信号与系统-第四章-系统s域分析

第四章连续时间系统的s域分析《信号与线性系统》1第四章连续时间系统的s域分析连续时间系统时域分析方法回顾。变换域分析是信号与系统分析的一种重要思想方法。建立系统的频域分析概念和思想。系统函数H(s)。第四章连续时间系统的s域分析《信号与线性系统》24.2拉普拉斯变换的定义、收敛域系统实际问题中考虑信号为因果信号，则一从傅里叶变换到拉普拉斯变换1．拉普拉斯正变换ttfFtde)()(j0信号f(t)乘以衰减因子，满足绝对可积条件，傅氏变换可求：tettfttdee)(j0)j(Fttftde)()j(0称为复频率。具有频率的量纲令,,j:s0ettfsFtsd则第四章连续时间系统的s域分析《信号与线性系统》32．拉氏逆变换dejπ21jtFtf两边同乘以：tedeπ21ejttjFtfettf是的傅立叶逆变换jFjjdejπ21ssFtfts3．拉氏变换对jj10dej21deσσtstsssFtfLtfttftfLsFπ单边拉氏变换双边拉氏变换jj1dejπ21deσσtstsssFtfLtfttftfLsF至4.11节之前只讨论单边拉氏变换与傅氏变换的区别p187第四章连续时间系统的s域分析《信号与线性系统》4二拉氏变换的收敛域欲使F(s)存在，则必须满足条件：0)(limttetf解得：00j0收敛轴收敛域=Re(s)有始有终信号j整个平面等幅振荡信号sin(t)u(t)及tu(t)等00a0taetf)()(sin)4()()3()()2()()1(0tuttuetttutatnω例：第四章连续时间系统的s域分析《信号与线性系统》5三常见信号的拉氏变换2、阶跃信号stu1)(1、冲激信号1)(t0)(0stLett3、指数函数信号stuet1)(1!)(nnsntut4、正幂信号5、余弦信号2020)(cosssttu6、正弦信号20200)(sinsttu我们所讨论的（单边）拉氏变换是从0点开始积分的，因此，t0区间的函数值与变换结果无关（图4－3）。取逆变换时只能给出t=0时间范围内信号。拉氏变换的0-系统（P191）采用0-系统，可以把0-至0+的变化反映出来。第四章连续时间系统的s域分析《信号与线性系统》64.3拉氏变换的基本性质例求f(t)=sin(t)的拉氏变换F(s).)(21)sin()(tjtjeejttf一线性特性：二时域的微分性)0()(])(L[,)()](L[fssFdttdfsFtf则若推论)0()0()0()(])([)1(21nnnnnnffsfssFsdttfdL三时域的积分性sfsFsfLt)0()(1]d)([)1(时域微分性和积分性可将f(t)微分方程和积分方程化为复频域F(s)的代数方程，而且自动引入初始状态，因而通过复频域分析法可求得系统的全响应。(例4～4）第四章连续时间系统的s域分析《信号与线性系统》7注意：)()()()()()(0000tuttfttuttfttutf而非后为延时0),()]()(L[),()](L[0000tsFettuttfsFtfst则若四时移特性五S域平移特性)(])e(L[),()](L[t-sFtfsFtf则若2222)()]cos([,)()]sin([asasteLasteLatat例0),(1)](L[,)()]([aasFaatfsFtfL则若abseasFabatubtf)(1)]()(aL[六尺度变换特性第四章连续时间系统的s域分析《信号与线性系统》8(七)初值定理)(lim)(lim)0(0ssFtffst注：初值定理应用的条件是F(s)是真分式，若不是，则在t=0处有冲激及其导数产生。F(s)可写成多项式和真分式之和。)()()(0sFsPsF)(lim)0(0ssFfs)(lim)(lim)(0ssFtffst注：终值定理应用的条件是F(s)的极点必须位于左半平面，或原点处有一阶极点。(八)终值定理的初值和终值。在时域中求)(6412)(232tfssssssF第四章连续时间系统的s域分析《信号与线性系统》9(十)复频域微分)()(sFdsdttfLsLdssFttf)()((十一)复频域积分推论nnnLndssFdtft)()1()(例：p2514-4(16)例：p2624-4(20)(九)卷积定理时域卷积定理)()()u(t)]()u(t)(L[2121sFsFtftf频域卷积定理第四章连续时间系统的s域分析《信号与线性系统》10周期信号的拉氏变换)2()()(111TtfTtftffT-2sT1-sT11)e()e()()(sFsFsFsFT)ee)(1(-2sT-sT1sF适用于任意周期信号求拉氏变换，F1(s)因信号不同而不同。sT-1e11)(sF抽样信号的拉氏变换0)()(nTnTttnsTnstnsenTfdtenTtnTftfL000)()()()]([第四章连续时间系统的s域分析《信号与线性系统》114.4拉普拉斯逆变换-----部分分式展开法(1)部分分式展开法(2)利用留数定理——围线积分法(3)数值计算方法——利用计算机一．