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习题6−21.求图6−21中各画斜线部分的面积:(1)解画斜线部分在x轴上的投影区间为[0,1].所求的面积为61]12[)(12231=−=−=xxdxxxA.2300∫解法一x轴上的投影区间为[0,1].所求的面积为0画斜线部分在y轴上的区间为[1,e].所求的面积为(2)画斜线部分在1|)()(11=−=−=∫xxeexdxeeA,0解法二投影1)1(|lnln=−−=−==∫∫eedyyyydyAeee.111(3)解画斜线部分在x轴上的投影区间为[−3,1].所求的面积为332]2)3[(132=−−=∫−dxxxA.(4)解[−1,3].所求的面积为画斜线部分在x轴上的投影区间为332|)313()32(3132312=−+=−+=−−∫xxxdxxxA.2.求由下列各曲线所围成的图形的面积:(1)221xy=与x2+y2=8(两部分都要计算);解:388282)21222228(2020020221−−=−−=−−=∫∫∫∫dxxdxxdxxdxxxA323cos16402+=−=∫πtdt.48π346)212−=−ππS.2(2=A(2)xy=1与直线y=x及x=2;解:所求的面积为∫=A−=−202ln23)1(dxxx.ex,y=e−x与直线x=1;解:所求的(3)y=面积为∫−+=−=−1021)(eedxeeAxx.(4)y=lnx,y轴与直线y=lna,y=lnb(ba0).解所求的面积为abedyeAbaybay−===∫lnlnlnln3.求抛物线y=−x2+4x−3及其在点(0,−3)和(3,0)处的切线所围成的图形的面积.解:过点(0,−3)处的切线的斜率为4,切线方程为y=4(x−3).,切线方程为y=−2x+6.y′=−2x+4.过点(3,0)处的切线的斜率为−2两切线的交点为)3,23(,所求的面积为49]34(62[)]34(34[23023232=−+−−+−+−+−−−=∫∫dxxxxxxxA.4.求抛物线y2=2px及其在点),2(pp处的法线所围成的图形的面积.解2y⋅y′=2p.在点处,1),2(==′ppypy,),2(pp法线的斜率k=−1,法线的方程为)2(pxpy−−=−,即ypx−=23.),2(pp求得法线与抛物线的两个交点为和)3,29(pp−.法线与抛物线所围成的图形的面积为233232316)612123()223(pypyypdypyypApppp=−−=−−=−−∫.5.求由下列各曲线所围成的图形的面积;(1)ρ=2acosθ;解:所求的面积为∫∫==2221πθθ−202cos4)cos2(2ππθθdadaA=πa2.acos3t,y=asin3t;解2(2)x=所求的面积为∫∫∫===2042202330sincos34)cos()sin(44ππtdttatadtaydxAa2206204283]sinsin[12atdttdtaπππ=−=∫∫.(3)ρ=2解所求的面积为a(2+cosθ)2202220218)coscos44(2)]cos2(2[21adadaAπθθθθθππ=++=+=∫∫.6.求由摆线x=a(t−sint),y=a(1−cost)的一拱(0≤t≤2π)与横轴所围成的图形的面积.解:所求的面积为∫∫∫−=−−==aaadttadttataydxA20222020)cos1()cos1()cos1(ππ22023)2cos1cos21(adtttaa=++−=∫.7.求对数螺线ρ=aeθ(−π≤θ≤π)及射线θ=π所围成的图形面积.解所求的面积为)(42)(2ππ−−∫∫edeadae11222222πππθπθθθ−−===ea.8.求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积.(1)ρ=3cosθ及ρ=1+cosθ解曲线ρ=3cosθ与ρ=1+cosθ交点的极坐标为A)3,23(πA,)3,23(π−B.由对称性,所求的面积为πθθθθπππ45])cos3(21)cos1(21[2232302=++=∫∫ddA.(2)θρsin2=及解θρ2cos2=.)6,22(π.曲线θρsin2=与θρ2cos2=的交点M的极坐标为M所求的面积为2316]2cos21)sin2(21[246602−+=+=∫∫πθθθθπππddA.于曲线ex下方,9.求位y=该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积.解设直线y=kx与曲线y=ex相切于A(x0,y0)点,则有xyeykxyxx00)(0000,,y0=e,k=e.所求面⎪⎩⎪⎨⎧==′==ke求得x0=1积为21ln21)ln1(00020edyyyyyyedyyyeeeee=⋅+−=−∫∫.10.求由抛物线y2=4ax与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值.解设弦的倾角为α.由图可以看出,抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积为10AAA+=.显然当2πα=时1=0;当,A2πα1因此,抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值为时,A0.20300383822axadxaxAaa===∫.1.把抛物线y2=4ax及直线x=x0(x00)所围成的图形绕x轴旋转,计算得旋转体的体积.1所解所得旋转体的体积为20022224000xaaxdxdxyVxxxπππ====∫00xaπ∫.12.由y=x3,x=2,y=0所围成的图形,分别绕x轴及y轴旋转,计算所得转所得旋转体的体积为两个旋转体的体积.解绕x轴旋ππππ712871207206202====∫∫xdxxdxyVx.绕y轴旋转所得旋转体的体积为∫∫−=−⋅⋅=803280223282dyydyxVyπππππππ56453328035=−=y.所围成的图形,绕x轴旋,计算所得旋转体的体积.解由对称性,所求旋转体的体积为13.