优选教育中考数学专题复习第二十讲矩形、菱形、正方形.ppt

第二十讲矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形的性质和判定名称判定性质矩形1.有一个角是_____的平行四边形(定义)2.对角线_____的平行四边形3.有三个角是_____的四边形除具有平行四边形的性质外,还有:1.矩形的四个角都是_____2.矩形的对角线_____3.既是_________图形,又是轴对称图形直角相等直角直角相等中心对称名称判定性质菱形1.有一组邻边_____的平行四边形(定义)2.对角线互相_____的平行四边形3.四条边都______的四边形除具有平行四边形的性质外,还有:1.菱形的四条边都_____2.菱形的两条对角线互相_____,并且每一条对角线平分_________3.菱形的面积等于两条对角线乘积的_____4.既是_________图形,又是轴对称图形相等垂直相等相等垂直一组对角一半中心对称名称判定性质正方形1.有一组邻边_____并且有一个角是_____的平行四边形(定义)2.一组邻边_____的矩形3.一个角是_____的菱形4.对角线相等且垂直的平行四边形1.正方形的四个角都是_____2.正方形的四条边都_____3.正方形的两条对角线_____且互相_________,每一条对角线平分一组对角4.既是_____对称图形,又是轴对称图形相等直角相等直角直角相等相等垂直平分中心【自我诊断】(打“√”或“×”)1.矩形的对角线互相平分且相等.()2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.()3.菱形的面积等于对角线乘积的一半.()4.菱形的两条对角线长分别是6和8,则此菱形的边长是5.()√√√√5.如图,菱形ABCD中,∠A=60°,BD=7,则菱形ABCD的周长为28.()6.如图,在矩形ABCD中,∠BOC=120°,AB=5,则BD的长为8.()√×7.既是矩形又是菱形的四边形一定是正方形.()√考点一矩形的性质与判定【示范题1】(2017·达州中考)如图,在△ABC中,点O是边AC上一个动点,过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E,F.(1)若CE=8,CF=6,求OC的长.(2)连接AE,AF.问:当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?并说明理由.【思路点拨】(1)根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠OEC=∠OCE,∠OFC=∠OCF,证出OE=OC=OF,∠ECF=90°,由勾股定理求出EF,即可得出答案.(2)根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可.【自主解答】(1)∵EF交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F,∴∠OCE=∠BCE,∠OCF=∠DCF,∵EF∥BC,∴∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠DCF,∴∠OEC=∠OCE,∠OFC=∠OCF,∴OE=OC,OF=OC,∴OE=OF;∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF=180°,∴∠ECF=90°,在Rt△CEF中,由勾股定理得:EF==10,∴OC=OE=EF=5.22CECF12(2)当点O在边AC上运动到AC中点时,四边形AECF是矩形.理由如下:连接AE,AF,如图所示:当O为AC的中点时,AO=CO,∵EO=FO,∴四边形AECF是平行四边形,∵∠ECF=90°,∴平行四边形AECF是矩形.【答题关键指导】矩形的两种判定方法(1)若四边形(或可证)为平行四边形,则再证一个角为直角或对角线相等.(2)若直角较多,可证三个角为直角.【变式训练】1.(2017·怀化中考)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,AC=6cm,则AB的长是()A.3cmB.6cmC.10cmD.12cm【解析】选A.∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OC=OB=OD=3cm,∵∠AOB=60°,∴△AOB是等边三角形,∴AB=OA=3cm.2.(2017·咸宁中考)如图,点O是矩形纸片ABCD的对称中心,E是BC上一点,将纸片沿AE折叠后,点B恰好与点O重合,若BE=3,则折痕AE的长为________.【解析】由折叠,得∠BAE=∠OAE,EO⊥AC,又OA=OC,∴EA=EC,∴∠BAE=∠OAE=∠ECO=30°,∴AE=2BE=6.答案:6考点二菱形的性质与判定【示范题2】(2017·滨州中考)如图,在▱ABCD中,以点A为圆心,AB长为半径画弧交AD于点F;再分别以点B,F为圆心,大于BF的相同长为半径画弧,两弧交于点P;连接AP并延长交BC于点E,连接EF,则所得四边形ABEF是菱形.12(1)根据以上尺规作图的过程,求证四边形ABEF是菱形.(2)若菱形ABEF的周长为16,AE=4,求∠C的大小.3【思路点拨】(1)要证明四边形ABEF是菱形,先考虑证明四边形ABEF是平行四边形,已知BE∥AF,设法补充BE=AF即可.(2)由于四边形ABCD为平行四边形,可将求∠C转化为求∠BAD,而菱形的对角线平分一组对角,因此可先求∠DAE的大小.【自主解答】(1)由作图过程可知,AB=AF,AE平分∠BAD.∴∠BAE=∠EAF.∵四边形ABCD为平行四边形,∴BC∥AD.∴∠AEB=∠EAF.∴∠BAE=∠AEB,∴AB=BE.∴BE=AF.∴四边形ABEF为平行四边形.又AB=AF,∴四边形ABEF为菱形.(2)连接BF,BF交AE于点O,∵四边形ABEF为菱形,∴BF与AE互相垂直平分,∠BAE=∠FAE.∴OA=AE=2.∵菱形ABEF的周长为16,∴AF=4.∴cos∠OAF=.∴∠OAF=30°,∴∠BAF=60°.∵四边形ABCD为平行四边形,∴∠C=∠BAD=60°.123OA3AF2【答题关键指导】菱形判定方法的选择(1)若四边形(或可证)为平行四边形,则再证一组邻边相等或对角线互相垂直.(2)若相等的边较多(或容易证出)时,可证四条边相等.【变式训练】1.(2017·长沙中考)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别为6cm,8cm则这个菱形的周长为()A.5cmB.10cmC.14cmD.20cm【解析】选D.∵AC=6,BD=8,四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,OA=AC=3,OB=BD=4,∴AB=5,∴菱形的周长是:4AB=4×5=20.12122.(2017·聊城中考)如图,△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,要判定四边形DBFE是菱形,还需要添加的条件是()A.AB=ACB.AD=BDC.BE⊥ACD.BE平分∠ABC【解析】选D.∵DE∥BC,EF∥AB,∴四边形DBFE是平行四边形,∵BE平分∠ABC,∴∠DBE=∠EBF,∵DE∥BC,∴∠EBF=∠BED,∴∠DBE=∠BED,∴DB=DE,∴四边形DBFE是菱形.3.(2017·自贡中考)如图,点E,F分别在菱形ABCD的边DC,DA上,且CE=AF.求证:∠ABF=∠CBE.【证明】∵四边形ABCD是菱形,∴∠A=∠C,AB=BC,又∵CE=AF∴△ABF≌△CBE(SAS),∴∠ABF=∠CBE.考点三正方形的性质与判定【示范题3】(2017·青岛中考)已知:如图,在菱形ABCD中,点E,O,F分别为AB,AC,AD的中点,连接CE,CF,OE,OF.(1)求证:△BCE≌△DCF.(2)当AB与BC满足什么关系时,四边形AEOF是正方形?请说明理由.【思路点拨】(1)由菱形的性质得出∠B=∠D,AB=BC=DC=AD,由已知和三角形中位线定理证出AE=BE=DF=AF,OF=DC,OE=BC,OE∥BC,由SAS证明△BCE≌△DCF即可.