基于螺旋理论的自由度分析原理模板

《高等空间机构学》YSU李永泉燕山大学机械工程学院2015年11月基于螺旋理论的自由度分析原理空间机构的位置分析运动影响系数原理基于约束螺旋理论的并联机构型综合空间机构的奇异分析机构学的其他问题本门课程的主要学习内容螺旋的基本概念螺旋表示运动和受力运动副的螺旋表示螺旋的相关性螺旋的相逆性基于螺旋理论的自由度计算基于螺旋理论的自由度分析原理螺旋的基本概念螺旋表示运动和受力运动副的螺旋表示螺旋的相关性螺旋的相逆性基于螺旋理论的自由度计算基于螺旋理论的自由度分析原理方向向量S位置向量r线矩S0=r×S直线表示为(S;S0)，满足S·S0=0。一般，对偶矢量中S·S0≠0，(S;S0)表示一个一般的螺旋OxzyrS基本概念直线的plücker坐标:•螺旋也称旋量。一个旋量表示空间的一组对偶矢量同时表示矢量的方向和位置。同时表示运动学中的线速度和角速度同时表示刚体力学中的力和力矩基本概念•螺旋一般形式$=(S;S0)，节距基本概念0hSSSS00;();hhSSSSSS000()0hSSSSSSSSSSS•令S0=S0-hS于是一般螺旋可以表示为$=(S;S0+hS)S·S0≠0,h为非零有限值。$=(S;S0)表示一般螺旋。$=(S;S0+hS)S·S0=0,h=0时。$=(S;S0)表示线矢量。S≠0,h=∞时$=(0;S)表示偶量。基本概念00;;hhhhSSS$SSS螺旋的基本概念螺旋表示运动和受力运动副的螺旋表示螺旋的相关性螺旋的相逆性基于螺旋理论的自由度计算基于螺旋理论的自由度分析原理•用角速度的线矢量表示转动:与转轴重合的单位线矢量$=(S;S0)转动运动的plücker坐标为w$=w(S;S0)=(w;v0)即角速度的大小与一个表示转轴作用线的单位线矢之积。螺旋表示运动OxzySw•用偶量表示移动刚体移动可以看作是绕距原点无限远处轴线的瞬时转动，转轴可用一个偶量表示为$=(0;S)移动运动的plücker坐标：v$=v(0;S)=(0;v)即线速度的大小与偶量$之积。移动运动的方向矢量空间任意平移，并不改变刚体的运动状态，(0;S)为一个自由矢量。螺旋表示运动更一般的螺旋运动则可看作移动与转动的合成OxzySv•用线矢量表示力:与作用力重合的单位线矢量$=(S;S0)力的plücker坐标可写为f$=f(S;S0)=(f;C0)即力的大小与和约束力重合的单位线矢之积。螺旋表示受力•用偶量表示力偶力偶是自由矢量，其在刚体内的平移不会改变对刚体的作用效果。自由矢量可表示为$=(0;S)力偶的plücker坐标C$=C(0;S)=(0;C)即力偶大小与自由矢量之积。螺旋表示受力力螺旋可看作力线矢与共线的力偶的合成螺旋的基本概念螺旋表示运动和受力运动副的螺旋表示螺旋的相关性螺旋的相逆性基于螺旋理论的自由度计算基于螺旋理论的自由度分析原理运动副的螺旋表示转动副000;0101$5000;100$000;100000;010000;001321$$$移动副球副螺旋的基本概念螺旋表示运动和受力运动副的螺旋表示螺旋的相关性螺旋的相逆性基于螺旋理论的自由度计算基于螺旋理论的自由度分析原理螺旋相关性螺旋相关性的定义:当有n个螺旋$i=Si+∈S0i，i=1,2…n,螺旋线性相关时必可找到一组不全为零的数ωi，使得n0iiS定理：螺旋系的相关性与坐标系的选择无关。考虑到螺旋系的相关性与坐标系的选择无关的这个定理，为了简明，在分析螺旋系的相关性时我们可以选最方便的坐标系，使诸螺旋的表达尽可能地简单。