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，何桢2，郭伟31.天津大学机械工程博士后流动站，天津（300072）山东经济学院，济南（250014）2.天津大学管理学院，天津（300072）3．天津大学机械学院，天津（300072）E-mail：jqbai@126.com摘要：在产品的设计过程中，成本优化和稳健设计标准的结合已成为一个关键问题。本文利用双响应曲面方法（DRSM）建立了望目特性条件的σ6公差设计模型，这一模型通过最小化响应方差和总成本函数来改进质量降低成本，为稳健性与成本的结合提供了正确的途径。实例表明当系统本身的能力不足时，减少变异是最有效的策略。而且利用这一方法可以在设计的早期阶段得到高质量低成本的产品和/或过程。关键词：σ6公差设计；双响应曲面方法；成本；稳健设计1.前言摩托罗拉高度成功的σ6项目已经被许多公司作为他们质量改进项目的模型。持续质量改进的一个原则是质量必须设计到产品之中，因为检验和统计质量控制从来不能完全地弥补不良的设计。质量是由顾客需求决定的，设计质量要充分考虑顾客需求和成本之间的平衡。戴明指出：低质量意味着高成本[1]。公差设计是一种科学的分配公差的方法，公差设计问题和产品成本、质量和周期时间有着密切的联系，它贯穿于产品全生命周期的全过程，已成为制造业努力提高可生产性和质量的焦点问题[2]。制造过程中的控制往往应用高成本设备来减少变异缺陷，而稳健公差设计则通过在设计阶段最小化变异来改进质量。所以要全面提高企业竞争力和达到σ6质量，就必须采用σ6公差设计技术[3]。尤其在精密生产中，公差的地位是不可或缺的。不恰当的公差可能降低质量或增加报废因而增加了产品成本和交付时间。1.1文献研究工业界业也已认识到合理的公差设计对于提高可生产性、产品质量和成本节约是一个关键的因素，因而在质量工程领域，以田口思想为基础发展起来的稳健公差设计和优化公差成为研究热点之一[4，5]，但田口的正交表在统计上的缺陷限制了在公差设计中的应用[6]。稳健公差设计虽然起源于70年代，但引起广泛关注和重点研究还是在90年代，这时实验设计（DesignofExperiment，DOE）、优化技术与田口方法开始取长补短[7~16]，使得公差设计向稳健优化方向取得了突破性的发展。但对实验设计尤其是响应曲面方法（ResponseSurfaceMethodology，RSM）的应用仅限于估计经验模型，而没有充分利用实验设计的优势。1.2公差设计方法简介传统的公差设计方法像极值分析方法（Worse-CaseAnalysis，WC）和统计平方公差方法（Root-Sum-of-SquaresAnalysis，RSS），这里就不再详述。摩托罗拉σ6机械公差设计为实现σ6目标提供了系统的公差设计策略[17]，这一过程以过程数据和指标（σ、pC等）为设计向导来优化可量化的加工过程及性能，所设计的产品达到了σ6水平；设计过程中有意避免了变异并考虑过程漂移，所得到的设计不仅是统计优1本课题得到国家自然科学基金（70572044）和新世纪优秀人才（NCET-04--0240）的资助。化的，而且装配成功概率将不会随时间而改变。但该方法需要许多假设条件，所分析的仅仅是公差设计中最简单最常见的一种情况——直线尺寸链，因此适用范围比较小；在优化设计过程中，无论是名义值的权重分配还是联合方差的权重设置缺少准确科学的评价方法；虽然σ6机械公差设计以装配概率为目标达到了σ6水平，但是公差设计与成本密不可分，稳健性的提高是否会带来加工成本的增加也未可知。Taguchi实验设计的方法主要应用于稳健参数设计，公差设计是在参数设计阶段确定的最佳条件基础上，为每个参数确定公差规格。