2019年高考北京卷数学(文科)试卷

2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合|12Axx，|1Bxx，则ABA．1,1B．1,2C．1,D．1,（2）已知复数2iz，则zzA．3B．5C．3D．5（3）下列函数中，在区间0,上单调递增的是A．12yxB．2xyC．12logyxD．1yx（4）执行如图所示的程序框图，输出的s值为A．1B．2C．3D．4（5）已知双曲线22210xyaa的离心率是5，则aA．6B．4C．2D．12（6）设函数cossinfxxbx（b为常数），则“0b”是“fx为偶函数”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件（7）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述，两颗星的星等与亮度满足12125lg2EmmE，其中星等为km的星的亮度为(1,2)kEk，已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A．10.110B．10.1C．lg10.1D．10.110（8）如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点．APB是锐角，大小为，图中阴影区域的面积的最大值为A．44cosB．44sinC．22cosD．22sin第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）已知向量(4,3)a，(6,)bm，且ab，则m__________．（10）若x、y满足214310xyxy，则yx的最小值为__________，最大值为__________．（11）设抛物线24yx的焦点为F，准线为l，则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为__________．（12）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．（13）已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：①lm；②m∥；③l．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．（14）李明自主创业，在网上经营一家水果店。销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒，65元/盒、80元/盒、90元/盆，为增加销量，李明对这四种水果通行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元。每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%。①当10x时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折。则x的最大值为__________．三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题13分）在ABC△中，3a，2bc，1cos2B。（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin()BC的值。（16）（本小题13分）设na是等差数列，110a，且210a，38a，46a成等比数列．（Ⅰ）求na的通项公式；（Ⅱ）记na的前n项和为nS，求nS的最小值．（17）（本小题12分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变。近年来，移动支付已成为主要支付方式之一。为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人。样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支付金额支付方式不大于2000元大于2000元仅使用A27人3人仅使用B24人1人（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化，现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元。结合（Ⅱ）的结果。能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由。（18）（本小题14分）如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形．E为CD的中点．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若60ABC，求证：平面PAB⊥平面PAE；（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE?说明理由．（19）（本小题14分）已知椭圆2222:1xyCab的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为原点，直线:lykxt（1t）与椭圆C交于两个不同点P、Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若2OMON，求证：直线l经过定点．（20）（本小题14分）已知函数321()4fxxxx．（Ⅰ）求曲线()yfx的斜率为1的切线方程；（Ⅱ）当24x,时，求证：6()xfxx；（Ⅲ）设()()()Fxfxxa(aR)，记()Fx在区间2,4上的最大值为()Ma，当()Ma最小时，求a的值．