线矢和偶量在不同几何条件下的最大线性无关数序号几何特点图示线矢h=0偶量h=∞1共轴112共面平行213平面汇交224空间平行315共面32序号几何特点图示线矢h=0偶量h=∞6空间共点337单页双曲面上不相交的直线3-8（a）有公共交线，交角为直角；（b）有公共交线，且交角为一定；（c）有一条公共交线；（d）有两条公共交线；（e）有三条公共交线；44543-----9平行平面，且无公垂线5-10无公共交线，空间交错5-序号几何特点图示线矢h=0偶量h=∞11三维空间任意情况6312两平行线矢和一法向偶量213平面3线矢和一法向偶量314空间平行3线矢及一个相垂直的偶量3螺旋的基本概念螺旋表示运动和受力运动副的螺旋表示螺旋的相关性螺旋的相逆性基于螺旋理论的自由度计算基于螺旋理论的自由度分析原理分支中的某个运动螺旋$1和分支的约束螺旋$2互逆，其互易积为零00001211221221;;0ssssssss$$物理意义：互易积为零的两个螺旋，一个表示物体运动，一个表示物体受到的约束力，则互易积就是力螺旋对运动螺旋所作的瞬时功，如两个螺旋的互易积为零，则表示约束螺旋在运动螺旋方向上没有瞬时功。螺旋相逆性约束螺旋为约束力线矢2222;srs$螺旋相逆性对于分支中的转动副，$1是一个线矢量，即0111111;;sssrs$根据前面的互易积公式，有1212221121211212sin0srssrsrrssd$$此式子成立的条件是12120=0d或可知：约束力与转动副轴线共面（相交或平行）螺旋相逆性约束螺旋为约束力线矢对于分支中的移动副，$1是一个偶量，即110;s$根据前面的互易积公式，有121212cos0ss$$此式子成立的条件是12=90可知：约束力（反螺旋）与移动副垂直螺旋相逆性约束螺旋为约束力线矢对于分支中的转动副，$1是一个线矢量，即螺旋相逆性约束螺旋为约束力偶220;s$0111111;;sssrs$螺旋相逆性根据前面的互易积公式，有121212cos0ss$$此式子成立的条件是12=90可知：约束力偶（反螺旋）与转动副垂直约束螺旋为约束力偶对于分支中的移动副，$1是一个偶量，即110;s$根据前面的互易积公式，有1221000ss$$可知：约束力偶（反螺旋）与移动副轴线始终互逆。螺旋相逆性约束螺旋为约束力偶当螺旋系同时含有若干线矢量和偶量1与此螺旋系相逆的线矢量，必须与所有偶量相垂直且与所有线矢量相交2与此螺旋系相逆的偶量必须与螺旋系的所有线矢量垂直螺旋相逆性两线矢相逆的充要条件是它们共面两个偶量必相逆线矢与偶量仅当垂直时才相逆线矢和偶量皆自逆与已知螺旋系相逆的反螺旋螺旋的基本概念螺旋表示运动和受力运动副的螺旋表示螺旋的相关性螺旋的相逆性基于螺旋理论的自由度计算基于螺旋理论的自由度分析原理1d1giiMngfv修正的G-K公式：机构自由度计算M—机构的自由度；d—机构的阶数（6-公共约束数）；n—机构的构件数(包括机架)；g—运动副的个数；fi—第i个运动副的自由度；v—冗余约束的个数；ζ—机构中存在的局部自由度机构的公共约束机构的公共约束：与机构中的每个运动螺旋都相逆的约束螺旋称为机构的公共约束。存在公共约束则意味着机构中任何一个构件都不能发生这个运动。并联机构的公共约束：各分支都能提供同样的约束（约束力应共轴，约束力偶应同向）。机构的阶机构的阶：机构运动螺旋系的阶（Rank），机构所有构件允许的运动维数机构的阶+公共约束数=63-RPS机构自由度计算3-RPS机构自由度计算Oxyz5$3$4$2$1$0efr$12345100;000000;0e100;0010;00001;00$$f$fe$f$e分支的运动螺旋系：100;0-r$fe约束螺旋系为：1r$2r$3r$对于这个3-RPS整体机构，3个相同分支有3个类似的约束力，都过各自分支球副中心并与第一个转动副平行。