浙江2018年高考数学-第1部分-重点强化专题-专题1-三角函数与平面向量-突破点2-解三角形

专题一三角函数与平面向量突破点2解三角形核心知识聚集热点题型探究专题限时集训栏目导航(对应学生用书第11页)[核心知识提炼]提炼1常见解三角形的题型及解法(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一．(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解．(4)已知三边，利用余弦定理求解.提炼2三角形形状的判断(1)从边出发，全部转化为边之间的关系进行判断．(2)从角出发，全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形，再判断．注意：要灵活选用正弦定理或余弦定理，且在变形的时候要注意方程的同解性，如方程两边同除以一个数时要注意该数是否为零，避免漏解.提炼3三角形的常用面积公式设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S.(1)S＝12aha＝12bhb＝12chc(ha，hb，hc分别表示a，b，c边上的高)．(2)S＝12absinC＝12bcsinA＝12casinB.(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形ABC内切圆的半径)．[高考真题回访]回访1正、余弦定理的应用1．(2017·浙江高考)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是________，cos∠BDC＝________.152104[依题意作出图形，如图所示，则sin∠DBC＝sin∠ABC.由题意知AB＝AC＝4，BC＝BD＝2，则sin∠ABC＝154，cos∠ABC＝14.所以S△BDC＝12BC·BD·sin∠DBC＝12×2×2×154＝152.因为cos∠DBC＝－cos∠ABC＝－14＝BD2＋BC2－CD22BD·BC＝8－CD28，所以CD＝10.由余弦定理，得cos∠BDC＝4＋10－42×2×10＝104.]2．(2013·浙江高考)在△ABC中，∠C＝90°，M是BC的中点．若sin∠BAM＝13，则sin∠BAC＝________.63[因为sin∠BAM＝13，所以cos∠BAM＝223.如图，在△ABM中，利用正弦定理，得BMsin∠BAM＝AMsinB，所以BMAM＝sin∠BAMsinB＝13sinB＝13cos∠BAC.在Rt△ACM中，有CMAM＝sin∠CAM＝sin(∠BAC－∠BAM)．由题意知BM＝CM，所以13cos∠BAC＝sin(∠BAC－∠BAM)．化简，得22sin∠BACcos∠BAC－cos2∠BAC＝1.所以22tan∠BAC－1tan2∠BAC＋1＝1，解得tan∠BAC＝2.再结合sin2∠BAC＋cos2∠BAC＝1，∠BAC为锐角可解得sin∠BAC＝63.]3．(2016·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＋c＝2acosB.(1)证明：A＝2B；(2)若△ABC的面积S＝a24，求角A的大小．【导学号：68334039】[解](1)证明：由正弦定理得sinB＋sinC＝2sinAcosB，故2sinAcosB＝sinB＋sin(A＋B)＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，于是sinB＝sin(A－B).3分又A，B∈(0，π)，故0A－Bπ，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.6分(2)由S＝a24得12absinC＝a24，故有sinBsinC＝12sinA＝12sin2B＝sinBcosB.因为sinB≠0，所以sinC＝cosB．8分又B，C∈(0，π)，所以C＝π2±B.11分当B＋C＝π2时，A＝π2；当C－B＝π2时，A＝π4.综上，A＝π2或A＝π4.14分回访2三角形的面积问题4．(2015·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知tanπ4＋A＝2.(1)求sin2Asin2A＋cos2A的值；(2)若B＝π4，a＝3，求△ABC的面积．[解](1)由tanπ4＋A＝2，得tanA＝13，2分所以sin2Asin2A＋cos2A＝2tanA2tanA＋1＝25.5分(2)由tanA＝13，A∈(0，π)，得sinA＝1010，cosA＝31010.8分由a＝3，B＝π4及正弦定理asinA＝bsinB，得b＝35.10分由sinC＝sin(A＋B)＝sinA＋π4，得sinC＝255.12分设△ABC的面积为S，则S＝12absinC＝9.14分5．(2015·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A＝π4，b2－a2＝12c2.(1)求tanC的值；(2)若△ABC的面积为3，求b的值．[解](1)由b2－a2＝12c2及正弦定理得sin2B－12＝12sin2C，所以－cos2B＝sin2C.2分又由A＝π4，即B＋C＝34π，得－cos2B＝sin2C＝2sinCcosC，解得tanC＝2.5分(2)由tanC＝2，C∈(0，π)，得sinC＝255，cosC＝55.8分因为sinB＝sin(A＋C)＝sinπ4＋C，所以sinB＝31010.10分由正弦定理得c＝22b3，12分又因为A＝π4，12bcsinA＝3，所以bc＝62，故b＝3.14分6．(2014·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c＝3，cos2A－cos2B＝3sinAcosA－3sinBcosB.(1)求角C的大小；(2)若sinA＝45，求△ABC的面积.【导学号：68334040】[解](1)由题意得1＋cos2A2－1＋cos2B2＝32sin2A－32sin2B，即32sin2A－12cos2A＝32sin2B－12cos2B，2分sin2A－π6＝sin2B－π6.由a≠b，得A≠B.