第3章 平均数、标准差与变异系数

第3章平均数、标准差与变异系数•数据有两种变化趋势：集中趋势和离散趋势。•表示数据集中趋势的指标有多个，如平均数（算术平均数、几何平均数）、中位数、众数，使用最多的是算术平均数。•表示数据离散趋势的指标有多个，如极差、平均离差、方差与标准差，使用最多的是方差与标准差。•资料中各观察值的总和除以观察值的个数所得的商，称为算术平均数，简称为平均数或均数。用符号表示。•平均数的意义：平均数用来描述资料的集中性，即指出资料中数据集中较多的中心位置,常用于同类性质资料间的相互比较。x一、集中趋势计算方法1.直接法适用于样本含量较小的非频数资料•如果一个含量为n的样本，其n个观察值分别用x1、x2……xn表示，则它们的平均数为•其中，（Sigma）为总和符号，表示从第一个观察值x1累加到第n个观察值xn，若在意义上已明确时，简记为x。121ninixxxxxnnniix1常数的总和等于该常数的n倍，即代数和的总和等于总和的代数和，即总和符号内的常数因子可以提取到总和符号之外，即其中C为常数（a为常数）关于总和符号的几个性质ninCC1iiiiiizyxzyx)(njkiijkinjijxx1111iixaaxkkkfffxfxfxfx2122112.加权法•如果样本中有n1个x1，有n2个x2，那么，n1+n2个数的平均数是加权平均数。•同理：•各组的次数fi是权衡各组中值xi在资料中所占比重大小的数量，因此f被称为是x的“权”，加权法也由此而得名。212211nnxnxnxffxfxfkiikiii11•在计算离散型频数资料的平均数时，•式中x为组值，f为频数，N为总频数（∑f），k为组数。Nfxxkii1)(表3-150只小鸡出壳天数的频数分布表出壳天数频数（f）fx19238203602110210222452823920724248合计50109110915021.82fxxf•在计算连续型频数资料的平均数时，•式中m为组中值，f、N和k同上式。Nfmxkii1)(组别组中值m频数（f）fm44.25—45.029045.75—46.529347.25—48.01048048.75—49.51259450.25—51.026132651.75—52.544231053.25—54.043232254.75—55.5291609.556.25—57.01162757.75—58.515877.559.25—60.0212060.75—61.54246合计20010695表3-2某纯系蛋鸡200枚蛋重的频数分布表=10695/200=53.475x平均数有以下几个基本特性：•（1）平均数的计算与样本内每个值都有关，它的大小受每个值的影响。•（2）若每个xi都乘以相同的数k，则平均数亦应乘以k。•（3）若每个xi都加上（或减去）相同的数A，则平均数亦应加上（或减去）A。中位数(median)•将资料中所有观察值从小到大依次排列，处于中间位置的数。以Md表示。•适用条件资料呈偏态分布或频数分布类型不明，以及一端或两端无确定数值,这种资料用中位数作为代表值比用算术平均数为好。•非频数资料，先将各观察值由小到大排列，当n为奇数时，第(n+1)/2位置的观察值即为中位数，即：Md=x(n+1)/2其中：L—中位数所在组的下限；i—组距；f—中位数所在组的频数；n—总频数；c—小于中数所在组的累积频数。/21n2/n2)12/(2/nndxxM)2(cnfiLMd当n为偶数时，和位置的两个观察值之和的二分之一即为中位数，即：若资料已分组，并编制成了频数分布表，可利用频数分布表计算中数。潜伏期（小时）病例数f累计例数0——252512——588324——4012336——2314648——1215860——516372——1164)(8.23)252164(581212)2(25,58,12,164,12小时此例cnfiLMCfLnid[例]某地区有164人因沙门氏菌食物中毒，其潜伏期资料经整理如下表，试计算中位数。众数（Mode）•资料中出现次数最多的那个数或频数最多一组的组中值，记为Mo。fmax=24,Mo=2250只小鸡出壳天数的频数分布表出壳天数频数（f）fx19238203602110210222452823920724248合计50109110915021.82fxxfMd=22组别组中值m频数（f）fx44.25—45.029045.75—46.529347.25—48.01048048.75—49.51259450.25—51.026132651.75—52.544231053.25—54.043232254.75—55.5291609.556.25—57.01162757.75—58.515877.559.25—60.0212060.75—61.54246合计20010695表3-2某纯系蛋鸡200枚蛋重的频数分布表=10695/200=53.475xfmax=44,Mo=52.5Md=53.35几何平均数(Geometricmean)•定义指n个观察值乘积的n次方根。