基本理论

©BIPT第2章有限元法基本理论张洪伟©BIPT弹性力学问题基本描述弹性问题参量原理12内容提要3有限元分析基本步骤4有限元解的误差分析©BIPT•工程问题的复杂性是诸多方面因素组成的。如果不分主次考虑所有因素，则问题的复杂，数学推导的困难，将使得问题无法求解。•根据问题性质，忽略部分暂时不必考虑的因素，提出一些基本假设。使问题的研究限定在一个可行的范围。•基本假设是学科的研究基础。•超出基本假设的研究领域是固体力学其它学科的研究。基本假设的必要性弹性力学问题的基本描述©BIPT弹性力学的基本假设1.连续性假设•——假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的介质所充满，各个质点之间不存在任何空隙。•——变形后仍然保持连续性。•根据这一假设，物体所有物理量，例如位移、应变和应力等均为物体空间的连续函数。•微观上这个假设不成立——宏观假设。©BIPT弹性力学的基本假设2.均匀性假设•——假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。因此物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标位置的变化而改变。•——物体的弹性性质处处都是相同的。•工程材料，例如混凝土颗粒远远小于物体的的几何形状，并且在物体内部均匀分布，从宏观意义上讲，也可以视为均匀材料。•对于环氧树脂基碳纤维复合材料，不能处理为均匀材料。©BIPT弹性力学的基本假设3.各向同性假设•——假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质，这就是说物体的弹性常数将不随坐标方向的改变而变化。•——宏观假设，材料性能是显示各向同性。•当然，像木材，竹子以及纤维增强材料等，属于各向异性材料。•——这些材料的研究属于复合材料力学研究的对象。©BIPT弹性力学的基本假设4.完全弹性假设•——对应一定的温度，如果应力和应变之间存在一一对应关系，而且这个关系和时间无关，也和变形历史无关，称为完全弹性材料。•完全弹性分为线性和非线性弹性，弹性力学研究限于线性的应力与应变关系。•研究对象的材料弹性常数不随应力或应变的变化而改变。©BIPT弹性力学的基本假设5.小变形假设——假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响下，物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量。——在弹性体的平衡等问题讨论时，可以不考虑因变形所引起的尺寸变化。——忽略位移、应变和应力等分量的高阶小量，使基本方程成为线性的偏微分方程组。©BIPT弹性力学的基本假设——假设物体处于自然状态，即在外界因素作用之前，物体内部没有应力。弹性力学求解的应力仅仅是外部作用（外力或温度改变）产生的。6.无初始应力假设©BIPT弹性力学的基本假设，主要包括弹性体的连续性、均匀性、各向同性、完全弹性和小变形假设等。这些假设都是关于材料变形的宏观假设。弹性力学问题的讨论中，如果没有特别的提示，均采用基本假设。这些基本假设被广泛的实验和工程实践证实是可行的。弹性力学的基本假设©BIPT物体外力——分为两类体力分布在物体整个体积内的外力如重力，惯性力，电磁力等面力分布在物体表面上的外力，如液体压力、风力和接触力等弹性力学基本概念一外力©BIPT弹性力学基本概念二内力内力：物体在外界因素作用下，例如外力，温度变化等，物体内部各个部分之间将产生相互作用，这种物体一部分与相邻部分之间的作用力。内力的计算可以采用截面法，即利用假想平面将物体截为两部分，将希望计算内力的截面暴露出来，通过平衡关系计算截面内力F。