2018-2019北京市西城区一模数学理科试题及答案

数学（理科）第1页（共13页）北京市西城区高三统一测试数学（理科）2019.4第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集UR，集合{|02}Axx，{3,1,1,3}B，则集合()UABð（A）{3,1}（B）{3,1,3}（C）{1,3}（D）{1,1}2．若复数1i2iz，则在复平面内z对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限3.执行如图所示的程序框图，则输出的k值为（A）4（B）5（C）7（D）94．下列直线中，与曲线C：12,()24xttyt为参数没有公共点的是（A）20xy（B）240xy（C）20xy（D）240xy输出开始否结束是数学（理科）第2页（共13页）5.设,,abm均为正数，则“ba”是“amabmb”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件6．如图，阴影表示的平面区域W是由曲线0xy，222xy所围成的.若点(,)Pxy在W内（含边界），则43zxy的最大值和最小值分别为（A）52，7（B）52，52（C）7，52（D）7，77.团体购买公园门票，票价如下表：购票人数1~5051~100100以上门票价格13元/人11元/人9元/人现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数之差为（A）20（B）30（C）35（D）408.如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线422xy围成的平面区域的直径为（A）432（B）3（C）22（D）4xOyW数学（理科）第3页（共13页）第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9.在等比数列{}na中，21a，58a，则数列{}na的前n项和nS____．10．设1F，2F为双曲线22221(0,0)xyCabab：的两个焦点，若双曲线C的两个顶点恰好将线段12FF三等分，则双曲线C的离心率为____．11．函数()sin2cos2fxxx的最小正周期T____；如果对于任意的xR都有()fxa≤，那么实数a的取值范围是____．12．某四棱锥的三视图如图所示，那么此四棱锥的体积为____．13.能说明“若sincos，则36090k，其中kZ”为假命题的一组，的值是___．14．如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别为a，b，c.例如，图中上档的数字和9a.若a，b，c成等差数列，则不同的分珠计数法有____种.侧(左)视图正(主)视图俯视图221数学（理科）第4页（共13页）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在△ABC中，已知222acbmac，其中mR.（Ⅰ）判断m能否等于3，并说明理由；（Ⅱ）若1m，27b，4c，求sinA．16．（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF中，梯形ADEF与平行四边形ABCD所在平面互相垂直，//AFDE，DEAD，ADBE，112AFADDE，2AB.（Ⅰ）求证：//BF平面CDE；（Ⅱ）求二面角BEFD的余弦值；（Ⅲ）判断线段BE上是否存在点Q，使得平面CDQ平面BEF？若存在，求出BQBE的值，若不存在，说明理由．17．（本小题满分13分）为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动.活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a表示.（Ⅰ）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值，求图中a的所有可能取值；（Ⅱ）将甲、乙两组中阅读量超过．．15本的学生称为“阅读达人”.设3a，现从所有“阅读达人”里任取3人，求其中乙组的人数X的分布列和数学期望.（Ⅲ）记甲组阅读量的方差为20s.在甲组中增加一名学生A得到新的甲组，若A的阅读量为10，则记新甲组阅读量的方差为21s；若A的阅读量为20，则记新甲组阅读量的方差为22s，试比较20s，21s，22s的大小.（结论不要求证明）乙1207221012366a862101244甲DABCEF数学（理科）第5页（共13页）18．（本小题满分13分）设函数2()e3xfxmx，其中mR．（Ⅰ）当()fx为偶函数时，求函数()()hxxfx的极值；（Ⅱ）若函数()fx在区间[2,4]上有两个零点，求m的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆W:2214xymm的长轴长为4，左、右顶点分别为,AB，经过点(,0)Pn的直线与椭圆W相交于不同的两点,CD（不与点,AB重合）.（Ⅰ）当0n，且直线CDx轴时，求四边形ACBD的面积；（Ⅱ）设1n，直线CB与直线4x相交于点M，求证：,,ADM三点共线.20．（本小题满分13分）如图，设A是由nn(2)n≥个实数组成的n行n列的数表，其中ija(,1,2,,)ijn表示位于第i行第j列的实数，且{1,1}ija.11a12a1na21a22a2na1na2nanna定义1122stststsntnpaaaaaa(,1,2,,)stn为第s行与第t行的积.若对于任意,st（st¹），都有0stp，则称数表A为完美数表.