2016版新课标高考数学题型全归纳文科PPT.第四章 三角函数第3~4节

3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.能利用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三种公式不要求记忆）.✎知识点精讲常用三角恒等变换公式：（1）和角公式.；（2）差角公式.；（3）倍角公式.；（4）万能公式.；；sin()sincoscossincos()coscossinsintantantan()1tantansin()sincoscossincos()coscossinsintantantan()1tantansin22sincos2222cos2cossin2cos112sin22tansin21tan221tancos21tan22tantan21tan【例4.34】求证：（1）（2）由推导两角和的正弦公式证明【解析】（1）证法一：如图4-27所示.设角，的终边交单位圆于，，由余弦定理得图4-27题型56两角和与差公式的证明:coscoscossinsin.CC:sinsincoscossinS1cossinP，2cossinP，2221212122cosPPOPOPOPOP22coscossinsin22cos()22coscossinsin22cos:coscoscossinsinC如图4-28所示，，，，，由得，.故即，图4-28化简得.（2）证法二：（利用两点间的距离公式）1,0A1cos,sinP2cos,sinP3cos,sinP231OAPOPP△≌△213APPP221cos0sin22coscossinsin221cossin22coscos2coscos22sinsin2sinsincoscoscossinsinsincoscos22coscossinsin22cossinsincos:sinsincoscossin.S题型57化简求值一、化同角同函.【例4.35】已知，则的值为（）.A.B.C.D.【解析】解法一：化简所求式.两边平方得，即所以故选A.π3cos45x2sin22sin1tanxxx72512251125182522sin22sin2sincos2sinsin1tan1coscos2sincossin2sincos.cossinxxxxxxxxxxxxxxxxπ322332coscossin=cossin452255xxxxx由得，，即，228cossin2sin25xxx，1812sincos25xx，72sincos.25xx解法二：化简所求式.故选A.【评注】解法一运用了由未知到已知，单方向的转化化归思想求解；解法二运用了化未知为已知，目标利用构造法求解，从复杂程度来讲，一般情况下采用构造法较为简单.2sin22sin1tanxxx2sincossin2xxx2ππππ7=sin2cos212cos.424425xxx二、建立已知角与未知角的联系（通过凑、配角建立）【例4.36】若，，，则的值为（）.A.B.或C.D.【分析】建立未知角与已知角的联系：.【解析】解法一：，因为所以，则解法二：因为，.故选C.π0π23cos53sin5cos1172524252425coscoscoscossinsinπ3π,22，cos04πcos0,sin052，，4sin,5433424sin.555525π,π2cos1,0第四节解三角形✎考纲解读1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.✎知识点精讲正弦定理：（为的外接圆直径）余弦定理：（已知两边、及夹角求第三边）.（已知三边求角）.2sinsinsinabcRABC2RABC△2222coscababCabCc222cos2abcCab✎题型归纳及思路提示题型59正弦定理的应用一、利用正弦定理解三角形【例4.43】在中，若，，则【分析】已知两边一对角，求第三边对应的角.利用正弦定理先求两边中另一边所对的角，再根据三角形内角和得第三个角.【解析】由正弦定理得，所以又，则，因此，故ABC△45B2baC_____.sinsinabABsin2sinsin222aAAbB1sin2A，abABπ6Aππ7ππ.4612C二、利用正弦定理进行边角转化【例4.44】在中，若，则的取值范围为（）.【分析】边化角利用正弦定理转化.【解析】得，所以.故选A.ABC△2ABabA.(1,2)B.(1,3)C.(2,2)D.