集合问题中常见易错点归类分析答案与解析

WORD格式..可编辑专业知识整理分享集合问题中常见易错点归类分析有关集合问题，涉及范围广，内容多，难度大，题目灵活多变．初学时，由于未能真正理解集合的意义，性质，表示法或考虑问题不全，而造成错解．本文就常见易错点归纳如下：1．代表元素意义不清致误例1设集合A＝｛（x,y）∣x＋2y＝5｝，B＝｛（x,y）∣x－2y＝－3｝，求AB．错解：由3252yxyx得21yx从而AB＝{1，2}．分析上述解法混淆了点集与数集的区别，集合A、B中元素为点集，所以AB＝{(1，2)}例2设集合A＝{y∣y＝2x＋1，xR}，B＝{x∣y＝x＋2}，求Ａ∩Ｂ．错解：显然Ａ＝｛y∣ｙ≥１｝Ｂ＝｛x∣ｙ≥２｝．所以A∩B=B．分析错因在于对集合中的代表元素不理解，集合A中的代表元素是y，从而A＝{ｙ∣ｙ≥1}，但集合B中的元素为x,所以B＝{x∣x≥0}，故A∩B=A．变式：已知集合}1|{2xyyA，集合}|{2yxyB，求BA解：}1|{}1|{2yyxyyA，RyxyB}|{2}1|{yyBA例3设集合}06{2xxA,}06|{2xxxB，判断A与B的关系。错解：}32{，BA分析：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。元素的属性可以是方程，可以是数，也可以是点，还可以是集合等等。集合A中的元素属性是方程，集合B中的元素属性是数，故A与B不具包含关系。例4设B＝{1,2}，A＝{x|x⊆B}，则A与B的关系是()A．A⊆BB．B⊆AC．A∈BD．B∈A错解：B分析：选D.∵B的子集为{1}，{2}，{1,2}，∅，∴A＝{x|x⊆B}＝{{1}，{2}，{1,2}，∅}，从集合与集合的角度来看待A与B，集合A的元素属性是集合，集合B的元素属性是数，两者不具包含关系，故应从元素与集合的角度来看待B与Ａ，∴B∈A.评注：集合中的代表元素，反映了集合中的元素所具有的本质属性，解题时应认真领会，以防出错．2忽视集合中元素的互异性致错例5已知集合A={１，3，a}，B={１，2a－a＋１},且AB，求a的值．错解：经过分析知，若2a－,31a则2a,02a即1a或2a．若2a,1aa则2a,012a即1a．从而a＝－１，１，２．WORD格式..可编辑专业知识整理分享分析当a＝１时，A中有两个相同的元素1，与元素的互异性矛盾，应舍去，故a＝－１，２．例6设Ａ＝｛ｘ∣2x＋（ｂ＋２）ｘ＋ｂ＋１＝０，ｂR｝，求Ａ中所有元素之和．错解：由2x＋（ｂ＋２）ｘ＋ｂ＋１＝０得（ｘ＋１）（ｘ＋ｂ＋１）＝０（１）当ｂ＝０时，ｘ1＝x2－１，此时Ａ中的元素之和为－２．（２）当ｂ０时，ｘ1＋x2＝－ｂ－２．分析上述解法错在（１）上，当ｂ＝０时，方程有二重根－１，集合Ａ＝｛－１｝，故元素之和为－１，犯错误的原因是忽视了集合中元素的“互异性”．因此，在列举法表示集合时，要特别注意元素的“互异性”．评注：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。在解题时也可以先确定字母参数的范围后，再具体解决问题。３．忽视空集的特殊性致误例7若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且BA，求实数m的值．错解：A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}．∵BA，（１）}3{Bmx＋1＝0的解为－3，由m·(－3)＋1＝0，得m＝13；（２）}2{Bmx＋1＝0的解为2，由m·2＋1＝0，得m＝－12；综上所述，31m或21m分析：空集是任何集合的子集，此题忽略了B的情况。正解：A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}．∵BA，（１）B，此时方程01mx无解，0m（２）}3{Bmx＋1＝0的解为－3，由m·(－3)＋1＝0，得m＝13；（３）}2{Bmx＋1＝0的解为2，由m·2＋1＝0，得m＝－12；综上所述，31m或21m或0m例8已知}04|{2xxxA，}01)1(2|{22axaxxB，若AB，求ａ的取值范围。WORD格式..可编辑专业知识整理分享解：}0,4{}04|{2xxxA（１）B，0)1(8)1(4)1(422aaa，即1a（２）}4{B，方程01)1(222axax有两等根－４由01)1(81602aa得711或aa，所以无解（３）}0{B，方程01)1(222axax有两等根０由0102a得11aa，所以1a（４）}0,4{B，方程01)1(222axax有两不等根－４，０由104)1(20402aa得111aaa，所以1a综上所述，1a或1a例9已知集合}41|{xxxA或，}32|{axaxB，若AB，求ａ的取值范围。解：（１）B，32aa得3a（２）B，则3a133aa或423aa得4a或32a综上所述4a或2a例１０已知集合}41|{xxxA或，}11|{axaxB，若BA，求ａ的取值范围。解：（1）B，则0a，符合题意（2）B，则2041110aaaa综上所述，2a变式：已知集合}41|{xxxA或，}11|{axaxB，若BA，求ａ的取值范围。解：当BA时，2a所以当BA时，2a评注：对于任何集合Ａ，皆有Ａ＝，Ａ∪＝Ａ，Ａ．的特殊性不容忽视．