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高等数学（上）定义、定理及一些重要结论归纳（按照同济第六版上册第一章到第六章，不含第七章微分方程，定理证明从略）第一章函数与极限（1111）（数列极限的定义）{}{}{}lim,()nnnnnnnxaNnNxaaxxaxaxanεε→∞−=→→∞设为一数列，如果存在常数，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，不等式都成立，那么就称常数是数列的极限，或者称数列收敛于，记为或（2222）（数列极限的唯一性）{}nx如果数列收敛，那么它的极限唯一.（3333）（收敛数列的有界性）{}{}nnxx如果数列收敛，那么数列一定有界。（4444）（收敛数列的保号性）nlim,0(0),0,,0(0).nnnxaaaNnNxx→∞=如果且或那么存在正整数当时都有或（5555）（收敛数列保号性的推论）{}00lim,0(0).nnnnnxxxxaaa→∞≥≤=≥≤如果数列从某项起有（或）,且那么或（6666）（收敛数列与其子数列间的关系）{},.nxaa如果数列收敛于那么它的任一子数列也收敛，且极限也是（7777）（自变量趋于有限值时函数极限的定义）00000(),0,0()(),()lim()()()xxfxxAxxxfxfxAAfxxxfxAfxAxxεδδε→−−→=→→设函数在点的某一去心邻域内有定义.如果存在常数对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在使得当满足不等式时，对应的函数值都满足不等式那么常数就叫做函数当时的极限，记作或当（8888）（函数极限存在的条件）000()()().fxxxfxfx−+→=函数当时极限存在的充分必要条件是左极限及右极限各自存在并且相等，即（9999）（自变量趋于无穷大时函数极限的定义）().,,()(),()lim()()().xfxxAXxxXfxfxAAfxxfxAfxAxεε→∞−→∞=→→∞设函数当大于某一正数时有定义如果存在常数对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数使得当满足不等式时，对应的函数值都满足不等式那么常数就叫做函数当时的极限，记作或当（10101010）（函数极限的唯一性）0lim().xxfx→如果存在，那么这极限唯一（11111111）（函数极限的局部有界性）00lim(),00,0().xxfxAMxxfxMδδ→=−如果那么存在常数和使得当时，有（12121212）（函数极限的局部保号性1111）00lim(),0(0)00()0(()0).xxfxAAAxxfxfxδδ→=−如果且或，那么存在常数，使得当时，有或（13131313）（函数极限局部的保号性2222）0000lim()(0),().2xxfxAAxUxxUxAfx→=≠∈��如果那么就存在着的某一去心邻域()，当()时，就有（14141414）（函数极限局部保号性的推论）00()0(()0),lim(),0(0).xxxfxfxfxAAA→≥≤=≥≤如果在的某一去心邻域内或而且那么或（15151515）（函数极限与数列极限的关系）{}{}0000lim(),(),(),()lim()lim().nnxxnnnxxfxxfxxxxnNfxfxfx→+→∞→≠∈=如果极限存在为函数的定义域内任一收敛于的数列且满足：那么相应的函数值数列必收敛，且（16*16*16*16*）（HeineHeineHeineHeine归并定理）{}000lim(),()(),lim().nnnxxnnfxxxxnxxnNfx→+→∞→→∞≠∈极限存在的充分必要条件是：对任何数列满足且有存在（17171717）（无穷小的定义）00()()lim()0,()().xxxfxfxfxxxx→→∞=→→∞如果函数的极限那么称函数为当或时的无穷小（18181818）（无穷小与函数极限的关系）00()()lim()(),.xxxxxxfxAfxAαα→→∞→→∞==+在自变量的同一变化过程或中，函数的充分必要条件是其中是无穷小（19191919）（无穷大的定义）000()0(),0(0),0()(),()().fxxxMXxxxXfxMfxxxxδδ∀∃∃−→→∞设函数在的某一去心邻域内有定义（或大于某一正数时有定义）.如果对于不论它有多大或使得当或时，总有成立则称函数为当或是的无穷大（20202020）（无穷大与无穷小之间的关系）1,(),;()()1()0,.()fxfxfxfxfx≠在自变量的同一变化过程中如果为无穷大则为无穷小反之，如果为无穷小，且则为无穷大����以下为一些极限运算法则的相关定理（21212121）.有限个无穷小的和也是无穷小（22222222）.有界函数与无穷小的乘积是无穷小（23232323）.常数与无穷小的乘积是无穷小（24242424）.有限个无穷小的乘积也是无穷小（25252525）（函数极限运算法则）[]lim(),lim(),(1)lim()()lim()lim();(2)lim[()()]lim()lim();lim()()(3)0,lim.()lim()xxxxxxxxxxxfxAgxBfxgxfxgxABfxgxfxgxABfxfxABgxgxB→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞==±=±=±⋅=⋅=⋅≠==如果那么若有则（26262626）（数列极限运算法则）{}{}n.lim,lim,1lim();(2)lim;(3)0(),0,lim.nnnnnnnnnnnnnxyABxyABxyABxAynNByB→∞→∞→∞→∞+→∞==±=±⋅=⋅≠∈≠=设有数列和如果那么（）当且时（27272727）[]lim(),,lim()lim().xxxfxccfxcfx→∞→∞→∞=如果存在而为常数则（28282828）[]lim(),lim()lim().nnxxxfxnNfxfx+→∞→∞→∞⎡⎤∈=⎣⎦如果存在,而则（29292929）()(),lim(