2019届江苏省苏锡常镇四市高三教学情况调查(一)数学试题(解析版)

苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（一）数学注意事项:1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷.2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分。3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上。一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A＝{0，1，2}，B＝11xx，则AB＝．2．i为虚数单位，复数2(12i)的虚部为．3．抛物线24yx的焦点坐标为．4．箱子中有形状、大小都相同的3只红球、1只白球，一次摸出2只球，则摸到的2只球颜色相同的概率为．5．如图是抽取某学校160名学生的体重频率分布直方图，已知从左到右的前3组的频率成等差数列，则第2组的频数为．6．如图是一个算法流程图，则输出的S的值是7．已知函数2log(3)0()210xxxfxx，，，若1(1)2fa，则实数a＝．8．中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里．那么这匹马在最后一天行走的里程数为．9．已知圆柱的轴截面的对角线长为2，则这个圆柱的侧面积的最大值为．10．设定义在区间(0，2)上的函数33sinyx的图象与3cos22yx的图象交于点P，则点P到x轴的距离为．11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知5a＝8b，A＝2B，则sin(A﹣4)＝．12．若直线l：40axya上存在相距为2的两个动点A，B，圆O：221xy上存在点C，使得△ABC为等腰直角三角形（C为直角顶点），则实数a的取值范围为．13．在△ABC中，已知AB＝2，AC＝1，∠BAC＝90°，D，E分别为BC，AD的中点，过点E的直线交AB于点P，交AC于点Q，则BQCP的最大值为．14．己知函数2()fxxxa，()(21)lngxaxax，若函数()yfx与函数y()gx的图象恰好有两个不同的交点，则实数a的取值范围为．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分14分）如图，三棱锥D—ABC中，己知AC⊥BC，AC⊥DC，BC＝DC，E，F分別为BD，CD的中点．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）BD⊥平面ACE．16．（本小题满分14分）已知向量a＝(2cos，2sin)，b＝(cossin，cossin)．（1）求向量a与b的夹角；（2）若()ba⊥a，求实数的值．17．（本小题满分14分）某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化．已知空地的一边是直路AB，余下的外围是抛物线的一段弧，直路AB的中垂线恰是该抛物线的对称轴（如图）．拟在这个空地上划出一个等腰梯形ABCD区域种植草坪，其中A，B，C，D均在该抛物线上．经测量，直路AB长为40米，抛物线的顶点P到直路AB的距离为40米．设点C到抛物线的对称轴的距离为m米，到直路AB的距离为n米．（1）求出n关于m的函数关系式；（2）当m为多大时，等腰梯形草坪ABCD的面积最大？并求出其最大值．18．（本小题满分16分）已知椭圆E：22221(0)xyabab的离心率为32，焦点到相应准线的距离为33．（1）求椭圆E的标准方程；（2）已知P(t，0)为椭圆E外一动点，过点P分别作直线l1和l2，直线l1和l2分别交椭圆E于点A，B和点C，D,，且l1和l2的斜率分别为定值k1和k2，求证：PAPBPCPD为定值．19．（本小题满分16分）已知函数()(1)ln(R)fxxxaxa．（1）若()yfx在(1，(1)f)处的切线方程为0xyb，求实数a，b的值；（2）设函数()()fxgxx，x[1，e]（其中e为自然对数的底数）．①当a＝﹣1时，求()gx的最大值；②若()()exgxhx是单调递减函数，求实数a的取值范围．20．（本小题满分16分）定义：若有穷数列1a，2a，…，na同时满足下列三个条件，则称该数列为P数列．①首项11a；②12naaa…；③对于该数列中的任意两项ia和ja(1≤i＜j≤n)，其积ijaa或商jiaa仍是该数列中的项．（1）问等差数列1，3，5是否为P数列？（2）若数列a，b，c，6是P数列，求b的取值范围；（3）若n＞4，且数列1b，2b，…，nb是P数列，求证：数列1b，2b，…，nb是等比数列．2018—2019学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学II（加试）21．【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A．选修4—2：矩阵与变换已知x，yR，12是矩阵A＝10xy的属于特征值﹣1的一个特征向量，求矩阵A的另一个特征值．B．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知直线l：sin()03，在直角坐标系（原点与极点重合，x轴正方向为极轴的正方向）中，曲线C的参数方程为1414yttxtt（t为参数）．设l与C交于A，B两点，求AB的长．C．选修4—5：不等式选讲若不等式15xxa对任意的xR恒成立，求实数a的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）从批量较大的产品中随机取出10件产品进行质量检测，若这批产品的不合格率为0.05，随机变量X表示这10件产品中的不合格产品的件数．