其内在机理最初是应用一个系统中最便宜的可用零部件，方差分析及质量损失函数确定后，根据贡献率将贡献率大的（影响大的）因素的波动范围从三级品的±α%缩小为二级品的波动范围±β%（αβ），最后根据质量损失与加工成本之间的平衡来决定采用哪种波动范围[5，18]。从而可以看出，Taguchi的公差设计实际上是通过紧缩公差来降低变异的，在这一阶段没有考虑设计的稳健性问题，而是认为稳健参数设计的水平不随公差水平的变化而变化，把误差作为噪声因素处理，然后根据贡献率来调整误差因素水平。将公差视为离散的变量，仅仅考虑了误差的几个水平，而且仅针对贡献率较大成本有效的因素进行设计，没有综合考虑整个产品的影响因素，也许其它因素的公差设在其它水平会进一步提高质量并降低总成本，只有在全部零件之间进行权衡才可能找到最优值。这就需要一种设计，既能体现Taguchi的稳健思想，又能充分发挥实验设计的优势，而且能够避免上述方法中的缺陷。一般认为只有在参数设计达不到所要求的性能变异时，才采用公差设计，通过减小公差来降低变异。但我们的目标不仅仅是满足性能要求，而是同时达到高质量和低成本。因此本文σ6公差设计的含义是在达到稳健性的基础上寻求最优的响应值，所谓的优化既包括传统的优化更重要的是实现稳健性。基于此，本文提出了基于RSM双响应的公差设计方法。2.利用双响应开发的方法从某种意义上说，要进行产品和过程设计，就必须了解过程，了解其内在变异形式，知道它是如何以及以何种方式随时间变化的。优化不是最终目的，更重要的是获得解释过程和变量作用的信息。而实验设计正是这样一种设计技术，其中RSM的序贯性和优化性能为我们提供了最为理想的方法[6]。应用RSM进行公差设计不仅提供给设计者优化的公差值，而且能识别关键的零部件公差，使设计者对可能的设计改进提供反馈和建议，因此利用RSM来优化和分析实验结果，能够在设计的早期阶段尤其是不确定的设计环境中消除产品生命周期潜在的问题[10]。由于公差设计涉及到实验设计的应用、优化条件的确定以及更好地理解设计和制造过程，而RSM恰恰能够有效地解决上述问题，使得公差设计达到质量改进和成本减少。曹衍龙等利用RSM拟合了总成本函数并拟合了其均值和标准偏差，过程能力指数设为1[7]。实际上，成本和稳健性是公差设计中两个不同的目标，稳健性是针对响应输出的，如果以成本为输出函数，则并不是真正意义上的稳健分析。此文利用RSM双响应只是为设计者提供了优化总成本的零部件设计值、关键的零部件，它实际上是利用了RSM获取过程信息的能力，但是并没有利用双响应找到稳健的解。Jeang[11，13]利用了应用软件和一系列模拟工具产生实验数据，并以总成本和过程能力指数为响应，利用了数学优化和敏感性分析，采用DOE进行数据分析选择关键的零部件以减少成本和提高质量。文章利用DOE提供观察和识别改变原因的方法，但却不能够优化目标函数，所以根据表中的实验数据来选择最小成本和满足条件的过程能力。因此有必要进一步采用RSM对设计进行改进研究。2.1利用RSM及双响应的必要性当方差相对较小且稳定时RSM很有效，即假设方差是已知或者未知的常量，实际上当方差不是常量时，经典的RSM是误导的，而双响应方法克服了这一点[19]。稳健性设计的目的是使产品或过程的输出响应的均值等于或尽可能接近目标值，且输出波动越小越好。因此就有必要利用双响应寻找经济的公差。受响应曲面方法的启发，工程师与科学家为了获取实验过程中的信息很自然地把方差模型作为可控变量的一个函数。Lucas（1994）、Myers和Vining（1992）讨论了对均值与方差建立响应曲面的方法[20，21]。假设可控变量用k阶向量x（1x、2x…kx）表示，其水平选取的标准主要针对过程响应中的变异性，并假定试验者在所关心的区域内对均值和方差这两个响应进行优化所得到的真实模型为[22]：µωµεββββ++++=∑∑∑∑==jikjiijikiiikiiixxxx2110(1)σωsjkjiiijkiiiikiiixxxxεγγγγ++++=∑∑∑∑==1210(2)在这两个响应模型中，用µω表示均值响应，σω表示方差响应，β与γ是待定系数，µε与sε是随机误差。