苏北四市2017届高三第二次调研测试数学试卷

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1苏北四市2017届高三第一学期期末调研测试数学Ⅰ一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.已知集合2,0A,2,3B,则AB▲.2.已知复数z满足(1)2izi,其中i为虚数单位,则z的模为▲.3.某次比赛甲得分的茎叶图如图所示,若去掉一个最高分,去掉一个最低分,则剩下4个分数的方差为▲.4.根据如图所示的伪代码,则输出的S的值为▲.5.从1,2,3,4,5,6这六个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的和能被3整除的概率为▲.6.若抛物线28yx的焦点恰好是双曲线2221(0)3xyaa的右焦点,则实数a的值为▲.7.已知圆锥的底面直径与高都是2,则该圆锥的侧面积为▲.8.若函数()sin()(0)6fxx的最小正周期为15,则1()3f的值为▲.9.已知等比数列na的前n项和为nS.若2223Sa,3323Sa,则公比q的值为▲.10.已知函数()fx是定义在R上的奇函数,当0x时,()23xfx,则不等式()5fx≤的解集为▲.11.若实数x,y满足133(0)2xyxx,则313xy的最小值为▲.12.已知非零向量a,b满足||||||abab,则a与2ab夹角的余弦值为▲.13.已知A,B是圆221:1Cxy上的动点,3AB,P是圆222:(3)(4)1Cxy上的动点,则||PAPB的取值范围为▲.344246528(第3题)0S1IWhile5I≤1IISSIEndWhliePrintS(第4题)214.已知函数32sin,1,()925,1,xxfxxxxax≥若函数()fx的图象与直线yx有三个不同的公共点,则实数a的取值集合为▲.二、解答题:本大题共6小题,共90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2cos(coscos)AbCcBa.(1)求角A的值;(2)若3cos5B,求sin()BC的值.16.(本小题满分14分)如图,在四棱锥EABCD中,平面EAB平面ABCD,四边形ABCD为矩形,EAEB,M,N分别是AE,CD的中点.求证:(1)直线MN∥平面EBC;(2)直线EA平面EBC.CABNDEM(第16题)317.(本小题满分14分)如图,已知A,B两镇分别位于东西方向的湖岸MN的A处和湖中小岛的B处,点C在A的正西方向1km处,3tan4BAN,4BCN.现计划铺设一条电缆联通A,B两镇.有两种铺设方案:①沿线段AB在水下铺设;②在湖岸MN上选一点P,先沿线段AP在地下铺设,再沿线段PB在水下铺设.预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元∕km、4万元∕km.(1)求A,B两镇间的距离;(2)应该如何铺设,使总铺设费用最低?18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为22,且右焦点F到左准线的距离为62.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设A为椭圆C的左顶点,P为椭圆C上位于x轴上方的点,直线PA交y轴于点M,过点F作MF的垂线,交y轴于点N.(ⅰ)当直线PA的斜率为12时,求FMN的外接圆的方程;(ⅱ)设直线AN交椭圆C于另一点Q,求APQ的面积的最大值.AFxyPMNQO(第18题)NMCAPB北东(第17题)419.(本小题满分16分)已知函数2()2xfxaxe,()lngxxax,aR.(1)解关于()Rxx的不等式()0fx≤;(2)证明:()()fxgx≥;(3)是否存在常数a,b,使得()()fxaxbgx≥≥对任意的0x恒成立?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.20.(本小题满分16分)已知各项均为正数的数列na的前n项和为nS,且1aa,1(1)(1)6()nnnaaSn,Nn.(1)求数列na的通项公式;(2)若对Nn,都有(31)nSnn≤成立,求实数a取值范围;(3)当2a时,将数列na中的部分项按原来的顺序构成数列nb,且12ba,证明:存在无数个满足条件的无穷等比数列nb.5苏北四市2017届高三第一学期期末调研测试数学Ⅱ(附加题)21.[选做题]本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题.......,并在相应的答题区域内作答.............若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修41:几何证明选讲](本小题满分10分)如图,AB为半圆O的直径,D为弧BC的中点,E为线段BC的中点.求证:2ABBCADBD.B.[选修42:矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵11aAb的一个特征值为2,其对应的一个特征向量为21.求a,b的值.C.[选修44:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为13cos,23sinxtyt(t为参数).以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2sin()4m(mR).当圆心C到直线l的距离为2时,求m的值.注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共2页,均为非选择题(第21题~第23题)。