2019年北京朝阳高考一模数学试卷(理)及答案

1北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学（理）2019．3本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|1}Axx，集合2{|4}Bxx，则ABA．{|2}xxB．{|12}xxC．{|12}xxD．R2．在复平面内，复数12iiz对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．41()xx的展开式中的常数项为A．12B．6C．6D．124．若函数22,1,()log,1xxfxxx,则函数()fx的值域是A．(,2)B．(,2]C．[0,)D．(,0)(0,2)5．如图，函数()fx的图象是由正弦曲线或余弦曲线经过变换得到的，则()fx的解析式可以是A．()sin(2)3fxxB．()sin(4)6fxxC．()cos(2)3fxxD．()cos(4)6fxx6．记不等式组0,3,yyxykx所表示的平面区域为D．“点(1,1)D”是“1k”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该三棱锥的体积为A．4B．2C．83D．43正（主）视图俯视图侧（左）视图1211O3xy71228．某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是A．5B．6C．7D．8第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．双曲线2214xy的右焦点到其一条渐近线的距离是．10．执行如图所示的程序框图，则输出的x值为．11．在极坐标系中，直线cos1与圆4cos相交于,AB两点，则AB___．12．能说明“函数()fx的图象在区间0,2上是一条连续不断的曲线．若(0)(2)0ff，则()fx在(0,2)内无零点”为假命题的一个函数是．13．天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所．天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是______；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是．图1图2结束是否开始输出xxx=2,n=1x222x2nn=n+1314．在平面内，点A是定点，动点CB,满足||||1ABAC，0ABAC，则集合{=+,12}|PAPABAC所表示的区域的面积是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）在ABC△中，21a，120A，ABC△的面积等于3，且bc．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求cos2B的值．16．（本小题满分13分）某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）．将统计数据按[5,10),[10,15),[15,20),,[35,40]分组，制成频率分布直方图：乘车等待时间（分钟）0.036乙站O400.0480.0080.0160.052O405101520253035频率/组距0.0480.0120.0280.0360.0120.040甲站频率/组距乘车等待时间（分钟）3530252015105假设乘客乘车等待时间相互独立．（Ⅰ）在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取1人，记为A；从乙站的乘客中随机抽取1人，记为B.用频率估计概率，求“乘客A,B乘车等待时间都小于20分钟”的概率；（Ⅱ）从上班高峰时段,从乙站乘车的乘客中随机抽取3人，X表示乘车等待时间小于20分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量X的分布列与数学期望.17．（本小题满分14分）4如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF平面ABCD．四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且//ADBC，90BAD，1ABAD，3BC．（Ⅰ）求证：AFCD；（Ⅱ）求直线BF与平面CDE所成角的正弦值；（Ⅲ）线段BD上是否存在点M，使得直线//CE平面AFM?若存在，求BMBD的值；若不存在，请说明理由．18．（本小题满分13分）EDCBAF5已知函数ln()()axfxx(Ra且0)a.（Ⅰ）当1a时，求曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程；（Ⅱ）当1a时，求证：()1fxx；（Ⅲ）讨论函数()fx的极值．19．（本小题满分14分）6已知点00(,)Mxy为椭圆22:12xCy上任意一点，直线00:22lxxyy与圆22(1)6xy交于,AB两点，点F为椭圆C的左焦点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率及左焦点F的坐标；（Ⅱ）求证：直线l与椭圆C相切；（Ⅲ）判断AFB是否为定值，并说明理由．20．（本小题满分13分）在无穷数列{}na中，12,aa是给定的正整数，21nnnaaa，Nn*．