反三角函数典型例题

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1反三角函数典型例题例1：在下列四个式子中，有意义的为__________：解：（4）有意义。（1）arcsin2；（2）arcsin4；（3）sin(arcsin2)；（4）arcsin(sin2)。点评：arcsinx——x[1,1]。例2：求下列反正弦函数值（1）3arcsin2解：3（2）arcsin0解：0（3）1arcsin()2解：6（4）arcsin1解：2点评：熟练记忆：0，12、22，32，1的反正弦值。思考：1sin(arcsin)24该如何求？例3：用反正弦函数值的形式表示下列各式中的x(1)3sinx5，x[,]22解：x＝arcsin35变式：x[,]2?解：x[,]2时，π－x[0,]2，sin(π－x)＝sinx＝35∴π－x＝arcsin35，则x＝π－arcsin35变式：x[0,]?解：x＝arcsin35或x＝π－arcsin35(2)1sinx4，x[,]22解：1xarcsin4变式：1sinx4，3x[,2]2解：3x[,2]2时，2π－x[0,]2，sin(2π－x)＝－sinx＝14∴2π－x＝arcsin14，则x＝2π－arcsin14点评：当x[,]22时，xarcsina；而当x[,]22，可以将角转化到区间[,]22上，再用诱导公式处理对应角之三角比值即可。练习：(1)3sinx2，x[,]22解：x3(2)3sinx3，x[0,]解：3xarcsin3或3xarcsin3(3)3sinx5，3x[,]22解：3xarcsin5----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2例4：求函数y2arcsin(52x)的定义域和值域。解：由152x1，则x[2,3]，arcsin(52x)[,]22，则y[,]。变式：ysinxarcsinx解：x[1,1]，y[sin1,sin1]22思考：当3x[,]44时，求函数yarcsin(cosx)的值域。解：当3x[,]44时2tcosx[,1]2，而yarcsint为增函数，则y[,]42。例5：求下列函数的反函数(1)ysinx，x[,]2解：y[0,1]，x[,0]2且sin(x)sinxy，则xarcsin(y)，则xarcsiny，则反函数是1f(x)arcsinx，x[0,1]。(2)yarcsinx，x[0,1]解：y[0,]2，xsiny，则反函数是1f(x)sinx，x[0,]2。[例6]求下列反三角函数的值：(1)3arccos2＝6(2)2arccos()2＝34（两种方法）(3)arccos0＋arctan1＝34(4)arctan(3)＝3(5)arcsin(－12)＋arccos(－12)＝2(6)5arctan(tan)6＝6[例7]用反三角函数值的形式表示下列各式中的x：(1)1cosx3，x[0,]解：1xarccos3变式：1cosx3，x[,2]解：1x2arccos3(2)tanx2,x(,)22解：xarctan(2)变式：3x(,)22解：xarctan2----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3[例8](1)已知arcsinxarcsin(1x)，求x的取值范围。解：由11xx1，得1x12。(2)arccosxarccos(1x)解：由1x1x1，得10x2。(3)arctanx3解：x3(4)arccosx3解：11x2[例9求y＝arcsinx＋arctanx的值域。解：∵－1≤x≤1∴－34≤y≤34——涉及和函数概念，反正弦、反正切函数单调性[例10]求下列各式的值：(1)2sin(arccos())3解：设2xarccos()3，则2cosx3且x[,]2，则7sinx3(2)2tan[arccos()]26解：2313(31)tan()2343213(3)213cos(arccos)25解：设3xarccos5，则3cosx5且x[0,]2，则2x1cosx4cos225(4)123sin[arctanarcsin]55解：设12arctan5，3arcsin5，则12tan5，4sin5且,(0,)2，则1231245333sin[arctanarcsin]sin()5513513565。思考：若求11arctanarctan23的值呢？解：1arctan2，1arctan2，则1tan2，1tan3且,(0,)2，∵tan()1，且(0,)，∴4。