把星形线转3/23/23/2ayx=+dxxadxyVaa∫=2222π∫−=0333)(2π030234323234210532)33(2adxxxaxaaaππ=−+−=∫.14.用积分方法证明图中球缺的体积为)(2HRHV−=π.3证明∫∫−−−==RHRRHRdyyRdyyxV)()(222ππ)3()1(32yyRRHR=−=−ππ32HRH−.15.求下列已知曲线所围成的图形,按指定的轴旋转所产生的体积:(1的旋转体)2xy=,2yx=,绕y轴;ππππ)(22=−=∫∫dyyydyV解103)5121(10521010=−yy.(2)axaych=,x=0,x=a,y=0,绕x轴;解∫∫∫===102chudu302202ch)(axdxaxadxxyVaaπππ令au1022)()2(uuuduee−=++=∫2231032122144ueueaa−−+ππ)2sh2(43+aπ=.(3)216)5(2=−y,绕x轴.解+x∫∫−−−−−−+=44224422)165()165(dxxdxxVππ24021601640π∫=−=dxx.x=(t−sint),=a(1−cost)的一拱,y=0,绕直线y=2a.解adyyadxaV02202)2()2(23237)8πππataa=+−=.16.求圆盘(4)摆线aya2∫∫−−=ππππ∫−+−=πππ202223)sin(])cos1([8ttdataa0sincos1(tdta∫232222ayx≤+绕x=−b(ba0)旋转所成旋转体解的体积.∫∫−−−−−−+=aaaadyyabdyyabV222222)()(ππ2202228ππbadyyaba=−=∫.17.设有一截锥体,其高为h,上、下底均为椭圆,椭圆的轴2a、2b和2A、求这截锥体的体积.解建立坐标系如图.过y轴上y点作垂直于y轴的平面,则易得其长分别为2B,平面与截锥体的截面为椭圆,长短半轴分别为yhaAA−−,yhbBB−−.积为π)()(y截面的面hhBByaAA−⋅b−−−.于是截锥体的体积为])(2[61)()(bVh=∫0ABahdyyhbBByhaAA+++=−−⋅−−ππ.计算底面是半径为R的圆,而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角.x且垂直于x()件知,它是边长为bAaB18.形的立体体积解设过点轴的截面面积为Ax,由已知条xR−2的等边三角形的面积,其值为)(3)(22xRxA−=,322334)(3RdxxRVR=−=∫R所以−a.如图,在x处取一宽为dx的边梯形,小曲边梯形绕y积近似为2πx⋅f(x)dx,这就是体积元素,即dV=2πx⋅f(x)dx,y轴旋转所成的旋转体的体积为==babdxxxfdxxxfV)(2)(2ππ.用题19和结论,计算曲线y=sinx(0≤x≤π)和x轴所围成的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积.解.19.证明由平面图形0≤a≤x≤b,0≤y≤f(x)绕y轴旋转所成的旋转体的体积为=bdxxxfV)(2π∫证明小曲轴旋转所得的旋转体的体于是平面图形绕∫a∫20.利20002)sincos(2cos2sin2πππππππ=+−=−==∫∫xxxxxdxdxxV.y=lnx上相应于83≤≤21.计算曲线x的一段弧的长度.解∫∫∫+=+=′+=82838x32321)1(1)(1dxxxdxdxxys,t12−=tx,x+21=,即则令23ln211111113223232222322+=−+=ts−=−⋅−=∫∫∫∫dttdtdttdttttt.)3(x−22.计算曲线3弧的长度.xy=上相应于1≤x≤3的一段解xxxy3−=,1xy2−=′,x121xxy4112+−=′,214)(12xy+=′+,121x为所求弧长3432)232(21)1(213131−=+=+=∫xxxdxxxs.23.计算半立方抛物线被抛物线32xy=32)1(32−=xy截得的一段弧的长度.解由⎪⎩⎪⎨⎧=−=3)1(32232xyxy得两曲线的交点的坐标为)36,2(,)36,2(−.所求弧长为∫′+=21212dxys.因为2yxy2)1(−=′,)1(23)1()134−=−2)1(2−=′yyx,32()1(242−−==′yxy所以xxx.]1)25[(98)1)1−x3(13232(2312232121−=−=−+=∫∫dxdxxs.抛物线y2=2px从顶点到这曲线上的一点M(x,y)的弧长.24.计算∫∫∫+=+=′+=yyydysyppdypydyyx02202021)(1)(1解yypypp2222])2[+++=ypy02ln(21+p2ypypyppy2222ln2++++=.25.计算星形线tax3cos=,的全长.解用参数方程的弧长公式.tay3sin=dttytxs=∫′+′2022)()(4π∫⋅+−⋅=202222]cossin3[)]sin(cos3[4πdtttattaatdtt6cossin1220==∫π.26.将绕在圆(半径为a)上的细线放开拉直,使细线与圆周始终相切,细线端点画出的轨迹叫做圆的渐伸线,它的方程为)sin(costttax+=,)cos(sintttay−=.计算这曲线上相应于t从0变到π的一段弧的长度.解由参数方程弧长公式∫∫+=′+′=ππ022022)sin()cos()]([)]([dttattatdttytxs0∫22ππatdta==.cost)上求分摆线第一拱成1:3解设t从0变化到t0时摆线第一拱上对应的弧长为s(t0),则27.在摆线x=a(t−sint),y=a(1−的点的坐标.∫∫+−=′+′=000220220]sin[)]cos1([)]t([)]([)(ttdttatadtytxts)2cos1(42sin2000tadttat−==∫.当t0=2π时,得第一拱弧长s(2π)=8a.为求分摆线第一拱为1:3的点为A(x,y),令ata2)2cos1(40=−,32解得0π=t,因而分点的坐标为:aax)32()2sin2(−=−=πππ,横坐标23纵坐标33aay23)32cos1(=−=π,故所求分点的坐标