随机水文学-第4章2

第四章线性平稳随机模型4.1基本概念一个非平稳的随机序列，当排除了确定性的非周期成分和周期成分之后，剩余的序列即为平稳随机序列；或者随机序列本身就是平稳随机序列。对于这类序列，可采用线性平稳随机模型描述。多元线性回归模型可写成如下形式表示因变量对自变量的相依性。特点：1.自变量xi,t为一般变量且相互独立，εt为随机变量；2.yt为一般变量和随机变量的线性组合。ttpptttxaxaxaay,,22,110线性平稳随机模型一般形式修改为当式中各参数满足一定的条件，称为自回归滑动平均模型。(1)当q=0时，称为自回归模型，记为AR(P)模型。(2)当p=0时，称为滑动平均模型，记为MA(q)模型。tptptttuxuxuxux)()()(2211qtqtttptptttuxuxuxux22112211)()()(4.3自回归模型从六十年代初期以来，自回归模型就广泛用于水资源规划和设计中，这类模型之所以在水文学中得到重视并有较大的吸引力，其主要原因是它们具有时间相依的非常直观的形式，同时建立模型和具体应用也非常简单。一、模型结构p阶自回归模型(AR(p))数学表达式为tptptttuxuxuxux)()()(2211式中：——原始平稳随机水文序列；——为xt的均值；——自回归系数；——自回归阶数；——均值0、方差σε2、偏态系数Csε的独立随机变量，且与xt-1,…,xt-p无关。在水文中通常假定为P-Ⅲ分布。txup,,,21pt二、模型的主要统计特性1.AR(p)序列的自相关函数一个序列的相依性以该序列的自相关函数(或自相关系数)表示。AR(p)序列是相依平稳序列，因此，它的相依特性，也由自相关函数表示。AR(p)序列的自相关函数可用下式描述：pkpkkk2211式中：——自相关函数；——自回归系数；p,,,21pkkk,,,1令k=1，2，…，p，当ρ0=1，ρk=ρ-k时，得到尤尔—沃尔克方程：当自回归系数已知时，由尤尔—沃尔克方程可得到自相关函数。AR(p)模型的自相关函数具有“拖尾性”。pppppppp221122112112112.AR(p)序列的偏相关函数p阶自回归模型(AR(p))另外一种形式：tptpptptptzzzz,22,11,pppp,2,1,,,,组成AR(p)序列的偏相关函数。AR(p)序列的偏相关函数与自相关函数关系式：),,2,1(,22,11,kjkjjkjkjkj当自相关函数已知时，可得到偏相关函数。3.AR(p)序列的平稳性为使AR(p)序列达到平稳，则要求特征方程4.AR(p)序列的频谱特性02211ppppVVV的根必须在单位圆内。即),,2,1(1piVi三、模型参数估计样本均值样本方差样本自回归系数随机变量的方差四、AR(p)序列的随机模拟随机模型主要用途是用统计试验法模拟出大量随机序列。1.正态序列的模拟2.偏态序列的模拟三种方法五、自回归模型AR（P）的计算过程1.采用自回归模型AR(P)的一般形式——自回归系数——白噪声服从P-Ⅲ分布独立随机变量tptptttuxuxuxux)()()(2211p,,,21t2.计算实测系列的统计参数3.按公式选定最大阶数P实用最大阶数P根据一般经验公式选定105～NPnttxnxu11niixxxn12)(111)1(13nxxCvniix313)3()1(xniixCvnxxCs4.计算自回归系数利用(4-54)、(4-55)当P=1时，当P=2时，11r2121222121111)1(rrrrrr5.平稳性检验利用(4-44)、(4-45)当P=1时，AR(1)序列的平稳性条件为当P=2时，AR(2)序列的平稳性条件为或平稳性检验之后，即可建立模型数学表达式。11111212212111221216.计算εt的参数σε利用(4-54)、(4-55)当P=1时，当P=2时，2212)1(xr222112)1(xrr年份19561957195819591960196119621963196419651966xt89089511501300117012201210974834638991年份19671968196919701971197219731974197519761977xt1200109089210208697726067398131170916年份19781979198019811982198319841985198619871988xt8806017209551190114099210501120734769P87，习题5某河1956～1988年的年平均流量序列见下表。试建立年平均流量序列的线性平稳模型(或自回归模型)。1.采用自回归模型AR(P)的一般形式tptptttuxuxuxux)()()(22112.计算实测系列的统计参数85.95411nttxnxu55.195)(1112niixxxn1)1(13nxxCvniix313)3()1(xniixCvnxxCs