又A＋B∈(0，π)，得2A－π6＋2B－π6＝π，即A＋B＝2π3，所以C＝π3.5分(2)由c＝3，sinA＝45，asinA＝csinC，得a＝85.8分由ac得，AC，从而cosA＝35，故sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝4＋3310，11分所以，△ABC的面积为S＝12acsinB＝83＋1825.14分(对应学生用书第12页)热点题型1正、余弦定理的应用题型分析：利用正、余弦定理解题是历年高考的热点，也是必考点，求解的关键是合理应用正、余弦定理实现边角的互化.【例1】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cosAa＋cosBb＝sinCc.(1)证明：sinAsinB＝sinC；(2)若b2＋c2－a2＝65bc，求tanB.[解](1)证明：根据正弦定理，可设asinA＝bsinB＝csinC＝k(k0)．则a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC，代入cosAa＋cosBb＝sinCc中，有cosAksinA＋cosBksinB＝sinCksinC，2分即sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B).4分在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，所以sinAsinB＝sinC．6分(2)由已知，b2＋c2－a2＝65bc，根据余弦定理，有cosA＝b2＋c2－a22bc＝35，8分所以sinA＝1－cos2A＝45.9分由(1)知sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，所以45sinB＝45cosB＋35sinB，12分故tanB＝sinBcosB＝4.14分[方法指津]关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．[变式训练1](1)(2017·温州市普通高中高考模拟考试)在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，记S为△ABC的面积．若A＝60°，b＝1，S＝334，则c＝________，cosB＝________.【导学号：68334041】35714[因为S＝12bcsinA＝12×1×c×32＝334，所以c＝3；由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝1＋9－6×12＝7，所以cosB＝a2＋c2－b22ac＝7＋9－12×7×3＝5714.(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且acosB＋bcos(B＋C)＝0.①证明：△ABC为等腰三角形；②若2(b2＋c2－a2)＝bc，求cosB＋cosC的值．[解]①证明：∵acosB＋bcos(B＋C)＝0，∴由正弦定理得sinAcosB＋sinBcos(π－A)＝0，即sinAcosB－sinBcosA＝0，3分∴sin(A－B)＝0，∴A－B＝kπ，k∈Z.4分∵A，B是△ABC的两内角，∴A－B＝0，即A＝B，5分∴△ABC是等腰三角形.6分②由2(b2＋c2－a2)＝bc，得b2＋c2－a22bc＝14，7分由余弦定理得cosA＝14，8分cosC＝cos(π－2A)＝－cos2A＝1－2cos2A＝78.10分∵A＝B，∴cosB＝cosA＝14，12分∴cosB＋cosC＝14＋78＝98.14分热点题型2三角形面积的求解问题题型分析：三角形面积的计算及与三角形面积有关的最值问题是解三角形的重要命题点之一，本质上还是考查利用正、余弦定理解三角形，难度中等.【例2】设f(x)＝sinxcosx－cos2x＋π4.(1)求f(x)的单调区间；(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若fA2＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．【解题指导】(1)fx――――→恒等变换化归思想fx＝Asinωx＋φ＋k―→求fx的单调区间(2)fA2＝0――――→锐角三角形求A―――→余弦定理建立b，c的等量关系――――→基本不等式求bc的最大值――――→正弦定理求△ABC的面积[解](1)由题意知f(x)＝sin2x2－1＋cos2x＋π22＝sin2x2－1－sin2x2＝sin2x－12.2分由－π2＋2kπ≤2x≤π2＋2kπ，k∈Z，可得－π4＋kπ≤x≤π4＋kπ，k∈Z.由π2＋2kπ≤2x≤3π2＋2kπ，k∈Z，可得π4＋kπ≤x≤3π4＋kπ，k∈Z.4分所以f(x)的单调递增区间是－π4＋kπ，π4＋kπ(k∈Z)；单调递减区间是π4＋kπ，3π4＋kπ(k∈Z).6分(2)由fA2＝sinA－12＝0，得sinA＝12，7分由题意知A为锐角，所以cosA＝32.8分由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，可得1＋3bc＝b2＋c2≥2bc，12分即bc≤2＋3，当且仅当b＝c时等号成立．因此12bcsinA≤2＋34，所以△ABC面积的最大值为2＋34.14分[方法指津]1．在研究三角函数的图象与性质时常先将函数的解析式利用三角恒等变换转化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B(或y＝Acos(ωx＋φ)＋B，y＝Atan(ωx＋φ)＋B)的形式，进而利用函数y＝sinx(或y＝cosx，y＝tanx)的图象与性质解决问题．2．在三角形中，正、余弦定理可以实现边角互化，尤其在余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA中，有a2＋c2和ac两项，二者的关系a2＋c2＝(a＋c)2－2ac经常用到，有时还可利用基本不等式求最值．[变式训练2](名师押题)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＋1a＝4cosC，b＝1.(1)若sinC＝217，求a，c；(2)若△ABC是直角三角形，求△ABC的面积．[解](1)∵sinC＝217，∴cos2C＝1－sin2C＝47，cosC＝27.1分∵4cosC＝a＋1a，∴87＝a＋1a，解得a＝7或a＝77.3分又1a＋a＝4c