简单几何体的外接球与内切球问题

简单几何体的外接球与内切球问题一、外接球的问题：简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径尺或确定球心0的位置问题，其中球心的确定是关键．（一）由球的定义确定球心在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论．结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点．结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到．结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．例1、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为.43例2、已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是.24例3、在直三棱柱111CBAABC中，4,3,6,41AAAACAB,则直三棱柱111CBAABC的外接球的表面积.1603例4、三棱锥A-BCD中，BA⊥AD，BC⊥CD，且AB=1，AD=3，则此三棱锥外接球的体积为.43例5、沿矩形ABCD的对角线AC折起，形成空间四边形ABCD，使得二面角B-AC-D为120°，若AB=2，BC=1，则此时四面体ABCD的外接球的体积为.556（二）构造正方体或长方体确定球心长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处．以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法．途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体．途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体．途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体．途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体．例6、正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点SABCD、、、、都在同一球面上，则此球的体积为.43例7、如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为62cm、42cm和32cm，那么它的外接球的体积是.29296例8、在三棱锥BCDA中，BCCDBCDAB,平面,543CDBCAB，，，则三棱锥BCDA外接球的表面积.50例9、在三棱锥BCDA中，2,3,4ABCDADBCACBD，则三棱锥BCDA外接球的体积.例10、已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为.例11、若三棱锥SBCD的所有顶点都在球O的球面上，SA平面ABC，23,1,SAAB2,60ACBAC，则球O的表面积为.16（三）由性质确定球心利用球心O与截面圆圆心1O的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．例12、三棱锥S_-ABC中，SA⊥面ABC，SA=2。△ABC是边长为1的正三角形，则其外接球的表面积为.例13、点A,B,C,D在同一个球的球面上，AB=BC=2，AC=22，若四面体ABCD体积的最大值为43，则该球的表面积为.9二、内切球问题若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。5、体积分割是求内切球半径的通用做法。（一）正方体的的内切球设正方体的棱长为a，求（1）内切球半径；（2）与棱相切的球半径。（1）截面图为正方形EFGH的内切圆，得2aR；（2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，作截面图，圆O为正方形EFGH的外接圆，易得aR22。（二）棱锥的内切球（分割法）将内切球的球心与棱锥的各个顶点连线，将棱锥分割成以原棱锥的面为底面，内切球的半径为高的小棱锥，根据分割前后的体积相等，列出关于半径R的方程。若棱锥的体积为V，表面积为S，则内切球的半径为SVR3.例13、正四棱锥SABCD，底面边长为2，侧棱长为3，则内切球的半径是.28474例14、三棱锥PABC中，底面ABC是边长为2的正三角形，PA⊥底面ABC，且2PA，则此三棱锥内切球的半径为.（47332）（三）圆柱（轴截面为正方形）、圆锥的内切球（截面法）例15、圆锥的高为4，底面半径为2，求该圆锥内切球与外接球的半径比.558例16、圆柱的底面直径和高都是6，求该圆柱内切球的半径.3