由象函数求原函数的三种方法二．部分分式展开法1F(s)的一般形式)())(()())(()()()(212101110111nnmmnnnnmmmmpspspsbzszszsabsbsbsbasasasasBsAsF零点极点的零点称为的根是sFsAzzzzm,0,,321的极点称为的根是sFsBppppn,0,,321第四章连续时间系统的s域分析《信号与线性系统》122．部分分式展开法求拉氏逆变换的步骤•找出F(s)的极点。•将F(s)展开成部分分式之和。•f(t)为各分式逆变换之和。3.第一种情况：单阶实数极点,,321为不同的实数根npppp)())(()()(21npspspssAsFnnpskpskpsksF2211)((mn)第四章连续时间系统的s域分析《信号与线性系统》13(1)找极点)3)(2)(1(3322ssssssF(2)展成部分分式321321sksksksF362511)(ssssF所以f(t)6116332)(232，求例ssssssF1eαstuLt根据0e6e5e)(:32ttfttt得(3)逆变换求系数第四章连续时间系统的s域分析《信号与线性系统》144.第二种情况：极点为共轭复数22asssFF(s)具有共轭极点，不必展开成单极点项,利用2222asasssF求得222)(cose,)(sinesastLstLtt0sinecosettβαttftt。的逆变换求例)()52)(2(3)(:10422tfsssssF第四章连续时间系统的s域分析《信号与线性系统》155.第三种情况：有重根存在22)1)(2()(ssssF4)1)(2()2(2221sssssk1)1)(2()1(12223sssssk如何求k2?2321)1(12sksksk设法使部分分式只保留k2，其他分式为032122)1(2)1(2ksksksss2)1(s对原式两边乘以1,,2ssk再令求一次导两边对求3)2(4)2(12222ssssssdsdk2)1(11324)(ssssF0ee3e4)(2tttfttt第四章连续时间系统的s域分析《信号与线性系统》16一般情况1121)1(111121111)()()()()(pskpskpskpskpssAkkkkk求其他系数，要用下式11)()()(1111pskpssFpssFkkisFsikpsiii,3,2,1,)(dd)!1(1111116．F(s)两种特殊情况•非真分式——化为真分式＋多项式23795)(223ssssssF)(221321sFsssss2112)(1sssFtttf2)(e)(e22tututt第四章连续时间系统的s域分析《信号与线性系统》17的非有理式含se•2111)(1sssF)(ee)()(2111tusFLtftt所以)2(ee2)2(2)2(1tutftftt所以。求解时利用时移性质，项不参加部分分式运算essssFss2122e)(23e]e1)[1(]e1[][)1(22)1(ssssF求逆变换第四章连续时间系统的s域分析《信号与线性系统》184.5拉氏变换分析电路、s域元件模型LTI系统均可由微分方程来描述这，拉普拉斯变换可以将微分方程变换成S域(复频域)中的代数方程，便于运算求解。一微分方程的拉普拉斯变换解法n阶线性系统的激励为因果信号e(t)，响应为r(t)，则其微分方程的一般形式为：)()(d)(dd)(d)(ddr(t)d)(dd)(d0111101111tebdttdebttebttebtratattrattrmmmmmmnnnnn两边取拉普拉斯变换，对因果信号有：0)0()0()0()0()1(neeee第四章连续时间系统的s域分析《信号与线性系统》19由拉氏变换的时域微分性质：)0()0()0()()()1(21)(kkkkkrrsrssRstr10)(01110111)0()()()()()(nkkkmmmmnnnrsAsEbsbsbsbsRasasas可得s域代数方程：E(s)H(s)(s)R)()()()()()0()()()(zi011110)(01110111sDsMsEsDsNasasasrsAsEasasasbsbsbsbsRnnnnkkknnnmmmm零状态响应零输入响应第2章p83习题2-6p84习题2-12第四章连续时间系统的s域分析《信号与线性系统》20二、拉氏变换法分析电路1、电路基本约束s域形式KCL：i(t)=0I(s)=0KVL：u(t)=0V(s)=02、元件的s域模型例4－1321EERC)(1tv)(tvR)(tvC第四章连续时间系统的s域分析《信号与线性系统》211）电阻元件)()()()(sIRsVtiRtu)()()()(sVGsItuGti)(tu)(ti)(sV)(sIRR2）电容元件C)(tic)(tuc)(sIc)(sVcsc1svc)0()(sIc1