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矩形、菱形、正方形中数：朱婷一、转化思想1.已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F．（1）如图1，当P点在线段AB上时，求PE+PF的值．（2）如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE﹣PF的值二、方程思想2.如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N.（1）求证：CM=CN；（2）若ΔCMN的面积与ΔCDN的面积比为3：1，求的值.三、分类讨论思想3.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD=，∠C=45°，点P是BC边上一动点，设PB的长为x。（1）当x的值为_________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形；（2）当x的值为_________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；（3）点P在BC边上运动的过程中，以P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由。四、本章常见辅助线（一）倍长中线构造平行四边形4.已知：如图,AD为三角形ABC的中线,E为AC上的一点,连接BE交AD于F,且AE=FE,BF与AC相等吗?为什么?（二）取线段中点，构造中位线5.如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，求证：∠BME=∠CNE6.如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论；7.如图3，在△ABC中，ACAB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连结GD，判断△AGD的形状并证明。（三）正方形中常见辅助线8.已知：P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足。求证：AP=EF。9.如图，正方形ABCD绕点A逆时针旋转n°后得到正方形AEFG，边EF与CD交于点O。（1）求证：OD=OE（2）若正方形的边长为2cm，n=30︒，求四边形AEOD的面积。10.如图，ABCD为平行四边AD=a,BE∥AC,DE交AC的延长线于F点，交BE于E点.（1）求证：DF=FE;（2）若AC=2CF,∠ADC=60o,AC⊥DC,求BE的长;（3）在（2）的条件下，求四边形ABED的面积.11.如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（）A.32B.52C.3D.413.如图所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE、等边△BCF。（1）求证：四边形DAEF是平行四边形；（2）探究下列问题：（只填满足的条件，不需证明）①当△ABC满足_____条件时，四边形DAEF是矩形；②当△ABC满足_____条件时，四边形DAEF是菱形；③当△ABC满足_____条件时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在。14.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,角AOB=60°,AE平分角BAD,AE交BC于E,求角BOE的度数?15.矩形ABCD中，AB=2，BC=1，点P是直线BD上一点，且DP=DA，直线AP与直线BC交于点E，则CE=______．16.如图所示,在正方形ABCD中,点G是边BC上任意一点,DE⊥AG,垂足为E,延长DE交AB于点F,在线段AG上取点H,使得AG=DE+HG,连接BH,求证：∠ABH=∠CDE.17.如图1，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连接EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM交BD于点（1）求证：OE=OF；（2）如图2，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．18.在数学活动课中，小辉将边长为和3的两个正方形放置在直线l上，如图1，他连结AD、CF，经测量发现AD=CF．（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF的长219.用两块斜边相等的三角形拼图.（1）当拼出图一的情形时,取BC的中点M,连接AM,DM,证明：△AMD为等腰三角形.（2）拼成图二,连接AD,点M,N分别是BC和AD的中点.证明：MN垂直平分AD