（Ⅰ）当2n时，试写出一个符合条件的完美数表；（Ⅱ）证明：不存在10行10列的完美数表；（Ⅲ）设A为n行n列的完美数表，且对于任意的1,2,,ilL和1,2,,jkL，都有1ija，证明：kln≤.数学（理科）第6页（共13页）北京市西城区高三统一测试数学（理科）参考答案及评分标准2019.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B2．D3．D4．C5．C6．A7．B8．B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1122n10．311．π；2a≥12．4313．答案不唯一，如110，2014．32注：第11题第一问3分，第二问2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当3m时，由题可知2223acbac，由余弦定理2222cosbacacB，………………3分得2223cos22acbBac．………………4分这与cos[1,1]B矛盾，所以m不可能等于3.………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ），得1cos22mB，所以2π3B.………………7分因为27b，4c，222acbac，所以216284aa，解得6a（舍）或2a.………………9分数学（理科）第7页（共13页）在△ABC中，由正弦定理sinsinabAB，………………11分得sin2321sin21427aBAb.………………13分16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由底面ABCD为平行四边形，知//ABCD，又因为AB平面CDE，CD平面CDE，所以//AB平面CDE.………………2分同理//AF平面CDE，又因为ABAFA，所以平面//ABF平面CDE.………………3分又因为BF平面ABF，所以//BF平面CDE.………………4分（Ⅱ）连接BD,因为平面ADEF平面ABCD，平面ADEF平面ABCDAD，DEAD，所以DE平面ABCD.则DEDB.又因为DEAD，ADBE，DEBEE，所以AD平面BDE，则ADBD.故,,DADBDE两两垂直，所以以,,DADBDE所在的直线分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系，………………6分则(0,0,0)D，(1,0,0)A，(0,1,0)B，(1,1,0)C，(0,0,2)E，(1,0,1)F，所以(0,1,2)BE,(1,0,1)EF，(0,1,0)n为平面DEF的一个法向量.设平面BEF的一个法向量为(,,)xyzm，由0BEm，0EFm，得20,0,yzxz令1z，得(1,2,1)m.………………8分DABCEyxzF数学（理科）第8页（共13页）所以6cos,||||3mnmnmn.如图可得二面角BEFD为锐角，所以二面角BEFD的余弦值为63.………………10分（Ⅲ）结论：线段BE上存在点Q，使得平面CDQ平面BEF.………………11分证明如下：设(0,,2)([0,1])BQBE，所以(0,1,2)DQDBBQ.设平面CDQ的法向量为(,,)abcu，又因为(1,1,0)DC，所以0DQu，0DCu，即(1)20,0,bcab………………12分若平面CDQ平面BEF，则0mu，即20abc，………………13分解得1[0,1]7.所以线段BE上存在点Q，使得平面CDQ平面BEF，且此时17BQBE.……14分17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）甲组10名学生阅读量的平均值为12681011121217211010，乙组10名学生阅读量的平均值为124412131616(10)20981010aa.………………2分由题意，得981010a，即2a.………………3分故图中a的取值为0或1.………………4分（Ⅱ）由图可知，甲组“阅读达人”有2人，乙组“阅读达人”有3人.由题意，随机变量X的所有可能取值为：1，2，3.………………5数学（理科）第9页（共13页）分且212335CC3(1)C10PX，122335CC3(2)C5PX，3335C1(3)C10PX.……8分所以随机变量的分布列为：12331035110………………9分所以3319()123105105EX.………………10分（Ⅲ）222102sss.………………13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由函数()fx是偶函数，得()()fxfx，即22e()3e3xxmxmx对于任意实数x都成立，所以0m.………………2分此时3()()3hxxfxxx，则2()33hxx.由()0hx，解得1x.………………3分当x变化时，()hx与()hx的变化情况如下表所示：x(,1)1(1,1)1(1,)()hx00()hx↘极小值↗极大值↘所以()hx在(,1)，(1,)上单调递减，在(1,1)上单调递增.……………5分所以()hx有极小值(1)2h，()hx有极大值(1)2h.………………6分（Ⅱ）由2()e30xfxmx，得23exxm.所以“()fx在区间[2,4]上有两个零点”等价于“直线ym与曲线23()exxgx，[2,4]x有且只有两个公共点”.………………8分XXP数学（理科）第10页（共13页）对函数()gx求导，得223()exxxgx.………………9分由()0gx，解得11x，23x.………………10分当x变化时，()gx与()gx的变化情况如下表所示：x(2,1)1(1,3)3(3,4)()gx00()gx↘极小值↗极大值↘所以()gx在(2,1)，(