2019年北京市海淀区高考二模数学理科试卷含答案

1海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理科）2019.5本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合15Axx，36Bxx，则AB(A)[1,3](B)[3,5](C)[5,6](D)[1,6]（2）复数()zaiiR的实部是虚部的2倍，则a的值为(A)12(B)12(C)-2(D)2（3）若直线l：12xtyat(t为参数)经过坐标原点，则直线l的斜率(A)-2(B)-1(C)1(D)2（4）在5(2)x的展开式中，2x的系数是(A)-80(B)-10(C)5(D)40（5）把函数2xy的图象向右平移t个单位长度，所得图象对应的函数解析式为23xy，则t的值为(A)12(B)2log3(C)3log2(D)3（6）学号分别为1，2，3，4的4位同学排成一排，若学号相邻的同学不相邻，则不同的排法种数为(A)2(B)4(C)6(D)8（7）已知函数()sin(0)fxx，则“函数()fx的图象经过点（4，1）”是“函数()fx的图象经过点（,02）”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件（8）如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，点P是对角线1AC上的动点（点P与A，1C不重合）．则下面结论中错误的是(A)存在点P，使得平面1ADP∥平面11BCD(B)存在点P，使得1AC平面1ADP(C)12,SS分别是△1ADP在平面1111ABCD，平面11BBCC上的正投影图形的面积，对任意点P，12SS(D)对任意点P，△1ADP的面积都不等于262第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）已知直线1:10lxy与2:30lxay平行，则a，1l与2l之间的距离为_________．（10）已知函数2()()()fxxtxt是偶函数，则t．（11）若数列na的前n项和28nSnn，1,2,3,...n，则满足0na的n的最小值为．（12）已知圆22:(1)4Cxy与曲线1yx相交于,MN两点，则线段MN的长度为．（13）在矩形ABCD中，2,1ABBC，点E为BC的中点，点F在线段DC上．若AEAFAP，且点P在直线AC上，则AEAF．（14）已知集合001Axx.给定一个函数()yfx，定义集合1(),nnAyyfxxA若1nnAA对任意的*nN成立，则称该函数()yfx具有性质“”（I）具有性质“”的一个一次函数的解析式可以是；（Ⅱ）给出下列函数：①1yx；②21yx；③cos()22yx，其中具有性“”的函数的序号是____________．（写出所有正确答案的序号）三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．（15）（本小题满分13分）在ABC中，7a，8b，3A．（I）求sinB的值；（Ⅱ）若ABC是钝角三角形，求BC边上的高．3（16）（本小题满分13分）某快餐连锁店招聘外卖骑手，该快餐连锁店提供了两种日工资方案：方案(1)规定每日底薪50元，快递业务每完成一单提成3元；方案(2)规定每日底薪100元，快递业务的前44单没有提成，从第45单开始，每完成一单提成5元，该快餐连锁店记录了每天骑手的人均业务量，现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[25，35），[35，45)，[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95]七组，整理得到如图所示的频率分布直方图。（I）随机选取一天，估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率；（Ⅱ）从以往统计数据看，新聘骑手选择日工资方案(1)的概率为13，选择方案(2)的概率为23．若甲、乙、丙三名骑手分别到该快餐连锁店应聘，三人选择日工资方案相互独立，求至少有两名骑手选择方案(1)的概率；（Ⅲ）若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由．（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）（17）（本小题满分14分）如图1所示，在等腰梯形ABCD，BC∥AD，CEAD，垂足为E，33ADBC，1EC.将DEC沿EC折起到1DEC的位置，使平面1DEC平面ABCE，如图2所示，点G为棱1AD上一个动点。（I）当点G为棱1AD中点时，求证：BG∥平面1DEC；（Ⅱ）求证：AB平面1DBE；（Ⅲ）是否存在点G，使得二面角1GBED的余弦值为63？若存在，求出AG的长；若不存在，请说明理由．4（18）（本小题满分13分）已知椭圆222:14xyCb的左顶点A与上顶点B的距离为6．（I）求椭圆C的方程和焦点的坐标；（Ⅱ）点P在椭圆C上，线段AP的垂直平分线与y轴相交于点Q，若PAQ为等边三角形，求点P的横坐标．（19）（本小题满分14分）已知函数22()()axafxexa，其中0a．（I）求曲线()yfx在点(1,(1))f处切线的倾斜角；（Ⅱ）若函数()fx的极小值小于0，求实数a的取值范围．（20）（本小题满分13分）对于给定的奇数．．m(3)m，设A是由mm个数组成的m行m列的数表，数表中第i行，第j列的数0,1ija，记()ci为A的第i行所有数之和，()rj为A的第j列所有数之和，其中,1,2,...,ijm.