用彼得斯公式估计总体标准差的误差分析

朱安远：用彼得斯公式估计总体标准差的误差分析第1页共13页XXXXn~,,,N(,),212YXXi1ni1n,XXi1ni1n.Xi~N(,),2X~N(,n),2WXXi用彼得斯公式估计总体标准差的误差分析朱安远（冶金工业部自动化研究院·北京，100071）【摘要】本文作者独立地推导出了用彼得斯公式估计总体标准差的标准差系数Cn的计算公式。根据各种估计总体标准差方法的标准差系数Cn的大小，我们可以分析出各种估计方法的优劣及其适用范围。【关键词】彼得斯公式总体标准差标准差系数误差分析1彼得斯公式及其由来假设总体为独立地抽自总体X的一个随机样本，定义随机变量其中这里不妨假设n为大于2的正整数。因故即随机变量和随机变量之间的相关系数为据此其联合概率密度就确定了。在这个基础上，我们就可求得随机变量的概率密度为：iViivvffd()(,)=vviin2EXP_()(+)+n(+)2222{]2nd11212222.()()..[}X~N(,n)2.1n,VXXii朱安远：用彼得斯公式估计总体标准差的误差分析第2页共13页11122222XX~(,),~(,),NN12121222XX~(,),NN(,),2121222,,X2YXX12Ekk()./Ye22222DE()()YY222121222,,.k12XX~YX1在上式中代入则在推导彼得斯公式之前，作为预备知识，我们先介绍绝对正态分布。绝对正态分布是一种常见的不对称分布。只计大小而不计方向的随机误差一般都服从绝对正态分布。假设且X1，X2相互独立，则即其中那么随机变量的分布就是一个绝对正态分布。不难求得随机变量的数学期望和方差分别为：上式中iViiiivvvvfddnn1EXPnn1nn1EXPnn1EXPnnn1nEXPnn1nn12().....–..2222222212222222222222EXPnn1~N(0,n-1n)2–,()iviivv2221n,朱安远：用彼得斯公式估计总体标准差的误差分析第3页共13页0n1n,,YXXi1ni1nEE1n1nEE2(n1)ni1ni1n()YXXXXXXiii.n2(n1)2n(n1)i1nyxxi∴在上述结论中，令亦即k=0,则∴随机变量的数学期望为：作为标准差σ的估于是用计是无偏估计。此公式就是用于计算总体标准差σ的彼得斯(Peters)公式。彼得斯（C.A.F.Peters,1806～1880）是德国天文学家，1839～1849年在俄国工作，主要成就是确定章动常数和恒星视差的光行差等。在科学实验中，评定实验的准确度（Accuracy）是一个极其重要的问题。在评定准确度的时候，一般都要计算实验的标准差。计算标准差的方法除彼得斯法外，还有贝塞尔法、极差法、较差法、最大误差法和最大残差法等。标准差对理论和实际应用来说都是一个很重要的指标，它描述了随机变量的可能值与均值的疏密程度。2彼得斯公式的误差分析在实验过程中，可能同时存在系统误差（SystematicError）、随机~N(,),~N(,n),~N(0,n-1n)222XXXXiiEn1nDEn1n2(n1)nn1nXXXXXXiii222222222.朱安远：用彼得斯公式估计总体标准差的误差分析第4页共13页WXXiiWXXjjYXXi1ni1nVXXiiX(WXXiiWXXjjVXXXXXXVXXXXXXiiinjjjn1n1n1nn1n1n1n1nn1n1212VXjj误差（RandomError）和粗大误差（ParasiticError）。当粗大误差被剔除后，决定准确度的就是系统误差和随机误差。系统误差影响实验的正确度（Correctness），随机误差影响实验的精密度（Precision）。系统误差和随机误差的合成结果称为综合误差(CompositeError)。而实验的准确度（Accuracy）就是用综合误差来衡量的，它表征了实验结果与真值的接近程度。因为彼得斯公式是无偏估计,故不存在系统误差。下面我们重点来讨论彼得斯公式的随机误差。由于随机变量和(i≠j，i&j＝1,2,…,n）之间不是相互独立的，其相关系数不易求得，故随机变量的方差也不易求得。