3-3系统的稳态误差(1)

1§3.3控制系统的稳态误差系统的稳态分量反映系统跟踪控制信号的准确度或抑制扰动信号的能力，用稳态误差来描述。在系统的分析、设计中，稳态误差是一项重要的性能指标，它与系统本身的结构、参数及外作用的形式有关，也与元件的不灵敏、零点漂移、老化及各种传动机械的间隙、摩擦等因素有关。本章只讨论由于系统结构、参数及外作用等因素所引起的稳态误差。给定值稳态误差（由给定输入引起的稳态误差）扰动值稳态误差（由扰动输入引起的稳态误差）对于随动系统，给定输入变化，要求系统输出量以一定的精度跟随输入量的变化，因而用给定值稳态误差来衡量系统的稳态性能。对恒值系统，给定输入通常是不变的，需要分析输出量在扰动作用下所受到的影响，因而用扰动稳态误差来衡量系统的稳态性能。本章介绍稳态误差的概念和计算方法，研究稳态误差的规律性以及减小或消除稳态误差的途径。2一、稳态误差的定义系统的误差e(t)一般定义为输出量的希望值与实际值之差。对图3-22所示的典型系统，其误差定义有两种形式：(1)式中，为系统输出量的希望值，c(t)为输出量的实际值。(2)其中，系统输出量的希望值是给定输入r(t)，而输出量的实际值为系统主反馈信号b(t)。通常H(s)是测量装置的传递函数，故此时误差就是给定输入与测量装置的输出量之差。()()()retctct()rct()()()etrtbt3第一种形式的误差是从系统输出端来定义的，它在性能指标提法中经常使用，但在实际系统中无法测量，因而，一般只有数学意义。而第二种形式的误差是从系统的输入端来定义的，它在系统中是可以测量的，因而具有实用性。对于单位反馈系统，要求输出量c(t)的变化规律与给定输入r(t)的变化规律完全一致，所以给定输入r(t)也就是输出量的希望值，即。此时，上述两种定义统一为e(t)=r(t)-c(t)()rct()()rctrtR(t)-B(s)E(s)N(s)+C(s))(1sG)(2sG)(sH图3-21反馈系统结构图4对于单位反馈系统，误差的两种定义形式是一致的。对于非单位反馈系统，若设第（1）种形式的误差为E’(s),第（2）种形式的误差为E(s)，则不难证明E(s)与E’(s)之间存在如下关系可见，两种定义对非单位反馈系统是存在差异的，但两种定义下的误差之间具有确定的关系，即误差E’(s)可以直接或间接地由E(s)来确定。从本质上看，它们都能反映控制系统的控制精度。在下面的讨论中，我们将采用第二种误差定义。E(t)通常也称为系统的误差响应，它反映了系统在输入信号和扰动信号作用下整个工作过程中的精度。误差响应中也包含有瞬态分量和稳态分量两个部分，如果所研究的系统是稳定的，那么当时间t趋于无穷大时，瞬态分量趋近于零，剩下的只是稳态分量。稳态误差的定义：稳态系统误差信号的稳态分量称为系统的稳态误差，以表示。sse)(limteetss（3-32）)()()('sHsEsE5二、输入信号作用下的稳态误差在图3-21所示系统中，如果不计扰动输入的影响，可以求得系统的给定稳态误差。此时，系统的结构图可简化为图3-22。E(s)R(s)B(s)G(s)H(s)C(s)图3-22给定输入作用下系统结构图-6由图3-22可知由误差的定义可知式中称为给定输入作用下系统的误差传递函数。应用拉氏变换的终值定理可以方便地求出系统的稳态误差。)()()(1)()(sRsHsGsGsC)()()()()()(sCsHsRsBsRsE)()()()()(11sRssRsHsGer)()(11)(sHsGser7（3-49）式（3-49）是确定给定稳态误差的一个基本公式。它表明，在给定输入作用下，系统的稳态误差与系统的结构、参数和输入信号的形式有关，对于一个给定的系统，当给定输入的形式确定后，系统的稳态误差将取决于以开环传递函数描述的系统结构。为了分析稳态误差与系统结构的关系，可以根据开环传递函数G(s)H(s)中串联的积分环节来规定控制系统的类型。设系统的开环的传递函数为)()(1)()()(limlimlim00sHsGssRssEteesstss11(1)()()(1)mjjniiKsGsHsss（3-50）8式中(3-51)称为系统的开环放大环节或开环增益。式（3-50）分母中的表示开环传递函数在原点处有重极点，或者说有个积分环节串联。当……时，分别称系统为0型、1型、2型……系统。分类是以开环传递函数中串联的积分环节数目为依据的，而G(s)H(s)中其它零、极点对分类没有影响。下面分析系统在不同典型输入信号作用下的稳态误差。)()(lim0sHsGsKss2,1,09令称为稳态位置误差系数。稳态误差可表示为（3-53）因此，在单位阶跃输入下，给定稳态误差决定于系统的位置稳态误差。对于0型系统，)()(111)()(1limlim00sHsGssHsGsessss)()(lim0sHsGKsppKpssKe110KssKKniimjjsp110)1()1(lim1、单位阶跃输入时的稳态误差对于单位阶跃输入，R(s)=1/s,由式（3-49）求得系统的稳态误差为10对于1型系统（或高于1型的系统），可见，由于0型系统中没有积分环节，它对阶跃输入的稳态误差为一定值，误差的大小与系统的开环放大系数K成反比，K越大，越小，只要K不是无穷大，系统总有误差存在。对实际系统来说，通常是允许存在稳态误差的，但不允许超过规定的指标。为了降低稳态误差，可在稳定条件允许的前提下，增大系统的开环放大系数，若要求系统对阶跃输入的稳态误差为零，则必须选用1型或高于1型的系统。