（Ⅰ）若123,1aa，写出910100,,aaa的值；（Ⅱ）证明：数列{}na中存在值为0的项；（Ⅲ）证明：若12,aa互质，则数列{}na中必有无穷多项为1．北京市朝阳区高三年级第一次综合练习7数学（理）答案2019．3一、选择题：（本题满分40分）题号12345678答案BDCAACDB二、填空题：（本题满分30分）题号91011121314答案112232(1)yx（答案不唯一）24334023三、解答题：（本题满分80分）15．(本小题满分13分)解：（Ⅰ）由已知得2221=sin=3,2(21)=2cos120.SbcAbcbc整理得22=4,=17.bcbc解得=1,=4bc，或=4,=1.bc因为bc，所以1b．………………………………………………….8分（Ⅱ）由正弦定理sinsinabAB，即372sin=1421B．所以22713cos2=12sin12()1414BB……………………………….13分16．(本小题满分13分)解：（Ⅰ）设M表示事件“乘客A乘车等待时间小于20分钟”，N表示事件“乘客B乘车等待时间小于20分钟”，C表示事件“乘客A,B乘车等待时间都小于20分钟”．由题意知，乘客A乘车等待时间小于20分钟的频率为0.0120.0400.048)50.5(，故()PM的估计值为0.5．8乘客B乘车等待时间小于20分钟的频率为0.0160.0280.036)50.4(，故()PN的估计值为0.4．又121()()()()255PCPMNPMPN=.故事件C的概率为15．………………………………………………………….6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，乙站乘客乘车等待时间小于20分钟的频率为0.4，所以乙站乘客乘车等待时间小于20分钟的概率为25.显然，X的可能取值为0,1,2,3且2(3,)5~XB.所以033327(0)()5125PXC；1232354(1)()55125PXC；2232336(2)()55125PXC；33328(3)()5125PXC.故随机变量X的分布列为X0123P271255412536125812526355EX.……………….13分17．(本小题满分14分)解：（Ⅰ）证明：因为ADEF为正方形，所以AFAD．又因为平面ADEF平面ABCD，且平面ADEF平面ABCDAD，所以AF平面ABCD．所以AFCD．………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，AF平面ABCD，所以AFAD，AFAB．因为90BAD，所以,,ABADAF两两垂直．分别以,,ABADAF为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图）．因为1ABAD，3BC，所以(0,0,0),(1,0,0),(1,3,0),(0,1,0),(0,1,1),(0,0,1)ABCDEF，所以(1,0,1),(1,2,0),(0,0,1)BFDCDE．设平面CDE的一个法向量为(,,)xyzn，zDAyEDBAFM9则0,0.DCDEnn即20,0.xyz令2x，则1y，所以(2,1,0)n．设直线BF与平面CDE所成角为，则|2(1)|10sin|cos,|552BFn．……………….9分（Ⅲ）设([0,1])BMBD，设111,,Mxyz，则1111,,(1,1,0)xyz，所以1111,,0xyz，所以1,,0M，所以1,,0AM．设平面AFM的一个法向量为000(,,)xyzm，则0,0.AMAFmm因为0,0,1AF，所以000(1)0,0.xyz令0x，则01y，所以(,1,0)m．在线段BD上存在点M，使得//CE平面AFM等价于存在[0,1]，使得0CEm．因为1,2,1CE，由0CEm，所以2(1)0，解得2[0,1]3，所以线段BD上存在点M，使得//CE平面AFM，且23BMBD．……………….14分18．(本小题满分13分)解：（Ⅰ）当1a时，ln()xfxx．所以21ln()xfxx．因为(1)1,(1)0ff，所以曲线()yfx在(1,(1))f处的切线方程为1yx．……………….3分（Ⅱ）当1a时，ln()()xfxx．函数()fx的定义域为(,0)．10不等式()1fxx成立ln()1xxx成立2ln()0xxx成立.设2()ln()gxxxx((,0))x，则2121(21)(1)()21xxxxgxxxxx．当x变化时，()gx，()gx变化情况如下表：x(,1)1(1,0)()gx＋0－()gx↗极大值↘所以()(1)gxg．因为(1)0g，所以()0gx，所以ln()1xxx．………………………………………………………………….8分（Ⅲ）求导得21ln()()axfxx.令()0fx，因为0a可得exa．当0a时，()fx的定义域为0,+.当x变化时，()fx，()fx变化情况如下表：xe(0,)aeae(,)a()fx＋0－()fx↗极大值↘此时()fx有极大值e()eafa，无极小值．当0a时，()fx的定义域为,0，当x变化时，()fx，()fx变化情况如下表：xe(,)aeae(,0)a()fx－0＋11()fx↘极小值↗此时()fx有极小值e()eafa，无极大值．……………………………………………….13分19．(本小题满分14分)解：（Ⅰ）由题意2a，1b，221cab所以离心率22cea，左焦点(1,0)F．………………………………………….4分（Ⅱ）当00y时直线l方程为2x或2x，直线l与椭圆C相切．当00y时，由22001,222xyxxyy得22220000(2)4440yxxxxy，由题知，220012xy，即220022xy，所以22220000(4