华中科技大学数理方程与特殊函数课后答案

习题一29.0(,)110cos,sin(,)(cos,sin),cossin;sincos.sincos;sxxyyrrrrxyxyxrylaplaceuuruuurrxryruxyurruuuururuuuuruθθθθθθθθθθθθθθθ+=++==⎧⎨=⎩∴==+⎧⎪⎨=−+⎪⎩=−⇒=∵证明方程在极坐标下为证明：sincos;coscosin.sin.sin()cos()sinsincoscosrxxxrruuryrruuuxxrrxuurrrrθθθθθθθθθθθθθθθθθθ⎧∂∂∂⎛⎞⎧=−⎜⎟⎪⎪∂∂∂⎝⎠⎪⎪⇒⎨⎨∂∂∂⎛⎞⎪⎪+=+⎜⎟⎪⎪⎩∂∂∂⎝⎠⎩∂∂∂∂∂⎛⎞==−⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠∂∂∂∂⎛⎞⎛=−−⎜⎟⎜∂∂∂∂⎝⎠⎝从而2222222222222sincossincossincossincossincossin.cos()sin()sinyyuuuurrrrrruuurrrruuuyyrryθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ⎞⎟⎠∂∂∂∂=+−+∂∂∂∂∂∂∂∂−++∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎞==+⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠=2222222222222coscossinsincossincoscossinsincossincoscos.1xxyyrruurrrruuuurrrrrruuurrrruuuurθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ∂∂∂∂⎛⎞⎛⎞++⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠∂∂∂∂=−++∂∂∂∂∂∂∂∂+−+∂∂∂∂+=+所以210.rurθθ+=习题二21.(01,0),(0,)(1,)0,1,0.(2)2(,0)11,1,2(,0)(1);ttxxtuauxtututxxuxxxuxxx⎧=⎪==⎪⎪⎧⎪≤⎪⎨⎪=⎨⎪⎪⎪−⎪⎩⎪⎪=−⎩求下列问题的解22(,)()().()()0,()()0.(0)(1)0.()()0,(0)(1)0.(),()sinnnuxtXxTtTtaTtXxXxXXXxXxXXnXxBλλλλπ=′′+=′′+===′′+=⎧⎨==⎩==解：应用分离变量法，令代入方程分离变量，得由边界条件分离变量，得求解固有值问题得，111212202n(1,2,).()cossin(1,2,).(,)(cossin)sin.42sin(1)sinsin.2nnnnnnnnxnTtCantDantnuxtaantbantnxnaxnxdxxnxdxnππππππππππ∞===+==+⎡⎤=+−=⎢⎥⎣⎦∑∫∫代入另一常微分方程，得则其中()()14402244124(1)sin11.44(,)(sincos11sin)sin.2nnnnbxxnxdxannanuxtantantnxnnaπππππππππ∞=⎡⎤=−=−−⎣⎦⎡⎤=+−−⎣⎦∫∑因此，所求定解问题的解为2(0,0),(0,)(,)0,(3)35(,0)3sin6sin,22(,0)0.ttxxxtuauxltutultxxuxlluxππ⎧=⎪==⎪⎪⎨=+⎪⎪=⎪⎩()22(,)()().()()0,()()0.(0)()0.()()0,(0)()0.21(),(2nnuxtXxTtTtaTtXxXxXXlXxXxXXlnXlλλλπλ=′′+=′′+=′==′′+=⎧⎨′==⎩+=解：应用分离变量法，令代入方程分离变量，得由边界条件分离变量，得求解固有值问题得，()()()()()()121)sin(0,1,2,).22121()cossin(0,1,2,).22212121(,)(cossin)sin.222235(3sin6sin22nnnnnnnnnxBxnlananTtCtDtnllanannuxtatbtxlllxxallππππππππ∞=+==++=+=+++=+=+∑代入另一常微分方程，得则其中()03,1;21)sin6,2;20,12.0.3355(,)3cossin6cossin.2222lnnnxdxnllnbaauxttxtxllllπππππ=⎧+⎪==⎨⎪≠⎩==+∫、因此，所求定解问题的解为3.4(0,0),(2)(0,)0,(,)0,(,0)().txxxxuuxltutultuxxlx=⎧⎪==⎨⎪=−⎩求下列定解问题的解：2(,)()().