1niimjjspsssKK110)1()1(lim011pssKesse2、单位斜坡输入时的稳态误差对于单位斜坡输入，此时系统的稳态误差为令(3-54)称为稳态速度误差系数。于是稳态误差可表示为（3-55）因此，在单位斜坡输入下，给定稳态误差决定于速度误差系数。vssKe11121)(ssR)()(11)()(1limlim020sHssGssHsGsessss)()(lim0sHssGKsv12对于0型系统，对于1型系统，0)1()1(110limniimjjsvssKsK0vssKe11KsssKsKniimjjsv1110)1()1(limKKevss1113对于2型系统（或高于2型的系统），上面的计算表明，在单位斜坡输入作用下，0型系统的稳态误差为，而1型系统的稳态误差为一定值，且误差与开环放大系数成反比。为了使稳态误差不超过规定值，可以增大系统的K值。2型或高于2型系统的稳态误差总为零。因此，对于单位斜坡输入，要使系统的稳态误差为一定值或为零，必需，也即系统必须有足够积分环节。niimjjsvsssKsK)1()1(10lim01vssKe13、单位抛物线输入时的稳态误差对于单位抛物线输入，此时系统的稳态误差为令称为稳态加速度误差系数。于是稳态误差可表示为对于0型系统，于是稳态误差可表示为assKe11431)(ssR)()(11)()(12030limlimsHsGsssHsGsessss)()(20limsHsGsKsaaK0)1()1(1120limniimjjsassKsKassKe115对于1型系统，对于2型系统，0)1s(s)1s(KsKn1iim1jj20salimassKe112K)1s(s)1s(KsK2n1ii2m1jj20salimKKeass1116对于3型系统（或高于3型的系统），以上计算表明，在单位抛物线输入作用下，0型和1型系统的稳态误差为，2型系统的稳态误差为一定值，且误差与开环放大系数成反比。对3型或高于3型的系统，其稳态误差为零。但是，此时要使系统稳定则比较困难。31201(1)(1)limmjjanvsiiKsKsss01assKe17在各种典型输入信号作用下，不同类型系统的给定稳态误差如表3-1所示。III系统类别静态误差系数阶跃输入)()(tIRtr斜坡输入r(t)=Rt加速度输入2)(2RttrIIIpKaKvKK000K0K000000pssKRe1KR1ssvReKassKReKRKR表3-1输入信号作用下的稳态误差18若给定的输入信号不是单位信号时，则将系统对单位信号的稳态误差成比例的增大，就可以得到相应的稳态误差。若给定输入信号是上述典型信号的线性组合，则系统相应的稳态误差就由叠加原理求出。例如，若输入信号为则系统的总稳态误差为综上所述，稳态误差系数、和描述了系统对减小和消除稳态误差的能力，因此，它们是系统稳态特性的一种表示方法。提高开环放大系数K或增加开环传递函数中的积分环节数，都可以达到减小或消除系统稳态误差的目的。但是，这两种方法都受到系统稳定性的限制。因此，对于系统的准确性和稳定性必须统筹兼顾、全面衡量。221)(CtttravpssKCKBKe1aKpKvK19此外，由以上讨论可知，当时，系统相对的稳态误差为零，当时，系统相对的稳态误差为零；当时，系统相对的稳态误差为零。因此，当开环系统含有个串联积分环节时，称系统对给定输入r(t)是阶无差系统，而称为系统的无差度。例3-9设图3-23所示系统的输入信号r(t)=10+5t，试分析系统的稳定性并求出其稳态误差。解:由图3-23求得系统的特征方程为1ssR)(22)(sssR332)(sCsssR0Ks)K5.01(s3s223R(s)-C(s))12)(1()15.0(ssssk图3-23例3-9系统结构图20由特征方程列劳斯表21+0.5K3K要使系统稳定，必须K0,1+0.5K0,3(1+0.5K)－2K0解得K0，K-2，K6所以，当0K6时，系统是稳定的。由图3-23可知，系统的开环传递函数为系统的稳态误差系数分别为3s0s1s2s32)5.01(3KKK)12)(1()15.0()(ssssKsG21所以，系统的稳态误差为上述结果表明，系统的稳态误差与K成反比，K值越大，稳态误差越小，但K值的增大受到稳定性的限制，当K6时，系统将不稳定。三、扰动稳态误差控制系统除了受到给定输入的作用外，通常还受到扰动输入的作用。系统在扰动输入作用下的稳态误差的大小，反映了系统的抗干扰能力。)12)(1()15.0()(limlim00ssssKsGKsspKsssSKsssGKssv)12)(1()15.0()(limlim00KKKevpss5511022扰动输入可以作用在系统的不同位置，因此，即使系统对于某种形式的给定输入的稳态误差为零，但对同一形式的扰动输入其稳态误差则不一定为零。下面根据线性系统的叠加原理，以图3-24所示系统来讨论由扰动输入所产生的稳态误差。按照前面给出的误差信号的定义可得扰动输入引起的误差为而此时系统的输出为所以)()()()()(sCsHsBsRsE)()()()(1)()(212sNsHsGsGsGsC)()()()()()(1)()()(212sNssNsHsGsGsHsGsEenR(s)-B(s))(1sG)(2sG+N(s))(sH图3-24扰动输入作用下系统结构图C(s)23式中称为扰动输入作用下系统的误差传递函数。此时，系统的稳态误差为例3-11设控制系统如图3-25所示，其中给定输入，扰动输入（和均为常数），试求系统的稳态误差。)()(