信号与系统 课件 奥本海姆 第三章

FOURIERSERIESREPRESENTATIONOFPERIODICSIGNALS第3章周期信号的傅里叶级数表示本章内容：Ⅰ.周期信号的频域分析Ⅱ.LTI系统的频域分析Ⅲ.傅立叶级数的性质3.0引言Introduction时域分析方法的基础：1)信号在时域的分解。2)LTI系统满足线性、时不变性。2.具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号。1.本身简单，且LTI系统对它的响应能简便得到。从分解信号的角度出发，基本信号单元必须满足两个要求：3.1历史的回顾（AHistoricalPerspective）任何科学理论,科学方法的建立都是经过许多人不懈的努力而得来的,其中有争论,还有人为之献出了生命。历史的经验告诉我们,要想在科学的领域有所建树，必须倾心尽力为之奋斗。今天我们将要学习的傅立叶分析法，也经历了曲折漫长的发展过程，刚刚发布这一理论时，有人反对，也有人认为不可思议。但在今天，这一分析方法在许多领域已发挥了巨大的作用。1768年生于法国1807年提出“任何周期信号都可以用正弦函数的级数来表示”拉格朗日反对发表1822年首次发表“热的分析理论”1829年狄里赫利第一个给出收敛条件傅里叶生平1768—1830傅里叶的两个最重要的贡献——“周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信号的加权和”——傅里叶的第一个主要论点“非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来表示”——傅里叶的第二个主要论点由时域分析方法有，()()()()()ststsstytehdehedHse()()()()()nknknkkynzhkzhkzHzz3.2LTI系统对复指数信号的响应TheResponseofLTISystemstoComplexExponentialsstenz()hn()htste()ytnz()yn考查LTI系统对复指数信号和的响应可见LTI系统对复指数信号的响应是很容易求得的。这说明和符合对单元信号的第一项要求。stenz特征函数(Eigenfunction)如果系统对某一信号的响应只不过是该信号乘以一个常数，则称该信号是这个系统的特征函数。系统对该信号加权的常数称为系统与特征函数相对应的特征值。结论：只有复指数函数才能成为一切LTI系统的特征函数。复指数函数、是一切LTI系统的特征函数。、分别是LTI系统与复指数信号相对应的特征值。()()stHshtedt()()nkHzhnzstenz()Hs()Hz对时域的任何一个信号或者,若能将其表示为下列形式：()xt()xntststseaeaeatx321321)(利用系统的齐次性与叠加性同理：nkkkZanx)(nkkkkZZHany)()(tskkkkesHaty)()(tskkkeatx)(即：*问题：究竟有多大范围的信号可以用复指数信号的线性组合来表示？tststsesHaesHaesHatytx321)()()()()(332211所以有111()ststeHse222()ststeHse333()ststeHse由于FourierSeriesRepresentationofContinuous-TimePeriodicSignals3.3连续时间周期信号的傅里叶级数表示如果将该信号集中所有的信号线性组合起来，一.连续时间傅里叶级数0(){}jktkte02k02成谐波关系的复指数信号集:，其中每个信号都是以为周期的，它们的公共周期为，且该集合中所有的信号都是彼此独立的。0,1,2,k例1：0()cosxtt001122jtjtee显然也是以为周期的。该级数就是傅里叶级数，称为傅立叶级数的系数。这表明用傅里叶级数可以表示连续时间周期信号，即:连续时间周期信号可以分解成无数多个复指数谐波分量。02()xtka0(),0,1,2jktkkxtaek有例2：00()cos2cos3xttt0000331[]2jtjtjtjteeee显然该信号中，有两个谐波分量，为相应分量的加权因子，即傅立叶系数。112a在该信号中，有四个谐波分量，即,3,1k时对应的谐波分量。傅里叶级数表明：连续时间周期信号可以按傅立叶级数分解成无数多个复指数谐波分量的线性组合。二.频谱（Spectral）的概念在傅里叶级数中，各个信号分量（谐波分量）间的区别也仅仅是幅度（可以是复数）和频率不同。因此，可以用一根线段来表示某个分量的幅度，用线段的位置表示相应的频率。t()kt信号集中的每一个信号，除了成谐波关系外，每个信号随时间的变化规律都是一样的，差别仅仅是频率不同。01分量可表示为0jte因此，当把周期信号表示为傅里叶级数时，就可以将表示为()xt()xt0()jktkkxtae这样绘出的图称为频谱图1212000000a1a2a3a3a2a1agggggggg0001cos()2jtjttee表示为频谱图其实就是将随频率的分布表示出来，即的关系。由于信号的频谱完全代表了信号，研究它的频谱就等于研究信号本身。因此，这种表示信号的方法称为频域表示法。ka~ka三.傅里叶级数的其它形式0000*()jktjktjktjktkkkkkkkkxtaeaeaeaekkaa或*kkaa若是实信号,则有)()(txtx，于是()xt若令kjkkaAe，则为实数。