本卷满分为40分,考试时间为30分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。4.作答试题,必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效。5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。ABDCEO(第21-A题)6D.[选修45:不等式选讲](本小题满分10分)已知a,b,c均为正实数,33311127abcabc的最小值为m,解关于x的不等式|1|2xxm.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)甲、乙、丙分别从A,B,C,D四道题中独立地选做两道题,其中甲必选B题.(1)求甲选做D题,且乙、丙都不选做D题的概率;(2)设随机变量X表示D题被甲、乙、丙选做的次数,求X的概率分布和数学期望()EX.23.(本小题满分10分)已知等式211(1)(1)(1)nnnxxx(nN*).(1)求21(1)nx的展开式中含nx项的系数,并化简:C01nCnn+C11nC1nn+…+C11nnC1n;(2)证明:(C1n)2+2(C2n)2+…+n(Cnn)2nC21nn.7苏北四市2017届高三第一学期期末调研测试数学Ⅰ(必做题)参考答案与评分标准一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.1.}3,0,2{2.23.144.205.316.17.5π8.129.210.(,3]11.812.571413.[7,13]14.{20,16}二、解答题:本大题共6小题,共计90分.15.(1)由正弦定理可知,2cos(sincossincos)sinABCCBA,………………2分即2cossinsinAAA,因为(0,π)A,所以sin0A,所以2cos1A,即1cos2A,………………………4分又(0,π)A,所以π3A.………………………6分(2)因为3cos5B,(0,π)B,所以24sin1cos5BB,…………………8分所以24sin22sincos25BBB,27cos212sin25BB,……………10分所以2π2πsin()sin[()]sin(2)33BCBBB2π2πsin2coscos2sin33BB………………………12分24173()252252732450.………………………14分16.(1)取BE中点F,连结CF,MF,又M是AE的中点,所以12MFAB∥,又N是矩形ABCD边CD的中点,所以12NCAB∥,所以MFNC∥,所以四边形MNCF是平行四边形,………………………4分所以MNCF∥.又MN平面EBC,CF平面EBC,所以MN∥平面EBC.………………………7分(2)在矩形ABCD中,ABBC.又平面EAB平面ABCD,平面ABCD平面ABEAB,BC平面ABCD,所以BC平面EAB.……………………10分又EA平面EAB,所以EABC.又EBEA,BCEBB,EB,BC平面EBC,所以EA平面EBC.……………………14分817.(1)过B作MN的垂线,垂足为D.在RtABD△中,3tantan4BDBADBANAD,所以43ADBD,在RtBCD△中,tantan1BDBCDBCNCD,所以CDBD.则41133ACADCDBDBDBD,即3BD,所以3CD,4AD,由勾股定理得,225ABADBD(km).所以A,B两镇间的距离为5km.………………………4分(2)方案①:沿线段AB在水下铺设时,总铺设费用为5420(万元).………6分方案②:设BPD,则0π(,)2,其中0BAN.在RtBDP△中,3tantanBDDP,3sinsinBDBP,所以344tanAPDP.则总铺设费用为6122cos24886tansinsinAPBP.………8分设2cos()sinf,则222sin(2cos)cos12cos'()sinsinf.令'()0f,得π3,列表如下:0π(,)3π3ππ(,)32'()f0()f↘极小值↗所以()f的最小值为π()33f.所以方案②的总铺设费用最小为863(万元),此时43AP.……12分而86320,所以应选择方案②进行铺设,点P选在A的正西方向(43)km处,总铺设费用最低.……………………14分18.(1)由题意,得22,262,caacc解得4,22,ac则22b,所以椭圆C的标准方程为221168xy.………………………4分(2)由题可设直线PA的方程为(4)ykx,0k,则(0,4)Mk,所以直线FN的方程为22(22)4yxk,则2(0,)Nk.(i)当直线PA的斜率为12,即12k时,(0,2)M,(0,4)N,(22,0)F,因为MFFN,所以圆心为(0,1),半径为3,所以FMN△的外接圆的方程为22(1)9xy.………………………8分9(ii)联立22(4),1,168ykxxy消去y并整理得,2222(12)1632160kxkxk,解得14x或2224812kxk,所以222488(,)1212kkPkk,……………………10分直线AN的方程为1(4)2yxk,同理可得,222848(,)1212kkQkk,所以P,Q关于原点对称,即PQ过原点.所以APQ△的面积211632()28212122PQkSOAyykkk≤,……14分当且仅当12kk,即22k时,取“”.所以APQ△的面积的最大值为82.………………………16分19.(1)当0a时,2()2exfx,所以()0fx≤的解集为{0};当0a时,()()2exfx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