2018版高考数学一轮总复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入4.4数系的扩充与复数的引入模拟演练

板块四模拟演练·提能增分[A级基础达标](时间：40分钟)1．若a为正实数，i为虚数单位，a＋ii＝2，则a＝()A．2B．3C．2D．1解析解法一：由已知a＋ii＝2，得a＋ii＝|(a＋i)·(－i)|＝|1－ai|＝2.∴1＋a2＝2.∵a0，∴a＝3.解法二：∵a＋ii＝|a＋i||i|＝|a＋i|＝a2＋1＝2，∴a＝3.2．[2016·北京高考]复数1＋2i2－i＝()A．iB．1＋iC．－iD．1－i解析1＋2i2－i＝1＋2i2＋i2－i2＋i＝2＋i＋4i＋2i24－i2＝5i5＝i，故选A.3．[2016·全国卷Ⅲ]若z＝1＋2i，则4izz－1＝()A．1B．－1C．iD．－i解析∵zz＝(1＋2i)(1－2i)＝5，∴4izz－1＝4i4＝i，故选C.4．[2015·湖南高考]已知1－i2z＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i解析由1－i2z＝1＋i，得z＝1－i21＋i＝－2i1＋i＝－2i1－i1＋i1－i＝－1－i.5．[2017·安徽模拟]设i是虚数单位，z是复数z的共轭复数．若z·zi＋2＝2z，则z＝()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i解析设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由z·zi＋2＝2z得(a＋bi)(a－bi)i＋2＝2(a＋bi)，即(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi，所以2a＝2，a2＋b2＝2b，所以a＝1，b＝1，即z＝a＋bi＝1＋i.6．[2016·天津高考]i是虚数单位，复数z满足(1＋i)z＝2，则z的实部为________．1解析∵z＝21＋i＝1－i，∴z的实部为1.7．若a1－i＝1－bi，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则|a＋bi|＝________.5解析∵a，b∈R，且a1－i＝1－bi，则a＝(1－bi)(1－i)＝(1－b)－(1＋b)i，∴a＝1－b，0＝1＋b，∴a＝2，b＝－1，∴|a＋bi|＝|2－i|＝22＋－12＝5.8．[2014·湖南高考]满足z＋iz＝i(i为虚数单位)的复数是________．12－i2解析由已知得z＋i＝zi，则z(1－i)＝－i，即z＝－i1－i＝－i1＋i1－i1＋i＝1－i2＝12－i2.9．[2017·金华模拟]已知z∈C，解方程z·z－－3iz－＝1＋3i.解设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i.根据复数相等的定义，得a2＋b2－3b＝1，－3a＝3，解之得a＝－1，b＝0或a＝－1，b＝3.∴z＝－1或z＝－1＋3i.10．已知复数z＝bi(b∈R)，z－21＋i是实数，i是虚数单位．(1)求复数z；(2)若复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．解(1)因为z＝bi(b∈R)，所以z－21＋i＝bi－21＋i＝bi－21－i1＋i1－i＝b－2＋b＋2i2＝b－22＋b＋22i.又因为z－21＋i是实数，所以b＋22＝0，所以b＝－2，即z＝－2i.(2)因为z＝－2i，m∈R，所以(m＋z)2＝(m－2i)2＝m2－4mi＋4i2＝(m2－4)－4mi，又因为复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，所以m2－40，－4m0.解得m－2，即m∈(－∞，－2)．[B级知能提升](时间：20分钟)11．复数z为实数的充分不必要条件是()A．z＝zB．|z|＝zC．z2为实数D．z＋z为实数解析z＝z⇔z∈R.|z|＝z⇒z∈R，反之不行，例如z＝－2.z2为实数不能推出z∈R，例如z＝i.对于任何z，z＋z都是实数．故选B.12．复数m(3＋i)－(2＋i)(m∈R，i为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析∵m(3＋i)－(2＋i)＝(3m－2)＋(m－1)i，设在复平面内对应的点M的坐标为(x，y)，则x＝3m－2，y＝m－1，消去m得x－3y－1＝0，因为直线x－3y－1＝0经过第一、三、四象限，所以复数在复平面内对应的点不可能位于第二象限，故选B.13．已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝3，则yx的最大值为________．3解析∵|z－2|＝x－22＋y2＝3∴(x－2)2＋y2＝3.由图可知yxmax＝31＝3.14．若虚数z同时满足下列两个条件：①z＋5z是实数；②z＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由．解存在．设z＝a＋bi(a，b∈R，b≠0)，则z＋5z＝a＋bi＋5a＋bi＝a1＋5a2＋b2＋b1－5a2＋b2i.又z＋3＝a＋3＋bi实部与虚部互为相反数，z＋5z是实数，根据题意有b1－5a2＋b2＝0，a＋3＝－b，因为b≠0，所以a2＋b2＝5，a＝－b－3，解得a＝－1，b＝－2或a＝－2，b＝－1.所以z＝－1－2i或z＝－2－i.