高等数学(同济大学版) 课程讲解 1.3函数的极限

课时授课计划课次序号：03一、课题：§1.3函数的极限二、课型：新授课三、目的要求：1.理解自变量各种变化趋势下函数极限的概念；2.了解函数极限的性质．四、教学重点：自变量各种变化趋势下函数极限的概念．教学难点：函数极限的精确定义的理解与运用．五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合．六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社；2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社．七、作业：习题1–31（2），2（3），3，6八、授课记录：九、授课效果分析：授课日期班次第三节函数的极限复习1.数列极限的定义：lim0,N,Nnnnxanxa当时，；2.收敛数列的性质：唯一性、有界性、保号性、收敛数列与其子列的关系．在此基础上，今天我们学习应用上更为广泛的函数的极限．与数列极限不同的是，对于函数极限来说，其自变量的变化趋势要复杂的多．一、x→∞时函数的极限对一般函数yf（x）而言，自变量无限增大时，函数值无限地接近一个常数的情形与数列极限类似，所不同的是，自变量的变化可以是连续的．定义1若ε＞0，X＞0，当x＞X时，相应的函数值f（x）∈U（A，ε）（即|f(x)A|ε），则称x→∞时，f（x）以A为极限，记为limxf（x）A．若ε＞0，X＞0，当x＜X时，相应的函数值f（x）∈U（A，ε）（即|f(x)A|ε），则称x→∞时，f（x）以A为极限，记为limxf（x）A．例1证明coslimxxx0．证由于cos0xxcosxx≤1x，故ε＞0，要使cos0xx＜ε，只要1x＜ε，即x＞21．因此，ε＞0，可取X21，则当x＞X时，cos0xx＜ε，故由定义1得coslimxxx0．例2证明lim100xx．证ε＞0，要使100x10x＜ε，只要x＜lgε．因此可取X｜lgε｜1，当x＜X时，即有｜10x0｜＜ε，故由定义1得limx10x0．定义2若ε＞0，X＞0，当｜x｜＞X时，相应的函数值f（x）∈U（A，ε）（即|f(x)A|ε），则称x→∞时，f（x）以A为极限，记为limxf（x）A．为方便起见，有时也用下列记号来表示上述极限：f（x）→A（x→∞）；f（x）→A（x→∞）；f（x）→A（x→∞）．注若lim()lim()lim()xxxfxAfxAfxA或或，则称yA为曲线()yfx的水平渐近线．由定义1、定义2及绝对值性质可得下面的定理．定理1limxf（x）A的充要条件是limxf（x）limxf（x）A．例3证明2lim1xxx1．证ε＞0，要使211xx31x＜ε，只需｜x1｜＞3，而｜x1｜≥｜x｜1，故只需｜x｜1＞3，即｜x｜＞13．因此，ε＞0，可取X13，则当｜x｜＞X时，有211xx＜ε，故由定义2得2lim1xxx1．二、x→x0时函数的极限现在我们来研究x无限接近x0时，函数值f（x）无限接近A的情形，它与x→∞时函数的极限类似，只是x的趋向不同，因此只需对x无限接近x0作出确切的描述即可．以下我们总假定在点x0的任何一个去心邻域内都存在f（x）有定义的点．定义3设有函数yf（x），其定义域DfR，若ε＞0，δ＞0，使得x∈U（x0，δ）（即0＜｜xx0｜＜δ）时，相应的函数值f（x）∈U（A，ε）（即｜f（x）A｜＜ε），则称A为函数yf（x）当x→x0时的极限，记为0limxxf（x）A，或f（x）→A（x→x0）．研究f（x）当x→x0的极限时，我们关心的是x无限趋近x0时f（x）的变化趋势，而不关心f（x）在xx0处有无定义，大小如何，因此定义中使用去心邻域．函数f(x)当x→x0时的极限为A的几何解释如下：任意给定一正数ε，作平行于x轴的两条直线yAε和yAε，介于这两条直线之间是一横条区域．根据定义，对于给定的ε，存在着点x0的一个δ邻域（x0δ,x0δ），当yf(x)的图形上点的横坐标x在邻域（x0δ,x0δ）内，但x≠x0时，这些点的纵坐标f(x)满足不等式|f(x)A|ε,或Aεf(x)Aε．