对于,1,2,...,ijm，若()2ijmmaci且()2ijmmarj同时成立，则称数对(,)ij为数表A的一个“好位置”（I）直接写出右面所给的33数表A的所有的“好位置”；（Ⅱ）当5m时，若对任意的15i都有()3ci成立，求数表A中的“好位置”个数的最小值；（Ⅲ）求证：数表A中的“好位置”个数的最小值为22m．5海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案数学（理科）2019.05一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.B2.D3.D4.A5.B6.A7.A8.C二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.1,210.0,111.512.2213.5214.1yx（答案不唯一），①②三、解答题:本大题共6小题，共80分.（15）（共13分）解：（Ⅰ）在ABC△中，因为7a，8b，3A，所以由正弦定理sinsinBAba得sin8343sin727bABa.（Ⅱ）方法1：由余弦定理2222cosabcbcA得214964282cc即28150cc，解得5c或3c因为,babc，所以B为ABC△中最大的角，当5c时，222cos02acbBac，与ABC△为钝角三角形矛盾，舍掉当3c时，222cos02acbBac，ABC△为钝角三角形，所以3c设BC边上的高为h，所以sinhcB1237方法2：因为ba，所以π3BA，所以π3C，所以B为ABC△中最大的角因为ABC△为钝角三角形，所以B为钝角因为43sin7B，所以1cos7B所以sinsin()CABsincoscossinABAB63314设BC边上的高为h，所以123sin7hbC16.（共13分）解：(Ⅰ)设事件A为“随机选取一天，这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单”依题意，连锁店的人均日快递业务量不少于65单的频率分别为：0.20.150.05，，因为0.20.150.050.4所以()PA估计为0.4.(Ⅱ)设事件B为“甲、乙、丙三名骑手中至少有两名骑手选择方案（1）”设事件iC为“甲乙丙三名骑手中恰有(0,1,2,3)ii人选择方案（1）”，则23()()()PBPCPC2213333121617()()()333272727CC所以三名骑手中至少有两名骑手选择方案（1）的概率为727（Ⅲ）方法1：设骑手每日完成快递业务量为X件方案（1）的日工资*1503()YXXN，方案（2）的日工资*2*100,44,1005(44),44,XXYXXXNN所以随机变量1Y的分布列为所以11400.051700.052000.22300.3EY2600.22900.153200.05236同理随机变量2Y的分布列为1Y100130180230280330P0.10.20.30.20.150.0521000.11300.21800.32300.22800.153300.05EY194.51Y140170200230260290320P0.050.050.20.30.20.150.057因为12EYEY，所以建议骑手应选择方案（1）方法2：快餐店人均日快递量的期望是：300.05400.05500.2600.3700.2800.15900.0562因此，方案（1）日工资约为50623236方案2日工资约为10062445190236故骑手应选择方案（1）17.（共14分）解：(Ⅰ)方法1：在图1的等腰梯形ABCD内，过B作AE的垂线，垂足为F，因为CEAD，所以BFEC又因为BCAD，1BCCE，=3AD所以四边形BCEF为正方形，1AFFEED，F为AE中点在图2中，连结GF因为点G是1AD的中点，所以1GFDE又因为BFEC，GFBFF，GFBF，平面BFG，1,DEEC平面1DEC，所以平面BFG平面1CED又因为BGGFB面，所以BG平面1DEC方法2：在图1的等腰梯形ABCD内，过B作AE的垂线，垂足为F因为CEAD，所以BFEC又因为BCAD，1BCCE，=3AD所以四边形BCEF为正方形，F为AE中点在图2中，连结GF因为点G是1AD的中点，所以1GFDE又1DE平面1DEC，GF平面1DEC所以GF平面1DEC又因为BFEC，EC平面1DEC，BF平面1DEC所以BF平面1DEC又因为GFBFF所以平面BFG平面1DEC又因为BGGFB面，所以BG平面1DEC8方法3：在图1的等腰梯形ABCD内，过B作AE的垂线，垂足为F，因为CEAD，所以BFEC又因为BCAD，1BCCE，=3AD所以四边形BCEF为正方形，1AFFEED，得2AE所以1=2BCAEBCAE，在图2中设点M为线段1DE的中点，连结,MGMC，因为点G是1AD的中点，所以1=2GMAEGMAE，所以=GMBCGMBC，，所以四边形MGBC为平行四边形所以BGCM又因为CM平面1DEC，BG平面1DEC所以BG平面1DEC（Ⅱ）因为平面1DEC平面ABCE，平面1DEC平面ABCEEC,1,DEEC1DE平面1DEC，所以1DE平面ABCE又因为AB平面ABCE所以1DEAB又2,2,2ABBEAE，满足222AEABBE，所以BEAB又1BEDEE所以AB平面1DEB（Ⅲ）因为1,,EAECED三线两两垂直，如图，建立空间直角坐标系1EACD,所以(2,0,0)A，1(0,0,1)D，(1,1,0)B，1(2,0,1),(1,1,0)ADEB.假设存在点G满足题意，设1,01AGAD，则(2,0,1)AG，所以(2,0,0)(2,0,1)(22,0,)EGEAAG设平面GBE的法向量为(,,)abcm，所以00EBEGmm，即0(22)0abacABCD1E9取a，则