作用于上平台的3个约束力就约束了平台的3个自由度，限制了包括动平面内的两个移动和绕动平面法线的相对转动。没有公共约束16168911503giiMngfv按照修正的G-K公式计算：3-RPS机构自由度计算自由度性质3-RRC机构自由度计算RRC分支的运动螺旋系：分支的约束螺旋系为：为分别沿y和z轴方向的两个约束力偶。12223334100;000100;0100;0000;100efef$$$$12000;010000;001rr$$考虑公共约束建立同样的分支坐标系分析可知，三个分支的约束螺旋系均为分别沿y和z轴方向的两个约束力偶。12000;010000;001riri$$(1,2,3)i3-RRC机构自由度计算考虑公共约束3-RRC机构自由度计算可以看出三个分支有相同的（竖直方向）力偶分量，即机构存在一个公共约束。共面不汇交的三个约束力偶又对应一个并联冗余约束。由修正的G-K公式计算可得：2ri$1ri$1158911213giiMdngfv冗余约束对于许多复杂的多环并联机构,除了需要考虑构成公共约束的过约束外,还有一些过约束是在多个分支构成多环并联时候发生的,这里称之为”冗余约束”。求法：当除去公共约束后，其余的个约束构成一个系螺旋，如果则存在冗余约束，冗余约束tkvtkkt4-URU机构自由度计算URU分支的运动螺旋系：分支的约束螺旋系为：为沿y轴方向的约束力偶。1233344455001000100;000100;0100;0001;00efefd$$$$$1000;010r$X1Y1Z1URU5i$3i$1ri$4i$iziyix2i$1i$io4-URU机构自由度计算4个共面不平行约束力偶，没有公共约束,且只有两个独立，因此存在两个冗余约束。由修正的G-K公式计算可得116101212024giiMdngfv3-UPU机构自由度计算UPU分支的运动螺旋系：分支的约束螺旋系为：为垂直于U副十字平面的约束力偶。1233344455100;000010;000000;0010;0100;00dfdfe$$$$$1000;001r$xiyizi1i$2i$3i$4i$5i$3-UPU机构自由度计算三个分支的三个约束力偶在空间分别垂直各自的十字头平面，它们相互并不平行，彼此线性无关，没有公共约束,没有冗余约束。三个约束力偶限制了三个转动自由度，上平台只具有三个移动自由度。由修正的G-K公式计算可得116891153giiMdngfv平面五杆平行四边形机构自由度计算AD分支的运动螺旋系：分支的约束螺旋系为：分别为沿x和y轴方向的两个约束力偶和沿z轴和杆件方向的两个约束力。1222001;000001;0ab$$123422000;100000;010001;0000;000rrrrba$$$$xy可以看出三个分支为动平台提供了两个方向相同的约束力偶，和一个共轴的约束力，即机构存在三个公共约束。共面平行的三个约束力又对应一个并联冗余约束。由修正的G-K公式计算可得：113561613giiMdngfv平面五杆平行四边形机构自由度计算自由度性质空间平行5H机构自由度计算空间5个具有不同节距且轴线平行的螺旋依次相连，运动螺旋系：约束螺旋系为：11222333344445555001;00001;0001;001;001;cbcabcabcabc$$$$$12000;100000;010rr$$可以看出机构存在两个公共约束，属于四阶机构。由修正的G-K公式计算可得：11455151giiMdngfv