(2)由(1)得:AE=OE=OF=AF,证出四边形AEOF是菱形,再证出∠AEO=90°,则四边形AEOF是正方形.1212【自主解答】(1)∵四边形ABCD是菱形,∴∠B=∠D,AB=BC=DC=AD,∵点E,O,F分别为AB,AC,AD的中点,∴AE=BE=DF=AF,OF=DC,OE=BC,OE∥BC,在△BCE和△DCF中,∴△BCE≌△DCF(SAS).1212BEDFBDBCDC，，，(2)当AB⊥BC时,四边形AEOF是正方形,理由如下:由(1)得:AE=OE=OF=AF,∴四边形AEOF是菱形,∵AB⊥BC,OE∥BC,∴OE⊥AB,∴∠AEO=90°,∴四边形AEOF是正方形.【答题关键指导】判定正方形的三步法(1)先证明它是平行四边形.(2)再证明有一组邻边相等(或一个角是直角).(3)最后证明它有一个角是直角(或有一组邻边相等).【变式训练】1.(2017·枣庄中考)如图,把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开,折痕为MN,再过点B折叠纸片,使点A落在MN上的点F处,折痕为BE.若AB的长为2,则FM的长为()A.2B.C.D.132【解析】选B.∵四边形ABCD为正方形,AB=2,过点B折叠纸片,使点A落在MN上的点F处,∴FB=AB=2,BM=1,则在Rt△BMF中,FM=2222BFBM213.2.(2017·六盘水中考)如图,在正方形ABCD中,等边三角形AEF的顶点E,F分别在边BC和CD上,则∠AEB=_____度.【解析】∵四边形ABCD为正方形,△AEF为等边三角形,∴AD=AB,∠BAD=∠B=∠D=90°,∵△AEF为等边三角形,∴AE=AF,∠EAF=60°,∴△ABE≌△ADF,∴∠BAE=∠DAF=15°,∴∠AEB=75°.答案:753.(2017·广安中考)如图,四边形ABCD是正方形,E,F分别是AB,AD上的一点,且BF⊥CE,垂足为G.求证:AF=BE.【证明】∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠A=∠ABC=90°,∴∠AFB+∠ABF=90°.∵BF⊥CE,∴∠BEC+∠ABF=90°,∴∠AFB=∠BEC.在△AFB和△BEC中,∴△AFB≌△BEC(AAS),∴AF=BE.ABBC,AABC,AFBBEC,考点四特殊平行四边形的探索题【考情分析】特殊平行四边形的探索题问题在各地中考中都是热点,这类题常以基础知识为背景加以设计而成,考查解题者的发散性思维和所学基本知识的应用能力.命题角度1:条件的探索【示范题4】(2017·日照中考)如图,已知BA=AE=DC,AD=EC,CE⊥AE,垂足为E.(1)求证:△DCA≌△EAC.(2)只需添加一个条件,即________,可使四边形ABCD为矩形.请加以证明.【思路点拨】(1)由SSS证明△DCA≌△EAC即可.(2)先证明四边形ABCD是平行四边形,再由全等三角形的性质得出∠D=90°,即可得出结论.【自主解答】(1)在△DCA和△EAC中,∴△DCA≌△EAC(SSS).DCEAADCEACCA，，，(2)添加AD=BC,可使四边形ABCD为矩形;理由如下:∵AB=DC,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形,∵CE⊥AE,∴∠E=90°,由(1)得:△DCA≌△EAC,∴∠D=∠E=90°,∴四边形ABCD为矩形.答案:AD=BC(答案不唯一)命题角度2:结论的探索【示范题5】(2017·杭州中考)如图,在正方形ABCD中,点G在对角线BD上(不与点B,D重合),GE⊥DC于点E,GF⊥BC于点F,连接AG.(1)写出线段AG,GE,GF长度之间的数量关系,并说明理由.(2)若正方形ABCD的边长为1,∠AGF=105°,求线段BG的长.【思路点拨】(1)结论:AG2=GE2+GF2.连接GC,只要证明GA=GC,四边形EGFC是矩形,推出GE=CF,在Rt△GFC中,利用勾股定理即可证明.(2)过点A作AH⊥BD于点H,在Rt△ABH中,用三角函数表示出BH,在Rt△AGH中,用三角函数表示出GH,根据BG=BH+HG求得答案.【自主解答】(1)AG2=GE2+GF2.理由如下:连接GC,因为四边形ABCD是正方形,所以AD=DC,∠ADB=∠CDB=45°,GD=GD,∴△ADG≌△CDG,所以AG=CG.因为GE⊥DC于点E,GF⊥BC于点F,所以四边形GF