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第1页（共28页）绝密★启用前重点高中提前招生模拟考试数学试卷（5）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一．选择题（共10小题，每题4分）1．如图所示，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴负半轴相交于A、B两点，Q（n，）是二次函数y=ax2+bx+c图象上一点，且AQ⊥BQ，则a的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣1D．﹣22．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．若以1为半径的圆在△ABC所在平面上运动，则这个圆与△ABC的三条边的公共点最多有（）A．2个B．3个C．4个D．5个3．已知函数y=x+1的图象为直线l，点P（2，1），则点P到直线l的距离为（）A．2B．1C．D．4．方程组的解的个数为（）A．1B．2C．3D．45．对于一个正整数n，若能找到正整数a，b使得n=a+b+ab，则称n为一个“好数”，例如：3=1+1+1×1，则3就是一个“好数”，那么从1到20这20个正整数中“好数”有（）A．8个B．10个C．12个D．13个第2页（共28页）6．如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（）A．B．C．D．7．一艘轮船从河的上游甲港顺流到达下游的丙港，然后调头逆流向上到达中游的乙港，共用了12小时．已知这条轮船的顺流速度是逆流速度的2倍，水流速度是每小时2千米，从甲港到乙港相距18千米，则甲、丙两港间的距离为（）A．44千米B．48千米C．30千米D．36千米8．如图，将△ABC沿DE折叠，使点A与BC边的中点F重合，下列结论中：①EF∥AB且EF=AB；②∠BAF=∠CAF；③S四边形ADFE=AF•DE；④∠BDF+∠FEC=2∠BAC，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．49．如图，△ABC是直角边长为2的等腰直角三角形，直角边AB是半圆O1的直径，半圆O2过C点且与半圆O1相切，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．10．若方程x2+x﹣1=0的二根为α、β，则α2+2β2+β的值为（）A．1B．4C．2D．0.5第3页（共28页）第Ⅱ卷（非选择题）请点击修改第Ⅱ卷的文字说明二．填空题（共10小题）11．如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1米的水泥管，两两相切地堆放在一起，则其最高点到地面的距离是．12．如图，A，B是直线l上的两点，且AB=2，两个半径相等的动圆分别与l相切于A，B点，C是这两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与线段AB所围成图形面积S的最大值是．13．a、b为实数，且满足ab+a+b﹣8=0，a2b+ab2﹣15=0，则（a﹣b）2=．14．在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点（x，y）称为整点，如果将二次函数y=﹣x2+6x﹣5的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色，则此红色区域内部及其边界上整点个数有个．15．三个（不一定各不相同）正整数的和等于100，将它们两两相减（大的减去小的）可得三个差数，则这三个差数的和的最大可能值为．16．一次函数y=x+m和y=nx﹣4都过点A（，），且与y轴分别交于B、C两点，则△ABC面积S=．17．如图，把一个转盘分成四等份，依次标上数字1、2、3、4．若连续自由转动转盘两次，指针指向的数字分别记作a、b作为点A的横、纵坐标，则点A（a，b）在函数y=2x的图象上的概率为．第4页（共28页）18．关于x的方程|x2﹣2x﹣3|=a有且仅有两个实数根，则实数a的取值范围是．19．若关于x的方程（1﹣m2）x2+2mx﹣1=0的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是．20．王老师家准备用边长相等的正四边形和正八边形的地面砖铺客厅，铺设图案如图所示．购买这两种正多边形地砖的数量之比约为．三．解答题（共15小题）21．按照某学者的理论，假设一个生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为．如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为h1和h2，则他对这两种交易的综合满意度为．现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和8元，设产品A、B的单价分别为mA元和mB元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h．（1）求h关于mA、mB的表达式；（2）设mA=3mB，求甲的综合满意度h的最大值（当a、b均为正数时，可以使用公式a+b≥2）．22．如图，已知圆O的圆心为O，半径为3，点M为圆O内的一个定点，OM=，AB、CD是圆O的两条相互垂直的弦，垂足为M．（1）当AB=4时，求四边形ADBC的面积；（2）当AB变化时，求四边形ADBC的面积的最大值．第5页（共28页）23．如图，正方形BCEF的中心为O，△CBO的外接圆上有一点A（A、O在BC同侧，A、C在BO异侧），且AB=2，AO=4．（1）求∠CAO的值；（2）求tan∠ACB的值；（3）求正方形BCEF的面积．24．已知AB为半圆O的直径，点P为直径AB上的任意一点．以点A为圆心，AP为半径作⊙A，⊙A与半圆O相交于点C；以点B为圆心，BP为半径作⊙B，⊙B与半圆O相交于点D，且线段CD的中点为M．求证：MP分别与⊙A和⊙B相切．25．某校研究性学习小组在研究有关反比例函及其图象性质的问题，时发现了三个重要结论．已知：A是反比例函数（k为非零常数）的图象上的一动点．（1）如图1过动点A作AM⊥x轴，AN⊥y轴，垂足分别为M、N，求证：矩形OMAN的面积是定值；（2）如图2，过动点A且与双曲线有唯一公共点A的直线l与x轴交于点C，y轴交于点D，求证：△OCD的面积是定值；第6页（共28页）（3）如图3，若过动点A的直线与双曲线交于另一点B，与x轴交于点C，与y轴交于点D．求证：AD=BC．（任选一种证明）26．