即•适用条件•主要应用于数据呈倍数关系或不对称分布的资料，算术平均数对这类资料的代表性差。如抗体效价（1：10，1：100，1：1000，1：10000）、增长率或生长率、动态发展速度等。nnnnxxxxxxG1)....(....2121计算1、应用公式计算（实际应用时常取对数）nnxxxG....21niinxnxxxnG121lg1lglglg1lgniixnG11lg1lg•例海虾养殖试验，各旬的生长速度3.0，1.51.3，1.2，1.2，1.1，1.1，求海虾的旬平均生长速度。•解：•即海虾平均生长速度为1.38。•其算术平均数为14.01.1lg22.1lg25.1lg3lg71lgG38.114.0lg1G121.48nxxxxn•当资料编成频数分布表时，•—各组组中值；•—各组次数；)lg(lg1fxfGiixif二、离散趋势•资料的另一方面的特征是变异程度。如：A组资料：3、4、5、6、7平均数为：5B组资料：1、3、5、7、9平均数为：5这里的平均数5对于A组资料的代表性好？还是对于B组资料的代表性好？可见，只表明了数据的集中程度是远远不够的，还需要进一步说明数据的变异程度。只有通过变异程度的描述，才知道代表值的代表性。表示数据变异特征的数值叫变异数。常用的变异数有：极差、平均离差、方差、标准差、变异系数等。•极差（全距）极差=最大值-最小值只利用了资料中最大值和最小值，不能准确表达资料中各个观察值的变异程度。•平均离差1xxdn它不能表示整个资料中所有观察值的总偏离程度使用不方便，在统计学中未被采用消除离均差的负号离均差的平方之和（简称平方和，记为SS）称为均方（缩写为MS），又称为样本方差，记为S2标准差S)(xx0)(xxxx)(xx2)(xx2)(xx)1/()(2nxx)1/()(2nxxS离均差•首先求出离均差，即每个数与它们的平均数之间的离差；然后将所有的离均差平方，再相加，得出离均差平方和；最后用n-1除离均差平方和（按照统计学理论，不要用样本含量n去除），所得的商称为样本方差，用符号s2表示。•方差s2是离均差平方的平均数。虽然方差在实际应用中用得最广泛，但因它的单位是原始数据单位的平方，所以它不能直接地指出某个数x与平均数之间的偏离究竟达到什么程度。为此，采用标准差s做标准，衡量x与平均数之间的离散程度。•自由度(degreeoffreedom)：统计学借此来反映一批变量的约束条件。•例如一个有5个观察值的样本，因为受到统计数的约束，在5个离均差中，只有4个数值可以在一定范围内自由变动取值，而第五个离均差必须满足这一限制条件。•自由度记作DF，一般样本自由度等于观察值个数(n)减去约束条件的个数(k)，即DF＝n－k。1)(122nxxsnii1)(12nxxsnii样本方差样本标准差•为了方便计算，将离均差平方和转化为另一种形式，同时略去下标，上式可表示为：1)(22nnxxs•在计算离散型频数资料的标准差时，•式中x为组值，f为频数，N为总频数（∑f），k为组数。1)(22NNfxfxs•在计算连续型频数资料的标准差时，•式中m为组中值，f、N和k同上式。1)(22NNfmfms标准差的特性（一）标准差的大小受资料中各观察值的影响，观察值间变异大的标准差也大，反之则小；（二）计算标准差时，各观测值加上或减去一个常数，标准差的值不变；(三)当每个观察值都乘以一个常数a时，所得的标准差是原来标准差的a倍．样本的方差为总体的方差为变异系数Coeffcientofvariation•资料的单位不同或平均数相差很大时，直接利用标准差比较资料间变异程度是不妥的，需用变异系数。•变异系数同标准差一样是衡量资料变异程度的统计量。变异系数消除了不同单位和平均数的影响，可以用来比较不同资料的相对变异程度。•变异系数是标准差与平均数的比，记为CV。•两个小麦品种株高变异的比较100%scvx特点和作用（一）变异系数是一个无单位的相对数；（二）变异系数同时受到平均数和标准差的影响，因此，在利用变异系数来表示资料的变异程度时，最好将平均数和标准差也列出。(三)变异系数不受单位不同或平均数不同的影响，对于单位不同和平均数不同的资料，都可以用变异系数来比较其