©BIPT弹性力学基本概念物体承受外力作用，物体内部各截面之间产生附加内力，为了显示出这些内力，我们用一截面截开物体，并取出其中一部分：三应力的概念©BIPT弹性力学基本概念其中一部分对另一部分的作用，表现为内力，它们是分布在截面上分布力的合力。取截面的一部分，它的面积为ΔA，为物体在该截面上ΔA点的应力。ΔQΔA平均集度为ΔQ/ΔA，其极限作用于其上的内力为ΔQ，AQSlim三应力的概念©BIPT弹性力学基本概念通常将应力沿垂直于截面和平行于截面两个方向分解为Sστ正应力σ切应力τ三应力的概念©BIPT应力分量xyzo应力不仅和点的位置有关，和截面的方位也有关。描述应力，通常用一点平行于坐标平面的单元体，各面上的应力沿坐标轴的分量来表称为应力分量。物体内各点的内力平衡，因此相对平面上的应力分量大小相等，方向相反。弹性力学基本概念三应力的概念©BIPT平行于单元体面的应力称为切应力，用τyx、τyz表示，其第一下标y表示所在的平面法线方向，第二下标x、y分别表示力的方向。如图示的τyx、τyz。σyτyxτyzxyzo符号规定：图示单元体面的法线为y,称为y面，应力分量垂直于单元体面的应力称为正应力。正应力记为,沿y轴的正向为正,其下标表示所沿坐标轴的方向。y三应力的概念©BIPT平行于单元体面的应力如图示的τyx、τyz，沿x轴、z轴的负向为正。图示单元体面的法线为y的负向，正应力记为,沿y轴负向为正。y符号规定三应力的概念©BIPT弹性力学材料力学注意弹性力学切应力符号和材料力学是有区别的，图示中，弹性力学里，切应力都为正，而材料力学中相邻两面的的符号是不同的。在画应力圆时，应按材料力学的符号规定。符号规定三应力的概念©BIPT其它x、z正面上的应力分量的表示如图所示。凡正面上的应力沿坐标正向为正，逆坐标正向为负。xxyxzyxyyzzxzyzxyyxyzzyxzzxxyzxyyzzx独立应力分量：三应力的概念©BIPT外力作用下，物体各点发生位移，但是某点位移的大小并不能确定该处应力的大小，它与物体的整体约束有关。应变反映局部各点相对位置的变化，与应力直接相关，变形体力学中弹性力学对这种关系作了最为简化的假设，在各向同性线弹性的条件下，弹性常数只有两个。四应变的概念xyzxyyzzxyxzyxz1、线应变2、切应变©BIPT1）切应力为零的微分面称为主微分平面，简称主平面。2）主平面的法线称为应力主轴或者称为应力主方向。3）主平面上的正应力称为主应力。根据主应力和应力主轴的定义，可以建立其求解方程。五主平面、应力主方向与主应力©BIPT弹性体内部各点位置的变化，称为位移位移形式刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持初始状态相对位置不变。变形位移：位移不仅使得位置改变，而且改变了物体内部各个点的相对位置。位移u，v，w是单值连续函数五位移的概念©BIPT弹性力学基本方程平衡微分方程几何方程变形协调方程物理方程©BIPT平衡物体整体平衡，内部任何部分也是平衡的。对于弹性体，必须讨论一点的平衡。一平衡微分方程©BIPT©BIPT0,bjiijF0yxxzxbxFxyz00xyyzybyyzzzbzFxyzFxyz一平衡微分方程©BIPT正应变示意图二几何方程©BIPT由几何方程可知，u,v,w函数已知，则该点应变分量确定。但是，应变分量确定，无法求出位移分量。空间几何方程二几何方程©BIPT变形协调方程也称变形连续方程，或相容方程。描述六个应变分量之间所存在的关系式。同一平面内的正应变与剪应变之间的关系zxxzzyyzyxxyxzzxyzzyxyyx222222222222222三变形协调方程©BIPT不同平面内的正应变与剪应变之间的关系：yxzyxzzxyxzyzyxzyxzxyzxyzyzxyzxyxyzxyzx2222)(2)(2)(三变形协调方程©BIPT杆受拉沿受力方向引起伸长，同时垂直于力方向则引起缩短，实验证明，在弹性范围内有泊松比，也称横向变形系数。