尤其是在解含有参数的集合问题时，更要充分注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况。空集是一个特殊的集合，由于思维定式的原因，考生往往会在解题中遗忘了这个集合，导致解题错误或是解题不全面。４．忽视端点值能否取得致误例11已知集合A＝{ｘ∣ｘ≥４，或ｘ＜－５}，Ｂ＝｛ｘ∣a＋１≤ｘ≤a＋３｝，若Ａ∪Ｂ＝Ａ，求a得取值范围．错解：由Ａ∪Ｂ＝Ａ得ＢＡ．∴a＋３≤－５，或a＋１≥４，解得a≤－８，或a≥３．WORD格式..可编辑专业知识整理分享分析：上述解法忽视了等号能否成立，事实上，当a＝－８时，不符合题意；当a＝３时，符合题意，故正确结果应为a＜－８，或a≥３．评注：在求集合中字母取值范围时，要特别注意该字母在取值范围的边界能否取等号，否则会导致解题结果错误．５．忽视隐含条件致误例12设全集Ｕ＝｛２，３，2a＋２a－３｝，Ａ＝｛∣２a－１∣，２｝，ACU＝｛５｝，求实数a的值．错解：∵ACU＝｛５｝，∴５Ｓ且５Ａ，从而，2a＋２a－３＝５，解得a＝２，或a＝－４．分析导致错误的原因是没有考虑到隐含条件，因为Ｕ是全集，所以ＡＵ．当a＝２时，∣２a－１∣＝３Ｓ，符合题意；当a＝－４时，∣２a－１∣＝９Ｓ，不符合题意；故a＝２．评注：在解有关含参数的集合时，需要进行验证结果是否满足题设条件，包括隐含条件．6、忽视补集的含义致错例13已知全集RI，集合}0|{2xxxM，集合}11|{xxN，则下列关系正确的是（）A.B.C.D.错解：}11|{xxN的补集为}11|{xxNCI，故选C。剖析：本题错误地认为}0)(|{xfxA的补集为}0)(|{xfxACI。事实上对于全集RI，由补集的定义有RACAI，但})(|{}0)(|{}0)(|{Rxxfxxfxxfx有意义，使，即为)(xf的定义域。所以只有当)(xf的定义域为R时才有}0)(|{xfxA的补集为}0)(|{xfxACI，否则先求A，再求ACI。WORD格式..可编辑专业知识整理分享正解：}10|{}01|{}11|{xxxxxxxxN或，所以}10|{xxNCI，而}10|{xxM，应选A7、考虑问题不周导致错误例14已知集合},,044|{2RaRxxaxxA只有一个元素，求a的值和这个元素。解：（1）0a，由044x得1x，此时}1{A符合题意（2）016160aa得1a，此时}2{A符合题意综上所述，0a或1a一、对代表元素理解不清致错。例1.已知集合}Rx,16x6xy|y{B},Rx,x2xy|y{A22，求BA。错解1：令2x,16x6xx2x22得，所以}8{BA,8y。错解2：令16x6xx2x22，得2x，所以}8,2{BA,8y。剖析：用描述法表示的集合}px|x{中，x表示元素的形式，px表示元素所具有的性质，集合}Rx),x(fy|)y,x{(表示函数)x(f的图象上全体点组成的集合，而本题}Rx),x(fy|y{表示函数)x(f的值域，因此求BA实际上是求两个函数值域的交集。正解：由},1y|y{}1)1x(y|y{}Rx,x2xy|y{A22}7y|y{BA},7y|y{}7)3x(y|y{}Rx,16x6xy|y{B22得。二、遗漏空集致错。例2.已知集合}5x2|x{A，}1m2x1m|x{B，若BA，求实数m的取值范围。错解：解不等式3m2,51m21m2得。剖析：空集是特殊集合，它有很多特殊性质，如,AA,A空集是任何一个集合的子集，是任何一个非空集合的真子集。本题错解是因考虚不周遗漏了空集，故研究BA时，首先要考虑B的情况。WORD格式..可编辑专业知识整理分享正解：①若B时，则2m,1m21m即。②若2m,1m21m,B即则时。由51m2,1m2得3m3。所以3m2。由①②知m的取值范围是]3,(。三、忽视元素的互异性致错。例3.已知集合yx},y|,x|,0{)}xylg(,xy,x{求的值。错解：由0xy，根据集合的相等，只有1xy,0)xylg(。所以可得1|y|1|x|或。1y,1x1y1x或所以2yx2yx或。剖析：当1yx时，题中的两个集合均有两个相等的元素1，这与集合中元素的互异性相悖。其实，当}y|,x|,0{}0,1,x{,1xy集合时，这时容易求解了。正解：舍去1yx，故2yx。四、混淆相关概念致错。例4.已知全集U=R，集合222ax)1a(x|x{B},Rx,03a4ax4x|x{A}Rx,0a2ax2x|x{C},Rx,02，若A、B、C中至少有一个不是空集，求实数a的取值范围。错解：对于集合A，当21a23a,0)3a4(4)a4(2或得①时，A不是空集。同理当31a1②时，B不是空集；当0a2a或③时，C不是空集。求得不等式①②③解集的交集是空集，知a的取值范围为。剖析：题中“A、B、C中至少有一个不是空集”的意义是“A不是空集或B不是空集或C不是空集”，故应求不等式①②③解集的并集，得),1[]23,(a。WORD格式..可编辑专业知识整理分享五、忽视补集的含义致错。例5.已知全集RI，集合}0xx|x{M2，集合}1x1|x{N，则下列关系正确的是（）A.NCMIB.NCMIC.NCMID.RNMCI错解：}1x1|x{N的补集为}1x1|x{NCI，故选C。剖析：本题错误地认为}0)x(f|x{A的补集为}0)x(f|x{ACI。事实上对于全集RI，由补集的定义有RACAI，但}0)x(f