拟合模型的向量表示为：µωˆBxxbxb0′+′+=(3)σωˆCxxcxc0′+′+=(4)所有上述系数的计算方法与RSM中二阶线性模型的系数计算方法相同。这里的模型拟合假设过程均值和方差是独立的[22]，如果不独立，首先寻找恰当的转换来消除方差对均值的依赖，这可以通过参数异方差回归模型来分析，以减少模型不符合规格的偏倚[23]。消除这种相依性后，就可以应用所建立的模型（3）和（4）来同时估计均值和方差函数。在分析实验设计时，将变量做转换经常是有用的，转换后的交互效应可忽略，这样就简化了解释[20]。2.2总成本函数产品生命周期的所有成本可分为两类：产品售出之前的制造成本和售出之后的质量损失。质量损失是关于质量特征的，针对成品的使用而言的，制造成本是关于几何特征的，两种成本有本质的不同。在生产过程的不同阶段由于其需求不同因而对公差的选择也不同。在设计阶段，功能、性能和可靠性是关心的重点因而公差应该越紧越好；在制造阶段为降低成本，更喜欢松的公差。一个理想的目标函数应该反映总成本，也就是说在上述两个阶段达到总体的平衡。因为是σ6公差设计，本文假设没有质量特性的结果落在公差限之外，即使有偏倚也在公差限之内，这就不涉及到报废、返工成本、检验成本和故障成本。几个研究者已达到了同样的结论：质量损失和制造成本对于公差设计同样重要[24~26]。在本研究中定义一个总成本函数F作为质量损失Q和公差成本C之和，公差成本模型不采用已有的公式形式，而是以DOE和数据来分析拟合，这样更确切地反映真实加工过程的成本和公差之间的关系。设)(iitC表示与it相关的总成本，iC是it的非增函数，)()t(1iniitCC∑==，因此定义总成本为：F＝Q＋)t(C(5)F—总成本，Q—质量损失，t—公差的向量集，)t(C—公差成本。将质量损失函数的表达代入公式（5）得到总成本函数的各种表达：（1）对称损失函数F＝2ykσ＋2)ˆ(mk−µ)t(C+(6)（2）非对称损失函数⎪⎩⎪⎨⎧≥++−≤++−=mCmkmymkFyyfor),t(])ˆ[(forC(t),])ˆ[(2222y21σµσµ(7)2.3模型的建立以上述总成本和方差响应为目标优化函数，以公差的上下公差限为约束，对于均值等于目标值的情况，再加上均值约束，对于均值有偏倚的情况，加上最大偏倚约束。具体表达如下：MinFσωˆMins.t.Lit≤it≤Uit（Uit、Lit分别表示每个公差的上下限）当均值等于目标值时再加上约束：µωˆm=当均值不等于目标值时再加上最大偏倚约束：pmσωµ5.1ˆ≤−2（8）在实际应用中，考虑到均值有σ5.1的漂移[27]，上式就是以之为标准来设定的最大偏倚量。pσ就是过程能力达到σ6水平的标准差，这样就保证了σ6水平的实现。这一模型与以前不同是将双响应模型带入到总成本函数进行优化，并根据不同的情况给出了约束条件。不仅得到优化结果，而且充分了解过程信息，尤其是过程方差的信息。最小化过程方差和总成本使得我们能够得到成本有效的稳健输出过程，同时能够判断输出结果的稳健程度。在公差设计中，减少输出变异可通过两种方式实现：一是通过减小公差域，二是减少标准差。第一种方法由于设计本身的需求经常是不可行的，因而通过稳健设计减少变异性成为切实可行且高效的方法。下面通过实例分析来证明该模型的优势以及上述观点。2这一限制的大小是基于均值的最大允许偏倚量确定的实例分析本例子是关于发动机装配的优化设计问题，其草图如图1所示[13]，主要研究几何特征（公差）对装配间隙的影响。在理解工序知识的基础上选择对该装配的影响因素为基准面的平面度（A）、发动机底座的平面度（B）、发动机连杆尺寸（C）和发动机连杆的垂直度（D）。各个影响要素的公