在这里我们采用下述独特的思路来求随机变量Y的方差：首先求出随机变量和它们之间也不是相互独立的）的联合概率密度，然后求出随机变量和的联合概率密度，由此可求得联合数学期望E(WiWj)。根据公式COV(Wi，Wj)＝E(WiWj)－E(Wi)·E(Wj)即可求得随机变量Wi和Wj之间的协方差。在此基础上求随机变量Y的方差就轻而易举了。下面我们就来逐步地作这些工作：对于随机变量Vi和Vj（i≠j，i&j＝1,2,…,n），有朱安远：用彼得斯公式估计总体标准差的误差分析第5页共13页VVij,~(,),,Nn1n1n1021fn2n1EXPnn-1nn1nn1{[i12212122122211212()...,,,–]}vvijijvvvvijjvvWVXXWVXXiiijjj,ij,i&j=1,2,,n,F,P,P,P,P,P,P,P,F,F,F,F,11112ijiijjiijjiiijjjiijjiijjiijjiijjijijijiwwvvvvvvvvvvvvj(,i,j0故其相关系数为：故二维正态随机变量（Vi，Vj）的联合概率密度为：令则二维随机变量（Wi，Wj）的联合分布函数和联合概率密度分别为：其余地方为零)122221n1nn21nn1n1nn11nn1n1ijjiijjiijjiijji00vvji100vvji100vvji100vvji1dd,fdd,fdd,fdd,fvvvvvvvv朱安远：用彼得斯公式估计总体标准差的误差分析第6页共13页11n1,E()..nn2EXPn2nEXPn12nn1{{[ddjWWijjiijij....}]}1122022022(,i,j0其余地方为零)在上式中代入则,F,f,f,f,f,nn1EXPnn1nn1nn1nn1EXPfjjjjjj1jiij{{2211121212222222121121112121iiiiiiij.....[]}122222221..[]}nn1nn1nn1iijjEfdddd,nn1EXPnn1nn1nn1+nn1EXPjWWijijiijiijjijijij......{[]}{.200212120022122221211121211212002212222.[]}.nn1nn1nn1ddiijjij朱安远：用彼得斯公式估计总体标准差的误差分析第7页共13页d}d][{}{......jiji20i22j0j221n2n21nEXP1n2nEXP12nnE().EXP.EXP.EXP{dddn1n1WWijjjiijiiijij22212212210122022220222....[][]}mxjjin1n1n2n1n2,22,E().EXP.EXP.EXPEXP{ddddWWxmxxmxxmxijjjjjjmxxex222222221021220220221021222.......[][]}{..ddxmxmjex..}22令则又令则121n1nn2n,,朱安远：用彼得斯公式估计总体标准差的误差分析第8页共13页E()EXP.ddWWxxijjjmjeemm2221021222022..(.).再令即则上式中常数又用数学归纳法容易证明：其中k=0,1,2,…)tj1,mttjn1n2n1n2nn2,1E()=EXP[=C22nn2nn22n-2nn2n11nn2ddWWtttxxtnijteet202222222202...]...{}C=nn2ddteetxxtt2002222...{}exxxxxxtttt2222200011nn2nn2nn2ddd=k!2k!22k1k!nn-2kk0kkk02kk2k1k2k1k0....Cd=22k1k!nn-2kk2k1k02k3+12022.tttettte2k3+k1dk10222.!(朱安远：用彼得斯公式估计总体标准差的误差分析第9页共13页YXXWii1n1ni1ni1n∴随机变量和的协方差为：∴随机变量的方差为：Carctgarcsinarcsin=k12k1nn-22k1nn-2nn-21nn-2nn-2nn-21n-1nn2nn2nn21n-1nn2k2k1k0k2k1k0k2k1k04k1k04k3k0221211111111123..n12EEn1nDDn1n222.WXXiiWXXjjCOV,EE.En2nn2n1nn1nn2n1nn221212