正弦定理教学设计

1《正弦定理》教学设计设计教师：廖仪君思南县第六中学一、教材分析《正弦定理》是人教版教材必修五第一章《解三角形》的第一节内容，也是三角形理论中的一个重要内容，与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切的联系。在此之前，学生已经学习过了直角三角形的边角的量化关系，正弦函数和余弦函数，知识储备已足够。它是后续课程中解三角形的理论依据，也是解决实际生活中许多测量问题的工具。因此熟练掌握正弦定理能为接下来学习解三角形打下坚实基础，并能在实际应用中灵活变通。二、教学目标知识目标：理解并掌握正弦定理及其推导过程，运用正弦定理解三角形。能力目标：探索正弦定理的推导过程，用归纳法得出结论，并能掌握多种推导方法。情感目标：通过多种推导方法得出正弦定理，让学生感受数学公式的准确性和整洁对称美以及数学的实际应用价值。三、教学重难点教学重点：正弦定理的内容和变型与延伸，正弦定理的多种推导方法及基本应用。教学难点：正弦定理的探索及推导。1、已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。2、已知两角和任意一边解三角形。四、教法-----启发式教育教学法。本节知识遵循以教师为主导，以学生为主体的指导思想，采用与学生共同探索的教学方法，命题教学的发生型模式，以问题实际为参照对象，激发学生学习数学的好奇心和求知欲，让学生的思维由问题开始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推导，并逐步得到深化，且运用例题和习题来强化内容的掌握，突破重难点。即指导学生掌握“观察——猜想——证明——应用”这一思维方法。学生采用自主式、合作式、探讨式的学习方法，这样能使学生积极参与数学学习活动，培养学生的合作意识和探究精神。五、教学过程（一）、引入。提问：在中学的初中阶段我们学习了直角三角形的边角之间有一定的准确量化关系：（1）正弦，余弦，正切；（2）勾股定理两锐角互余；可以解直角三角形。同时我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系。那我们能不能得到关于任意三角形边、角准确量化的关系表达式从而解三角形呢？2（二）、归纳命题1、特殊的三角形直角三角形中来探讨边与角的数量关系：在如图Rt三角形ABC中，根据正弦函数的定义sin,aAcsin.bBc所以，.sinsinabcAB又sin1,C所以.sinsinsinabcABC在直角三角形中，得出这一关系。那么，对于一般的三角形，以上关系式是否仍然成立呢？2、命题证明首先考虑锐角三角形，要找到边与角正弦之间的关系，就要找到桥梁，那就是构造出直角三角形——作高线。abDCBA作AB上的高CD,根据三角函数的定义，sin,CDaBsin,CDbA所以，sinsin.aBbA同理，在ABC中，.sinsinbcBCACBabc3于是在锐角三角形中，sinsinsinabcABC也成立。当ABC是钝角三角形时，以上等式仍然成立吗？bcaDCAB由学生类比锐角三角形的证明方法，同样可以得出。于是，从以上的讨论和探究，得出定理：正弦定理（lawsofsines）在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sinsinsinabcABC=2R（其中R为三角形外接圆半径）分析此关系式的形式和结构，一方面便于学生理解和识记，另一方面，让学生去感受数学的间接美和对称美。注意：（1）关系式的形式和结构。（2）正弦定理的变型式:asinB=bsinA,asinC=csinA,bsinC=csinB；①baBAsinsin，bcBCsinsin，caCAsinsin；②,sin2sinsinsinsin.ARCAcBAbaBRCBcABabsin2sinsinsinsin;sin2sinsin.sinsin.CRACaBCbc③RacCabBaA2sin.sin.sinRbcCbaAbB2sin.sin.sinRcbBcaAcC2sin.sin.sin;④SinA:sinB:sinC=a:b:c(3)方程观点：正弦定理其实是已知三个量解一个量。正弦定理描述了任意三角形中边与角的一种数量关系。我们把三角形的三边和三个角叫做三角形的元素，已知几个元素求其他元素的过程叫解三角形。分析正弦定理的应用范围，定理形式可知，（1）如果已知三角形的两角和一4边；（2）已知两边和其中一边所对的角，都可以解出这个三角形。3、命题应用.（1）讲解书本上两个例题：例1在△ABC中，已知A=32°，B=81.8°，a=42.9cm.解三角形。例2在△ABC中，已知a=20cm，b=28cm，A=40°，解三角形（角精确到10，边长精确到1cm）。例1简单，结果为唯一解；例2较难。总结：如果已知三角形两角和一边（边是任意），以及已知两角和其中一角的对边，都可利用正弦定理来解三角形；使学生明确，利用正弦定理求角有两种可能。要求学生熟悉掌握已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形。接着回到课堂引入未解决的实际问题。在△ABC中，已知AC=1500m，∠C=450，∠B=300。求AB=？ACB在已经学习过正弦定理和例1例2的运用之后，此题就显得非常简单。（2）课堂练习课本P4，让学生自己运用正弦定理解题。1.在△ABC中，已知下列条件，解三角形（角度精确到10，边长精确到1cm）：（1）A=45°，C=30°，c=10cm（2）A=60°，B=45°，c=20cm2.