亦即这些点落在上面所作的横条区域内，如图1－34所示．图1－34例4证明211lim1xxx2．证函数f（x）211xx在x1处无定义．ε＞0，要找δ＞0，使0＜｜x1｜＜δ时，2121xx｜x1｜＜ε成立．因此，ε＞0，据上可取δε，则当0＜｜x1｜＜δ时，2121xx＜ε成立，由定义3得211lim1xxx2．例5证明0limxxsinxsinx0．证由于｜sinx｜≤｜x｜，｜cosx｜≤1，所以｜sinxsinx0｜200cossin22xxxx≤｜xx0｜．因此，ε＞0，取δε，则当0＜｜xx0｜＜δ时，｜sinxsinx0｜＜ε成立，由定义3得0limxxsinxsinx0．有些实际问题只需要考虑x从x0的一侧趋向x0时，函数f（x）的变化趋势，因此引入下面的函数左右极限的概念．定义4设函数yf（x），其定义域DfR，若ε＞0，δ＞0，当x∈0(,)Ux(或x∈0(,)Ux)时，相应的函数值f（x）∈U（A，ε），则称A为f（x）当x→x0时的左（右）极限，记为0limxxf（x）A（0limxxf（x）A），或记为f（0x）A（f（0x）A）．由定义3和定义4可得下面的结论．定理20limxxf（x）A的充要条件是0limxxf（x）0limxxf（x）A．例6设cos,0()10xxfxxx，研究0limxf（x）．解x0是此分段函数的分段点，0limxf（x）0limxcosxcos01，而0limxf（x）0limx（1x）1．故由定理2可得，0limxf（x）1．例7设,0()10xxfxx，研究0limxf（x）．解由于0limxf（x）0limxx0，0limxf（x）0limx11，因为0limxf（x）≠0limxf(x),故0limxf（x）不存在．三、函数极限的性质与数列极限性质类似，函数极限也具有相类似性质，且其证明过程与数列极限相应定理的证明过程相似，下面未标明自变量变化过程的极限符号“lim”表示定理对任何一种极限过程均成立．1．唯一性定理3若limf（x）存在，则必唯一．2．局部有界性定义5在x→x0（或x→∞）过程中，若M＞0，使x∈U(x0)(或｜x｜＞X)时，｜f（x）｜≤M，则称f（x）是x→x0（或x→∞）时的有界变量．定理4若limf（x）存在，则f（x）是该极限过程中的有界变量．证我们仅就x→x0的情形证明，其他情形类似可证．若0limxxf（x）A，由极限定义，对ε1，δ＞0，当x∈U（x0，δ）时，｜f（x）A｜＜1，则｜f（x）｜＜1｜A｜，取M1｜A｜，由定义5可知，当x→x0时，f（x）有界．注意，该定理的逆命题不成立，如sinx是有界变量，但limxsinx不存在．3．局部保号性定理5若0limxxf（x）A，A＞0（A＜0），则U（x0），当x∈U（x0）时，f（x）＞0（f（x）＜0）．若limxf（x）A，A＞0（A＜0），则X＞0，当｜x｜＞X时，有f（x）＞0（f（x）＜0）．该定理通常称为保号性定理，在理论上有着较为重要的作用．推论在某极限过程中，若f（x）≥0（f（x）≤0），且limf（x）A，则A≥0（A≤0）．4.函数极限与数列极限的关系定理60limxxf(x)A的充要条件是对任意的数列{xn}，xn∈Df（xn≠x0）,当xn→x0（n→∞）时，都有limnf（xn）A，这里A可为有限数或为∞．定理6常被用于证明某些极限不存在．例1证明极限01limcosxx不存在．证取{xn}12n，则limnxnlimn12n0，而limncos1nxlimncos2nπ1．又取{x′n}121n，则limnx′nlimn121n0,而limncos1'nxlimncos(2n1)π1，由于limncos1nx≠limncos1'nx，故0limncos1x不存在．课堂总结1.两种变化趋势下函数极限的定义；2.左右极限（单侧极限）；3.函数极限的性质：惟一性、局部有界性、局部保号性、函数极限与数列极限的关系．