2019全国1卷文数

2019全国1卷文数一、选择题1.设3i12iz，则z()A．2B．3C．2D．12.已知集合,1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,36,,,7UAB，则UBAð()A．1,6B．1,7C．6,7D．1,6,73.已知0.20.32 log0.2,2,0.2abc，则()A．abcB．acbC．cabD．bca4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512（510.6182，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是()A．165cmB．175cmC．185cmD．190cm5.函数2sin()cosxxfxxx在[,]的图像大致为()A．B．C．D．6.某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是()A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生7.tan255()A．23B．23C．23D．238.已知非零向量,ab满足||2||ab，且()abb，则a与b的夹角为()A．π6B．π3C．2π3D．5π69.如图是求112122的程序框图，图中空白框中应填入()A．12AAB．12AAC．112AAD．112AA10.双曲线2222:1(0,0)xyCabab的一条渐近线的倾斜角为130，则C的离心率为()A．2sin40B．2cos40C．1sin50D．1cos5011.ABC△的内角,,ABC的对边分别为,,,abc已知sinsin4sinaAbBcC，1cos4A，则bc()A．6B．5C．4D．312.已知椭圆C的焦点为12(1,0)(1,0)FF,，过2F的直线与C交于,AB两点．若222AFFB，1ABBF，则C的方程为()A．2212xyB．22132xyC．22143xyD．22154xy二、填空题13.曲线23()exyxx在点(0,0)处的切线方程为_______.14.记nS为等比数列na的前n项和.若1331,4aS，则4S___________．15.函数3π()sin(2)3cos2fxxx的最小值为___________．16.已知90ACB，P为平面ABC外一点，2PC，点P到ACB两边,ACBC的距离均为3，那么P到平面ABC的距离为___________．三、解答题17.某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客4010女顾客30201.分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；2.能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()nadbcKabcdacbd．2()PKk0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818.记nS为等差数列na的前n项和，已知95Sa．1.若34a，求na的通项公式；2.若10a，求使得nnSa的n的取值范围．19.如图，直四棱柱1111–ABCDABCD的底面是菱形，14,2,60,,,AAABBADEMN分别是11,,BCBBAD的中点.1.证明：//MN平面1CDE；2.求点C到平面1CDE的距离．20.已知函数()2sincos,'()fxxxxxfx为()fx的导数．1.证明：'()fx在区间(0,)存在唯一零点；2.若0,x时，()fxax，求a的取值范围．21.已知点,AB关于坐标原点O对称，4AB，M过点,AB且与直线20x相切．1.若A在直线0xy上，求M的半径；2.是否存在定点P，使得当A运动时，MAMP为定值？并说明理由．22.[选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2221141txttyt（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos3sin110．1.求C和l的直角坐标方程；2.求C上的点到l距离的最小值．23.[选修4—5：不等式选讲]已知,,abc为正数，且满足1abc．证明：1.222111abcabc；2.333()()()24abbcca．参考答案一、选择题1.答案：C解析：2.答案：C解析：3.答案：B解析：4.答案：B解析：5.答案：D解析：6.答案：C解析：7.答案：D解析：8.答案：B解析：9.答案：A解析：10.答案：D解析：11.答案：A解析：12.答案：B解析：二、填空题13.答案：3yx解析：14.答案：58解析：15.答案：4解析：16.答案：2解析：三、解答题17.答案：1.由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为400.850，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8．女顾客中对该商场服务满意的比率为300.650，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．2.22100(40203010)4.76250507030K．由于4.7623.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.解析：18.答案：1.设na的公差为d．由95Sa得140ad．由34a得124ad．于是18,2ad．因此na的通项公式为102nan．2.由1得14ad，故(9)(5),2nnnndandS.由10a知0d，故nnSa等价于211100nn，解得110n．所以n的取值范围是{|110,N}nnn．解析：19.答案：1.连结1,BCME.因为,ME分别为1,BBBC的中点，所以1//MEBC，且112MEBC.又因为N为1AD的中点，所以112NDAD.由题设知11//ABDC，可得11//BCAD，故//MEND，因此四边形MNDE为平行四边形，//MNED.又MN平面1CDE，所以//MN平面1CDE.2.过C作1CE的垂线，垂足为H.由已知可得DEBC，1DECC，所以DE平面1CCE，故DECH.从而CH平面1CDE，故CH的长即为C到平面1CDE的距离，由已知可得11,4CECC，所以117CE，故41717CH.从而点C到平面1CDE的距离为41717.解析：20.答案：1.设()()gxfx，则()cossin1,()cosgxxxxgxxx.当π(0,)2x时，()0gx；当π,π2x时，()0gx，所以()gx在π(0,)2单调递增，在π,π2单调递减.又π(0)0,0,(π)22ggg，故()gx在(0,π)存在唯一零点.所以()fx在(0,π)存在唯一零点.2.由题设知(π)π,(π)0faf，可得0a.由1知，()fx在(0,π)只有一个零点，设为0x，且当00,xx时，()0fx；当0,πxx时，()0fx，所以()fx在00,x单调递增，在0,πx单调递减.又(0)0,(π)0ff，所以，当[0,π]x时，()0fx.又当0,[0,π]ax时，0ax，故()fxax.因此，a的取值范围是(,0].解析：21.答案：1.因为M过点,AB，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线+=0xy上，且,AB关于坐标原点O对称，所以M在直线yx上，故可设(,)Maa.因为M与直线20x相切，所以M的半径为|2|ra.由已知得||=2AO，又MOAO，故可得2224(2)aa，解得=0a或=4a.故M的半径=2r或=6r.2.存在定点(1,0)P，使得||||MAMP为定值.理由如下：设(,)Mxy，由已知得M的半径为=|+2|,||=2rxAO.由于MOAO，故可得2224(2)xyx，化简得M的轨迹方程为24yx.因为曲线2:4Cyx是以点(1,0)P为焦点，以直线1x为准线的抛物线，所以||=+1MPx.因为||||=||=+2(+1)=1MAMPrMPxx，所以存在满足条件的定点P.解析：22.答案：1.因为221111tt，且22222222141211yttxtt，所以C的直角坐标方程为221(1)4yxx.l的直角坐标方程为23110xy.2.由1可设C的参数方程为cos,2sin.xy（为参数，ππ）.C上的点到l的距离为π4cos11|2cos23sin11|377.当2π3时，π4cos113取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7.解析：23.答案：1.因为2222222,2,2ababbcbccaac，又1abc，故有222111abbccaabcabbccaabcabc.所以222111abcabc.2.因为,,abc为正数且1abc，故有3333333()()()3()()()abbccaabbcac=3(+)(+)(+)abbcac3(2)(2)(2)abbcac24.所以333()()()24abbcca.解析：