(2,3)2sinsin22cos2sinsinaRABBbRBB，π20,π30,π0,3ABABBB，，，1cos,12B1,2ab题型60余弦定理的应用一、利用余弦定理解三角形【例4.45】在中，，，，则【分析】两边一对角，求第三边用余弦定理.【解析】由余弦定理得，，得，即且，故.ABC△1b3c2π3C____.a2222coscababC220aa213122aa0a1a二、利用余弦定理进行边角转化【例4.46】在△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴，𝐵，𝐶所对的边分别为𝑎，𝑏，𝑐，若𝑎2+𝑐2−𝑏2tan𝐵=3𝑎𝑐，则角𝐵的值为（）.A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3两边一对角，求第三边用余弦定理，求另一对角用正弦定理.【分析】【解析】（边化角）已知等式可变为𝑎2+𝑐2−𝑏22𝑎𝑐∙tan𝐵=32，则cos𝐵∙sin𝐵cos𝐵=32，得sin𝐵=32，又𝐵∈0，π，所以𝐵=π3或2π3.故选D.题型61判断三角形的形状【例4.47】在中，若，则此三角形必为（）.A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【分析】角化边或.【解析】解法一：角化边.则三角形为等腰三角形，故选A.解法二：因为，所以，，，.则三角形为等腰三角形.故选A.ABC△sin2cossinCABsinsin()CAB2222222cbcabRbcR2222.cbcabasinsin()CABsincoscossin2cossinABABABsincoscossin0ABABsin0ABπABkkZA0,πB0kAB题型62正余弦定理与向量的综合【例4.49】在中，内角，，对边长分别为，，，若.（1）求证；（2）求边长的值；（3）若，求的面积.【分析】（3）中为对角线长，由平行四边形对角线性质可求出，设中点为，【解析】（1）利用数量积定义..ABC△ABCabc1ABACBABCABc6ABBCABC△6ABBCABDCADACBCABM1.2ABCSABCM△cossincoscos1tantancossinbBBbcAacBABABaAA（2）如图4-29所示，取等腰三角形边上的中线（即高线），则故（3）中，，在中，，在中，.由①+②得，，在等边三角形中ABCMcoscos12cABACbcAbcBc，ABDC2.c6ABACADABD△BDab2222cosπADcaacA，ABC△2222cosBCbcbcA2222262cos2coscaacAabcbcA①②22222622622acaac2a2abc，ABC1133sin22.2222ABCSabCcos2CAMbA，图4-29【例4.49变式2】在△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴，𝐵，𝐶对边长分别为𝑎，𝑏，𝑐，且cos𝐴2=255，𝐴𝐵∙𝐴𝐶=3.（1）求△𝐴𝐵𝐶的面积；（2）𝑏+𝑐=6，求𝑎的值.【分析】已知两边及夹角用余弦定理.【解析】因为cos𝐴2=255，所以cos𝐴=2cos2𝐴2−1=35，𝐴∈0，π，sin𝐴0，sin𝐴=45.（1）𝑆∆ABC=12𝑏𝑐sin𝐴=2.（2）由已知及余弦定理知𝑎2=𝑏2+𝑐2−2𝑏𝑐cos𝐴=𝑏+𝑐2−2𝑏𝑐−2𝑏𝑐×35=36−10−6=20，因为𝐴𝐵∙𝐴𝐶=𝑏𝑐cos𝐴=3，所以𝑏𝑐=5.所以𝑎=25.题型63解三角形的综合应用【例4.51】如图4-31所示，甲船以每小时海里的速度向北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，求乙船的速度.【分析】要求，就要找一个以为一边的三角形，只能是，在中，，中，.为正三角形，，，已有两边及其夹角，求第三边，可用余弦定理.3021A1051B2020min2A1202B10212BB12BB121BBA△121BBA△1120BA221BBA△22102BA2113021023AA22122160BAABAA△21102BA2122116045AABBAB121BBA△图4-31【解析】因为，所以，为正三角形，，（海里）.乙船航速为120minh3122213021023AABA22118012060BAA△221BBA△2122102BABA212211601056045,AABBAB22221211121112112cosBBBABABABABAB22210220210220200400400200221102BB2130213BB（海里/h）.