初二数学分式知识点及练习

上册——知识点及题型回顾第一讲、分式1.分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子𝐴𝐵叫做分式，A为分子，B为分母。2.与分式有关的条件：①分式有意义：分母不为0（B≠0）②分式无意义：分母为0（B=0）③分式值为0：分子为0且分母不为0（A=0）B≠0④分式值为正或大于0：分子分母同号（A0或A0）B0B0⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（A0或A0）B0B0⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B）⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）3.分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。字母表示：𝐴𝐵=𝐴×𝐶𝐵×𝐶,𝐴𝐵=𝐴÷𝐶𝐵÷𝐶，其中A、B、C是整式，C≠0。拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即：𝐴𝐵=−𝐴−𝐵=−−𝐴𝐵=−𝐴−𝐵。注意：在应用分式的基本性质时，要注意C≠0这个限制条件和隐含条件B≠0。4.分式的约分:（1）定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。（2）步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。（3）注意：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。（4）最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。◆约分时。分子分母公因式的确定方法：1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数。2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.。3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式.。5.分式的通分：（1）定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。（依据：分式的基本性质！）（2）最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。◆通分时，最简公分母的确定方法：1)系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数。2)取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.。3)如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母。6.分式的四则运算与分式的乘方：（1）分式的乘除法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：𝑎𝑏*𝑐𝑑=𝑎∗𝑐𝑏∗𝑑分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为：𝑎𝑏÷𝑐𝑑=𝑎𝑏*𝑑𝑐=𝑎∗𝑑𝑏∗𝑐（2）分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子表示为：(ab)𝑛=𝑎𝑛𝑏𝑛（3）分式的加减法则：同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为：𝑎𝑐±𝑏𝑐=𝑎±𝑏𝑐异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为：𝑎𝑏±𝑐𝑑=𝑎𝑑±𝑏𝑐𝑏𝑑整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。（4）分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序:先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。注意：1)在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。2)加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。7.整数指数幂:（1）引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幂的法则对对负整数指数幂一样适用。即：𝑎𝑚*𝑎𝑛=𝑎𝑚+𝑛；(am)𝑛=𝑎𝑚𝑛；(𝑎𝑏)𝑛=𝑎𝑛𝑏𝑛；𝑎𝑚÷𝑎𝑛=𝑎𝑚−𝑛(a≠0)；(ab)𝑛=𝑎𝑛𝑏𝑛；𝑎−𝑛=1𝑎𝑛(a≠0)；𝑎0=1(𝑎≠0)(任何不等于零的数的零次幂都等于1)其中m，n均为整数。8.分式方程的解的步骤：⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程）⑵解整式方程，得到整式方程的解。⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。9.列分式方程——基本步骤：①审—仔细审题，找出等量关系。②设—合理设未知数。③列—根据等量关系列出方程（组）。④解—解出方程（组）。注意检验⑤答—答题。题型精讲：例1.（2011•齐齐哈尔）分式方程=有增根，则m的值为（）A．0和3B．1C．1和﹣2D．3解：同题型练习1.若分式方程：有增根，则k=_________．同题型练习2.若方程有增根x=5，则m=_________．同题型练习3.15．若关于x的分式方程无解，则a=_________．例2.(1)22152;;236xxxxx的最简公分母是（）；(2)323212;;425xyxxyxxyxy的最简公分母是（）；(3)121;23xxxx的最简公分母是（）；(4)345;:(1)(2)(2)(3)3xxxxx的最简公分母是（）。同题型练习1.(1)25553()44yxx；(2)34857515)55(95xyxyxy；(3)2()7()555xyyxx；(4)25554()2332xxxx。同题型练习2.如果把分式43xyxy中的x和y的值都扩大2倍，那么分式的值()(A)扩大2倍；(B)缩小2倍；(C)不改变；(D)扩大4倍。例3.若，xy+yz+zx=kxyz，则实数k=_________同题型练习（1）计算的结果是_________．（2）计算（x+y）•=_________．（3）化简，其结果是_________．（4）化简：=_________．（5）化简：=_________．（6）化简：=_________．（7）已知等式：2+=22×，3+=32×，4+=42×，…，10+=102×，（a，b均为正整数），则a+b=_________例4.已知方程的解为m，则经过点（m，0）的一次函数y=kx+3的解析式为______________同题型练习1.（2010•孝感）解方程：．同题型练习2.（2011•衢江区模拟）解方程：同题型练习3.（2011•龙岗区三模）解方程：=0．同题型练习4.(1)①解方程：2﹣=1；②利用①的结果，先化简代数式（1+）÷，再求值．(2)(3)(4)﹣=1；(5)﹣=0．例5.（2012•台州）小王乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车多20千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了，设公共汽车的平均速度为x千米/时，则下面列出的方程中正确的是（）A．B．C．D．解：同题型练习1.小明上周三在超市花10元钱买了几袋牛奶，周日再去买时，恰遇超市搞优惠酬宾活动，同样的牛奶，每袋比周三便宜0.5元，结果小明只比上次多花了2元钱，却比上次多买了2袋牛奶，若设他上周三买了x袋牛奶，则根据题意列得方程为__________，并计算出x的值。同题型练习2.（2006•大连）A玉米试验田是边长为a米的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下部分，B玉米试验田是边长为（a﹣1）米的正方形，两块试验田的玉米都收获了500千克．（1）哪种玉米的单位面积产量高？（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？