于是0a0001[]kkjktjjktjkkkaAeeAee0001()()01()kkkjjktjktjktkkkkkkxtAeeaAeAe*kkjjkkkkaaAeAeQ即：kkAAkk表明的模关于偶对称，幅角关于奇对称。kakk0001()[]kkjktjjktjkkkxtaAeeAee0012cos()kkkaAkt——傅里叶级数的三角函数表示式kkkaBjC若令则00101()()()jktjktkkkkkkxtaBjCeBjCe0001()()jktjktkkkkkaBjCeBjCe*kkaaQkkkkBjCBjC因此kkBBkkCC即的实部关于偶对称，虚部关于奇对称。kakk0001()()()jktjktkkkkkxtaBjCeBjCe00012cossinkkkaBktCkt——傅里叶级数的另一种三角函数形式将此关系代入，可得到四.连续时间傅里叶级数系数的确定00()()jntjkntkkxteae对两边同时在一个周期内积分，有0000()00()TTjntjkntkkxtedtaedt0(),jktkkxtae002T()xt则有如果周期信号可以表示为傅里叶级数0000()00000cos()sin()TTTjkntedtkntdtjkntdt0000()TjntnxtedtaT00001()TjntnaxtedtT即00,,Tknkn在确定此积分时，只要积分区间是一个周期即可，对积分区间的起止并无特别要求，因此可表示为0001()jktkTaxtedtT0001()TaxtdtT是信号在一个周期的平均值，通常称直流分量。0a五.周期性矩形脉冲信号的频谱10011101000002sin11TjktjktTkTTkTaedteTjkTkT101111010010002sin222Sa()sinc()TkTTTTkTkTkTTTTsinSa()xxxsinsinc()xxx其中10T0Tt()xt根据可绘出的频谱图。称为占空比ka()xt102TT0()Sax1x0121sin()cx1x110212TT10214TT10218TT不变时0T1T10212TT10214TT10218TT1T不变时0T周期性矩形脉冲信号的频谱特征：1.离散性2.谐波性3.收敛性考查周期和脉冲宽度改变时频谱的变化：0T12T1.当不变，改变时，随使占空比减小，谱线间隔变小，幅度下降。但频谱包络的形状不变，包络主瓣内包含的谐波分量数增加。2.当改变，不变时，随使占空比减小，谱线间隔不变，幅度下降。频谱的包络改变，包络主瓣变宽。主瓣内包含的谐波数量也增加。1T1T0T0T1T0T当时，有()()xtxt0000220020012()()cosTTjktTkaxtedtxtktdtTT当时，有()()xtxt0000220020012()()sinTTjktTkaxtedtjxtktdtTT表明：奇信号的是关于的奇函数、虚函数。kak表明：偶信号的是关于的偶函数、实函数。kak信号对称性与频谱的关系：3.4连续时间傅里叶级数的收敛这一节来研究用傅氏级数表示周期信号的普遍性问题，即满足什么条件的周期信号可以表示为傅里叶级数。一.傅里叶级数是对信号的最佳近似若以为周期0()jktkkxtae002T()xt0T用有限个谐波分量近似时，有()xt0()NjktNkkNxtaeConvergenceoftheFourierseries误差为()()()NNetxtxt以均方误差作为衡量误差的准则，其均方误差为00220011()()()()NNNTTEtetdtxtxtdtTT000*01()()NNjktjktkkTkNkNxtaextaedtT于是：0220012)()cos()NNNkkkkkTkNkNEtxtdtAABTT（结论：在均方误差最小的准则下，傅里叶级数是对周期信号的最佳近似。在均方误差最小的准则下，可以证明，此时应满足：ka0001()jktkTaxtedtT这就是傅氏级数的系数其中kjkkaAe00(),kjktjkTxtedtBe00()kjktjkTxtedtBe二.傅里叶级数的收敛傅里叶级数收敛的两层含义：①是否存在?②级数是否收敛于?()xtka两组条件：1.平方可积条件：如果则必存在。在一个周期内能量有限，一定存在。ka02()Txtdtka()xtQ2.Dirichlet条件：①，在任何周期内信号绝对可积。②在任何有限区间内，只有有限个极值点，且极值为有限值。③在任何有限区间内，只有有限个第一类间断点。0()Txtdt0000011()()jktkTTaxtedtxtdtTT因此，信号绝对可积就保证了的存在。ka这两组条件并不完全等价。它们都是傅里叶级数收敛的充分条件。相当广泛的信号都能满足这两组条件中的一组，因而用傅里叶级数表示周期信号具有相当的普遍适用性。几个不满足Dirichlet条件的信号三.Gibbs现象满足Dirichlet条件的信号，其傅里叶级数是如何收敛于的。特别当具有间断点时，在间断点附近，如何收敛于?()xt()xt()xt1N3N7N19N100N用有限项傅里叶级数表示有间断点的信号时，在间断点附近不可避免的会出现振荡和超量。超量的幅度不会随所取项数的增加而减小。只是随着项数的增多，振荡频率变高，并向间断点处压缩，从而使它所占有的能量减少。Gibbs现象表明：Prop