（1）蚊：这10件产品中“恰好有2件不合格的概率P(X＝2)”和“恰好有3件不合格的概率P(X＝3)”哪个大？请说明理由；（2）求随机变量X的数学期望E(X)．23．（本小题满分10分）已知34268243451681022()nnnnCCCCfnCCCC，562468243451681022()nnnnCCCCgnCCCC，其中nN，2n．（1）求(2)f，(3)f，(2)g，(3)g的值；（2）记()()()hnfngn，求证：对任意的mN，m≥2，总有1(2)2mmh．2018-2019学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学Ⅰ参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．02．43．(1,0)4．125．406．327．2log38.7001279．2π10．311．1725012．33[]33，13．9414．1a二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（1）三棱锥DABC中，∵E为DC的中点，F为DB的中点，∴EFBC∥，…………………………3分∵BC平面ABC，EF平面ABC，∴EF∥平面ABC．……………………………………………………………6分（2）∵ACBC，ACDC，BCDCC，∴AC平面BCD，…………………………………………………………………8分∵BD平面BCD，∴ACBD，………………………………………………10分∵,DCBCE为BD的中点，∴CEBD，……………………………………12分∵ACCEC，∴BD平面ACE．…………………………………………14分16．（1）设向量a与b的夹角为，因为2a，22(cossin)(cossin)2b，………………………4分所以cosabab(2cos,2sin)(cossin,cossin)22222cos2sin2222．…………………………………………………………7分考虑到0π剟，得向量a与b的夹角4．………………………………………9分（2）若()baa，则()0baa，即20baa，………………………12分因为2ba，24a，所以240，解得2．……………………………………………………14分17.（1）以路AB所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，…………………………………………………1分则(20,0)A，(20,0)B，(0,40)P，…………………………………………………2分∵曲线段APB为抛物线的一段弧，∴可以设抛物线的解析式为(20)(20)yaxx，将点(0,40)P代入得：40400a，解得110a，………………………………4分∴抛物线的解析式为21(400)10yx，…………………………………………5分∵点C在抛物线上，∴21(400)10nm，00m．………………………6分（2）设等腰梯形ABCD的面积为S，则211(240)(400)210Smm，………………………………………………8分321(204008000)10Smmm，………………………………………………9分∵211(340400)(320)(20)1010Smmmm，………………………10分令0S，得203m，…………………………………………………………11分m20(0,)3m203m20(,20)3mS0S0S0SS增极大值减…………………………………………………13分∴当203m时，等腰梯形ABCD的面积最大，最大值为2560027平方米．…………14分18．(1)设椭圆的半焦距为c，由已知得，32ca，则233acc，222cab，………………………………………3分解得2a，1b，3c，…………………………………………………………5分∴椭圆E的标准方程是2214xy．………………………………………………6分(2)由题意，设直线1l的方程为1()ykxt，代入椭圆E的方程中，并化简得，22222111(14)8440kxktxkt，…………………………………………………8分设11(,)Axy，22(,)Bxy．则211221814ktxxk，22112214414ktxxk，因为PA2111kxt，PB2121kxt，……………………………………10分所以PAPB2112(1)kxtxt2211212(1)()ktxxtxx2222221112211844(1)1414ktktktkk221211|4|14ktk（），……………………………12分同理，PCPD222221|4|14ktk（），…………………………………………………14分所以PAPBPCPD22122221(114114kkkk)()()()为定值．………………………………………16分19．（1）1()lnxfxxax，(1)21fa，3a，………………………1分(1)3fa，(1,3)代入0xyb解得2b．……………………………2分（2）①∵1()(1)ln1gxxx，则222ln1ln1()xxxxgxxxx．…………3分令()ln1xxx，则1()10xx≥，()x在1,e单调递增，…………………………………5分()(1)0x≥，………………………………………………………………6分∴()0gx，()gx在1,e单调递增，∴()gx的最大值为1(e)eg．…………8分②同理，单调递增函数()()fxgxx1,1eaa，……………………………9分则11()(1)lnexhxxax．1若0a≥，()0gx≥，1(1)ln()exxaxhx，221