已知，关于x的一元二次方程x2﹣（a﹣4）x﹣a+3=0（a＜0）．（1）求证：方程一定有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2），若y是关于a的函数，且y=，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，利用函数图象，求关于a的方程y+a+1=0的解．第7页（共28页）重点高中提前招生模拟考试数学试卷（5）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图所示，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴负半轴相交于A、B两点，Q（n，）是二次函数y=ax2+bx+c图象上一点，且AQ⊥BQ，则a的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣1D．﹣2【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有【分析】由勾股定理，及根与系数的关系可得．【解答】解：过点Q作QC⊥AB于点C，∵AQ⊥BQ∴AC2+QC2+CB2+QC2=AB2，设ax2+bx+c=0的两根分别为x1与x2，依题意有（x1﹣n）2++（x2﹣n）2+=（x1﹣x2）2，化简得：n2﹣n（x1+x2）++x1x2=0．有n2+n++=0，∴an2+bn+c=﹣a．∵（n，）是图象上的一点，∴an2+bn+c=，∴﹣a=，∴a=﹣2．故选：D．第8页（共28页）【点评】本题是一道二次函数的综合试题，考查了二次函数的性质和图象，解题的关键是注意数形结合思想．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．若以1为半径的圆在△ABC所在平面上运动，则这个圆与△ABC的三条边的公共点最多有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【考点】MB：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有【分析】根据已知画出正确图形，进而得出圆与△ABC的三条边的公共点的个数．【解答】解：如图所示：以1为半径的圆在△ABC所在平面上运动，则这个圆与△ABC的三条边的公共点最多有4个，故选：C．【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系，能够根据已知画出正确图形是解题关键．3．已知函数y=x+1的图象为直线l，点P（2，1），则点P到直线l的距离为（）A．2B．1C．D．【考点】FI：一次函数综合题．菁优网版权所有【分析】利用点到直线的距离公式即可求解．【解答】解：y=x+1即x﹣y+1=0则点P到直线的距离是：=．第9页（共28页）故选：C．【点评】本题考查了点到直线的距离公式，正确记忆公式是关键．4．方程组的解的个数为（）A．1B．2C．3D．4【考点】15：绝对值；98：解二元一次方程组．菁优网版权所有【分析】由于x、y的符号不确定，因此本题要分情况讨论．【解答】解：当x≥0，y≤0时，原方程组可化为：，解得；由于y≤0，所以此种情况不成立．当x≤0，y≥0时，原方程组可化为：，解得．当x≥0，y≥0时，，无解；当x≤0，y≤0时，，无解；因此原方程组的解为：．故选：A．【点评】在解含有绝对值的二元一次方程组时，要分类讨论，不可漏解．5．对于一个正整数n，若能找到正整数a，b使得n=a+b+ab，则称n为一个“好数”，例如：3=1+1+1×1，则3就是一个“好数”，那么从1到20这20个正整数中“好数”有（）A．8个B．10个C．12个D．13个【考点】#B：整数问题的综合运用．菁优网版权所有【分析】由n=a+b+ab，可变形为n+1=（a+1）（b+1），所以，只要n+1是合数，n就是好数．【解答】解：由n=a+b+ab，得，n+1=（a+1）（b+1），所以，只要n+1是合数，n就是好数，20以内的好数有：3、5、7、8、9、11、13、14、15、17、19、20；第10页（共28页）故选：C．【点评】本题考查了整数问题，由原式变形，可得出n+1数的性质，利用n与n+1的关系，可解答本题．6．如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（）A．B．C．D．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有【分析】结合空间思维，分析折叠的过程及打孔的位置，易知展开的形状．【解答】解：当正方形纸片两次沿对角线对折成为一直角三角形时，在平行于斜边的位置上打3个洞，则直角顶点处完好，即原正方形中间无损，且有12个洞．故选：D．【点评】本题主要考查学生抽象思维能力，错误的主要原因是空间观念以及转化的能力不强，缺乏逻辑推理能力，需要在平时生活中多加培养．7．一艘轮船从河的上游甲港顺流到达下游的丙港，然后调头逆流向上到达中游的乙港，共用了12小时．已知这条轮船的顺流速度是逆流速度的2倍，水流速度是每小时2千米，从甲港到乙港相距18千米，则甲、丙两港间的距离为（）A．44千米B．48千米C．30千米D．36千米【考点】8A：一元一次方程的应用．菁优网版权所有【分析】设船在静水中的速度为x千米/小时，则可得出x+2=2（x﹣2）从而得出船在静水中的速度，然后设甲乙两地相距y千米，根据来回公用12小时可得出方程，解出即可．【解答】解：设船在静水中的速度为x千米/小时，由题意得：x+2=2（x﹣2），解得：x=6千米/小时；则可得顺流时的速度为8千米/小时，逆流时的速度为4第11页（共28页）千米/小时，设乙两地相距y千米，则+=12，解得：y=26，y+18=44，即甲、丙两港间的距离为44千米．故选：A．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，属于航行问题，根据题意求出船在静水中的速度是解答本题的关键，另外要掌握船航行时间的表示方法．8．如图，将△ABC沿DE折叠，使点A与BC边的中点F重合，下列结论中：①EF∥AB且EF=AB；②∠BAF=∠CAF；③S四边形ADFE=AF•DE；④∠BDF+∠FEC=2∠BAC，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有【分析】根据对折的性质可得AE=EF，∠DAF=∠DFA，∠EAF=∠AFE，∠BAC=∠DFE，据此和已知条件判断图中的相等关系．【解答】解：①由题意得AE=EF，BF=FC，但并不能说明AE=EC，∴不能说明EF是△ABC的中位线，故①错；②题中没有说AB=AC，那么中线AF也就不