()4()0,()()0.(0)()0.()()0,(0)()0.(),()nnuxtXxTtTtTtXxXxXXlXxXxXXlnXxAlλλλπλ=′+=′′+=′′==′′+=⎧⎨′′==⎩==解：应用分离变量法，令代入方程分离变量，得由边界条件分离变量，得求解固有值问题得，222()2()012000cos(0,1,2,).()(0,1,2,).1(,)cos.222().62()cosnntlnnntlnnllnnxnlTtDennuxtaaexllaxlxdxlnaxlxxdllπππππ−∞−=====+=−==−∑∫∫代入另一常微分方程，得则其中2222222()2212[1(1)].2[1(1)](,)cos.6nnntlnlxnllnuxtexnlππππ∞−=−−+−=−−+−=+∑因此，所求定解问题的解为25.110(01),,0,(1,)0,.,.rrruuurrrAuAθθθαθαθπα⎧++=⎪⎪⎨⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩⎩求解下列定解问题:其中为已知常数22(,)()().()()()0,()()0.()()0,()(2).(),()cossinnnnnurRrrRrrRrRrnXxAnBnθθλθλθθλθθθπλθθ=Φ′′′+−=′′Φ+Φ=′′Φ+Φ=⎧⎨Φ=Φ+⎩==+解：应用分离变量法，令代入方程分离变量，得求解固有值问题得，()2010(0,1,2,).()()()0,(0).()(0,1,2,).1(,)cossin.212,nnnnnnnnnrRrrRrRrRRrCrnuraanbnrAaAdaααλθθθαθππ∞=−=′′′⎧+−=⎨+∞⎩===++==∑∫代入另一常微分方程的定解问题得，则其中112cossin,1sin0.2(,)sincos.nnnAAndnnbAndAAuxtrnnnααααθθαππθθπααθππ−−∞======+∫∫∑因此，所求定解问题的解为9.0(0,0),(0,)0,(,)0(0),(,0)(1),lim(,)0(0),.xxyyyuuxlyuyulyyxuxAuxyxllA→∞⎧+=∞⎪⎪==≤∞⎨⎪⎪=−=⎩求解下列定解问题:其中为已知常数2(,)()().()()0,()()0.(0)()0.()()0,(0)()0.(),()sinnnnuxyXxYyXxXxYyYyXXlXxXxXXlnXxBlλλλπλ=′′+=′′−===′′+=⎧⎨==⎩==解：应用分离变量法，令代入方程分离变量，得由边界条件分离变量，得求解固有值问题得，10(1,2,).()(1,2,).(,)sin.22()sin.lim(,)0nnyyllnnnnnyyllnnnlnnynxnlYyCeDennuxyaebexlxnAabAlxdxlllnuxyaππππππππ−∞−=→∞==+=⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠+=−==⇒∑∫代入另一常微分方程，得则其中10.2(,)sin.nnylnAnuxtexnlπππ∞−===∑因此，所求定解问题的解为()22228.-10.cos,sin,111(0),0.{cossin}.,()xxyyxyarrrranauuuxryruuurarruAnBnurarθθθθθθθ+==+====⎧++=−⎪⎨⎪=⎩+=在以原点为心,为半径的圆内,试求泊松方程的解,使它满足边界条件解：令作极坐标变换,得由固有函数法,相应的固有函数系为因此,设方程的解为[]()()()()()()()0002222cos()sin.11,110,0210,323()0()nnnnnnnnnnnnnnnnnbrnaarnaaanrrnbbbrrarArBrnbrCrDθθ∞=−+⎧′′′+=−⎪⎪⎪′′′+−=≠⎨⎪⎪′′′+−=⎪⎩=+≠=+∑代入方程,得方程，的通解：，()()2000(0),()0;(0),()0.