在△ABC中，已知下列条件，解三角形（角度精确到10，边长精确到1cm）：（1）a=20cm，b=11cm，B=30°（2）c=54cm，b=39cm，C=115°学生板演，老师巡视，及时发现问题，并解答。（3）综合题例练习与讲解。1．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a＝23，sinC2cosC2＝14，sinBsinC＝cos2A2，求A、B及b、c.5解：由sinC2cosC2＝14，得sinC＝12，又C∈(0，π)，所以C＝π6或C＝5π6.由sinBsinC＝cos2A2，得sinBsinC＝12[1－cos(B＋C)]，即2sinBsinC＝1－cos(B＋C)，即2sinBsinC＋cos(B＋C)＝1，变形得cosBcosC＋sinBsinC＝1，即cos(B－C)＝1，所以B＝C＝π6，B＝C＝5π6(舍去)，A＝π－(B＋C)＝2π3.由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC，得b＝c＝asinBsinA＝23×1232＝2.故A＝2π3，B＝π6，b＝c＝2.2.在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且cos2A＝35，sinB＝1010.(1)求A＋B的值；(2)若a－b＝2－1，求a，b，c的值．解：(1)∵A、B为锐角，sinB＝1010，∴cosB＝1－sin2B＝31010.又cos2A＝1－2sin2A＝35，∴sinA＝55，cosA＝255，∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝255×31010－55×1010＝22.又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝π4.(2)由(1)知，C＝3π4，∴sinC＝22.由正弦定理：asinA＝bsinB＝csinC得：5a＝10b＝2c，即a＝2b，c＝5b.∵a－b＝2－1，∴2b－b＝2－1，∴b＝1.6∴a＝2，c＝5.4、形成命题域、命题系完成课本探究（课本P3）开始我们运用分类讨论平面几何三角形的情况证明了正弦定理。那么正弦定理的证明还有没有其他的证法？学生可以自主思考，也可以合作探究。学生思考出来就更好，如果没有思考出来，提示两种方法（1）几何法，作三角形的外接圆；（2）向量法。先让学生思考。结束后，重点和学生一起讨论几何法，作外接圆的证法。一方面是让学生体会到证明方法的多样，进行发散性思维，但更主要的是为了得出2sinsinsinabcRABC。即得正弦定理中这一比值等于外接圆半径的2倍的结论，让学生能更深刻地理解到这一定理的，也方便以后的解题。而提到的向量法，则让学生课后自己思考，可以查阅资料证明。（1）.外接圆证明正弦定理。在△ABC中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC的外接圆,O为圆心,连结BO并延长交圆于B′,设BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到∠BAB′=90°，∠C=∠B′，∴sinC=sinB′=RcBC2sinsin∴RCc2sin同理,可得RBbRAa2sin,2sin∴RCcBbAa2sinsinsin这就是说,对于任意的三角形,我们得到等式（2）向量法证明正弦定理。(1)△ABC为锐角三角形,过点A作单位向量j垂直于AC,则j与AB的夹角为90°-A,j与CB的夹角为90°-C由向量的加法原则可得ABCBAC为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算,得到ABjCBACj)(由分配律可得ABjCBjACB∴|j|ACCos90°+|j|CBCos(90°-C)=|j|ABCos(90°-Aj∴asinC=c∴CcAasinsinA另外,过点C作与CB垂直的单位向量j,则j与AC的夹角为90°+C,j与AB的夹C7角为90°+B,可得BbCcsinsin(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为j与AC的夹角为90°-C,j与AB的夹角为90°-B∴CcBbAasinsinsin(2)△ABC为钝角三角形,不妨设A＞90°,过点A作与AC垂直的单位向量j,则j与AB的夹角为A-90°,j与CB的夹角为90°-C由ABCBAC,得j·ACj·CB=j·ABj即a·Cos(90°-C)=c·Cos(A-∴asinC=csin∴CcAasinsin另外,过点C作与CB垂直的单位向量j,则j与AC的夹角为90°+C,j与AB夹角为B.同理,可得CcBbsinsin.∴CcBbsimAasinsin六、课堂小结与反思这节课我们学到了什么？（正弦定理的形式？正弦定理的适应范围？正弦定理的证明方法？）1、我们从直角、锐角、钝角三类三角形出发，运用分类的方法通过猜想、证明得到了正弦定理sinsinsinabcABC，它揭示了任意三角形边和其所对的角的正弦值的关系。2、运用正弦定理解决了我们所要解决的实际问题。在解三角形中，若已知两角和一边，或者已知两边和其中一边所对的角可以用正弦定理来解决。但在第二种情况下，运用正弦定理需要考虑多解的情况。3、正弦定理的证明还可以运用向量法和作三角形的外接圆来证明。其中通过作外接圆可以得到2.sinsinsinabcRABC这是对正弦定理的补充。七、作业布置教材第10页，习题1.1，A组第一题、第二题。ACBA