),lim(),.xxxxxaxbabϕψϕψ→∞→∞≥==≥如果而那么（30303030）（复合函数的极限运算法则）0000000000[()]()()[()]lim(),lim(),0,(,),(),lim[()]lim().xxuuxxuuyfgxugxyfufgxxgxufuAxUxgxufgxfuAδδ→→→→=====∃∈≠==�设函数是由函数与函数复合而成,在点的某一去心邻域内有定义，若且当时有则（31313131）（数列极限的夹逼准则极限存在准则IIII）{}{}{}{}001,,2lim,lim,lim.nnnnnnnnnnnnnxyznNnnyxzyazaxxa→∞→∞→∞∃∈≤≤===如果数列、及满足下列条件：（）当时，有（）那么数列的极限存在，且（32323232）（函数极限的夹逼准则极限存在准则IIII’’’’）00()()()()1(,)()()()()(2)lim(),lim,lim()lim().xxxxxxxxxxUxrxMgxfxhxgxAAfxfxA→→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞∈≤≤===�如果（）当或时，那么存在，且（33333333）（数列极限存在准则极限存在准则IIIIIIII）.单调有界数列必有极限（34343434）（函数极限存在准则极限存在准则IIIIIIII’’’’）00000()()().(,,,)fxxfxxfxxxxxxx−−+→→→−∞→+∞设函数在点的某个左邻域内单调且有界，则在的左极限必定存在类似（35353535）（柯西极限存在准则）{}00,,.nnmxNNNmNnNxxεε+∀∃∈−数列收敛的充分必要条件是：对于,且使得当时，就有（36363636）（两个无穷小之间的比较）0:lim0,lim,lim0,;(4)lim0,0,.(5)lim1,xxxkxxcckkαβαββαβοααββααββααββααββααβα→∞→∞→∞→∞→∞≠==∞=≠=≠=∼已知和是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，且(1)如果就说是比高阶的无穷小，记作=();(2)如果就说是比低阶的无穷小.(3)如果就说与是同阶无穷小如果就说是关于的阶无穷小如果就说与是等价无穷小,记作.（37373737）().βαβαοα=+与是等价无穷小的充分必要条件是（38383838）（等价无穷小替换定理）''',',limlimlim.''xxxβββααββααα→∞→∞→∞=∼∼设且存在，则（39393939）（函数连续性的定义1111）[]000000()limlim()()0,().xxyfxxyfxxfxyfxx∆→∆→=∆=+∆−==设函数在点的某一邻域内有定义，如果那么就称函数在点连续（40404040）（函数连续性的定义2222）0000()lim()(),().xxyfxxfxfxfxx→==设函数在点的某一邻域内有定义,如果那么就称函数在点连续（41414141）（连续函数的和、差、积、商的连续性）000()(),(()0).ffxgxxfgfggxgx±⋅≠设函数和在点连续则它们的和(差)、积及商当时都在点连续（42424242）（反函数的连续性）{}1()()(),().xyxyfxIxfyIyyfxxI−====∈如果函数在区间上单调增加(或单调减少)且连续,那么它的反函数也在对应的区间上单调增加或单调减少且连续（43434343）（复合函数的连续性1111）[][]0000000()()(),().lim(),(),lim()lim()().fgxxxxuuyfgxugxyfuUxDgxuyfuuufgxfufu→→→===⊂=====��设函数由函数与函数复合而成若而函数在连续则（44444444）（复合函数的连续性2222）[][][][]0000000000()()(),().(),(),(),(),lim()lim()()().fgxxuuyfgxugxyfuUxDugxxxgxuyfuuuyfgxxxfgxfufufgx→→===⊂==========�设函数是由函数与函数复合而成若函数在连续且而函数在连续则复合函数在也连续即（45454545）（初等函数的连续性）..基本初等函数在它们的定义域内都是连续的一切初等函数在其定义区间内都是连续的（46464646）（有界性与最大值最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上有界，且一定能取得它的最大值和最小值.（47474747）（零点定理）[]()(),,()()0,,()0.fxabfafbabfξξ⋅=设函数在闭区间上连续且那么在开区间内至少有一点，使得（48484848）（介值定理）()[,],()(),(,),(,)().fxabfaAfbBCABabfCξξ==∀∈∃∈=设函数在闭区间上连续且在这区间的端点取不同的函数值及那么对于使得（49494949）（介值定理的推论）.Mm在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值（50505050）（一致连续性的定义）121212().0,0,,,,()().().fxIxIxIxxfxfxfxIεδδε∀∃∀∈∀∈−−设函数在区间上有定义如果对于使得对于和当时就有那么就称函数在区间上是一致连续的（51515151）（一致连续性定理）()[,],.fxab如果函数在闭区间上连续那么它在该区间上一致连续第二章导数与微分（1111）（导数的定义）000000000000000()(),()();lim(),(),(),()()()limlimlimxxxxxyfxxxxxxxyyfxxfxxyfxxyfxxfxfxxfxfyfxxx∆→∆→∆→→=∆+∆∆∆=+∆−∆′==+∆−∆′===∆∆设函数在点的某个邻域内有定义,当自变量在处取得增量点仍在该邻域内时相应的函数取得增量如果存在，则称函数在点处可导并称这个极限为函数在点处的导数记为即00000()(),,().xxxxxxxfxdyyxxdxdfxdx===−′−