()00()0.11()ln,4(0),()nnnnnnnnraaabbaarnbrarArBraaa−+∞=+∞==≠==+−+∞=.由有界性条件及边界条件，得，方程的通解:由有界性条件及边界条件，()()()()()220222220.1().41,.41,.4araruraruxyaxyθ=−=−⎡⎤=−+⎣⎦得则定解问题的解为化成直角坐标，则得21210.sin,(2)(0,)0,(,)0(0),(,0)0,(,0)0(0);{sin}.(,)()sin.ttxxtnnnuautxlutulttuxuxxlnxlnuxtutxlnauulππππ∞=⎧=+⎪⎪==≥⎨⎪==≤≤⎪⎩=⎛⎞′′+⎜⎟⎝⎠∑求下列问题的解：解：由固有函数法,相应的固有函数系为设方程的解为代入原方程,得()2111020(1),.(0)(0)0(1,2,),1()0;1()sinsin.nnnntnauutluunnutlanuttdalllattaalππτττππππ=≠⎛⎞′′+=⎜⎟⎝⎠′===≠===−⎛⎞⎛⎞=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∫由初始条件,得当时，当时，2(,)sinsinllauxtttxaallππππ⎛⎞⎛⎞=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠故所求的解为2110(0,0),(3)(0,)0,(,)0,(,0)0.,{sin}.(,)()sin.sin22sin[1(txxnnnnlnuauAxltutultuxnxlnuxtutxlnAAAxlnAAAxdxllnπππππ∞=∞=⎧=+⎪==⎨⎪=⎩====−∑∑∫解：由固有函数法相应的固有函数系为设方程的解为并将展为：，其中222()023321)].2[1(1)],(0)0.2()[1(1)]2[1(1)][1].(,nnnnnnattnlnnatnlnaAuulnuAutednAlenauxπτπππτππ⎛⎞−−⎜⎟⎝⎠⎛⎞−⎜⎟⎝⎠−⎧⎛⎞′+=−−⎪⎜⎟⎨⎝⎠⎪=⎩=−−=−−−∫代入原方程可得得:故所求的解为2233212)[1(1)][1]sin.natnlnAlntexnalπππ⎛⎞∞−⎜⎟⎝⎠==−−−∑()2211.224sincos,(2)(0,)0,(,)(0),(,0),(,0)()(0).(,)(,)().224sincos,(0,)(0ttxxtttxxuauxxllutultBtBuxxuxxlxxlluxtvxtwxvavwxxllvtwππππ⎧=+⎪⎪==≥⎨⎪⎪==−≤≤⎩=+′′=+++求下列问题的解解：设问题的解为将其代入上面的定解问题，得22222)0,(,)(),(,0)(),(,0)().224sincos0,(0)0().4()sin.8(0,)0,(,)0,(,0)tttxxvltwlBBvxwxxvxxlxlawxxllwwlBBlwtxxlalvavvtvltvxππππ⎧⎪⎪=+=⎨⎪⎪+==−⎩⎧′′+=⎪⎨⎪==⎩=+====化成下面两个问题：(1)，解得：(2)12222022340(),(,0)().(,)cossinsin.0,4;24sinsin8,4.824()sintnnnlnlnBxwxvxxlxlnananvxtatbtxlllnlnaxxdxllallnanlbxlxxdxnalnππππππππππ∞=⎧⎪⎪⎨⎪⎪−=−⎩⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠≠⎧⎪=−⋅=⎨−=⎪⎩=−⋅=∑∫∫解得：其中，()()()43222441222344[11].4[11]44(,)cossinsinsin.844(,)(,)()1cossin84[11]sinnnnallananvxttxtxallnallBlauxtvxtwxxtxlallln