xy)(E1Ex321zyxzyxxxxEE应变和应力关系•取一个单元体，在各正应力作用下，沿Ｘ轴方向的正应变：四物理方程©BIPT广义虎克定律)2(1EGG为剪切弹性模量，其中，Gxyxy剪应变：应变和应力关系四物理方程©BIPT写成矩阵形式：简记为其中，[Ｄ]为弹性矩阵，它完全取决于弹性系数Ｅ和μ。应变和应力关系四物理方程©BIPT2.4边界条件©BIPT弹性力学的基本未知量：位移分量，应力分量和应变分量。基本方程：平衡微分方程，几何方程和物理方程。要使基本方程有确定的解，还要有对应的面力或位移边界条件。边界条件一般分为：静力（面力）边界条件、位移边界条件和混合边界条件。弹性力学的任务：就是在给定的边界条件下，就十五个未知量求解十五个基本方程。边界条件©BIPT静力边界条件：结构在边界上各点所受的面力为坐标的已知函数，建立起面力分量与应力分量之间的关系。由于物体表面受到表面力，如压力和接触力等的作用，设单位面积上的面力分量为Fsx、Fsy和Fsz，物体外表面法线n的方向余弦为l，m，n。参考应力矢量与应力分量的关系，可得一静力（面力）边界条件©BIPT位移边界条件：结构在边界上位移为位置坐标的已知函数。),,(),,(),,(zyxwwzyxvvzyxuu•混合边界条件：结构在一部分边界上位移为位置坐标的已知函数，其它边界上所受的面力为已知函数，或者结构在边界上部分面力分量和位移分量为位置坐标的已知函数。二位移边界条件©BIPT势能—系统在某一位置所具有的对外作功的能力，称为系统在这一位置的势能。势能零点—人为选定的势能为零的位置，称为零势位置，又称为势能零点。保守力—如果力在有限路程上所做之功只与其起点和终点有关而与路径无关，这种力称为保守力。保守力做功与势能增量的关系：V=–W弹性问题的能量原理©BIPT弹性势能—弹性体变形后，产生弹性内力，这种力也具有对外作功的能力，称为弹性势能，或弹性应变能。1()2xxyyzzxyxyyzyzxzxzUdV012ijijdVUdVijijxzxzyzyzxyxyzzyyxxU21)(210单位体积的应变能（应变比能）：包括正应变和剪应变变形能©BIPT微元变形能（正应变）111()()222xxxxdUFudydzdxdVΔuF©BIPTib()()pxyzxyzSWbubvbwdVpupvpwdApiiiiSWbudVpudAip单位体积力面力外力包括作用在物体上的面力和体力外力功©BIPTII＝U-WU－弹性势能或变形(应变)能W－外力功对于保守力场作用下的弹性体系统总势能：©BIPT•虚位移：假定的、在约束条件允许范围内，弹性体可能发生的、任意的、微小的位移，只说明位移产生的可能性，必须满足变形协调条件和几何边界条件。•变形势能：弹性体受力变形后，弹性体内部应力在其应变上所做的功。•虚位移原理：若弹性体在已知的面力和体力的作用下处于平衡状态，那么使弹性体产生虚位移时，所有作用在弹性体上的外力在虚位移上所做得虚功等于弹性体所具有的虚变形势能。虚位移原理（虚功原理）©BIPT虚功原理—虚位移原理外力作用下处于平衡状态的弹性体，产生约束许可的微小虚位移（并同时在弹性体内产生虚应变），外力在虚位移上所作的虚功等于弹性体内各点的应力在相应的虚应变上所作的虚功。弹性体平衡We=Wi©BIPTWi=dVxzxzyzyzxyxyzzyyxx)(We=dAwpvpupdVwbvbubzySxzyxp)()(dAupdVubdViSiiiijijpWe=Wi弹性问题中等价于最小势能原理！©BIPT变分原理设u是未知函数，F和E是u及其偏导数的函数，V是求解域，S是V的边界，则如下积分形式∏称为未