统计学习题解析

6.1调节一个装瓶机使其对每个瓶子的灌装量均值为盎司，通过观察这台装瓶机对每个瓶子的灌装量服从标准差1.0盎司的正态分布。随机抽取由这台机器灌装的9个瓶子形成一个样本，并测定每个瓶子的灌装量。试确定样本均值偏离总体均值不超过0.3盎司的概率。解：总体方差知道的情况下，均值的抽样分布服从2,Nn的正态分布，由正态分布，标准化得到标准正态分布：z=xn～0,1N，因此，样本均值不超过总体均值的概率P为：0.3Px=0.3xPnn=0.30.31919xPn=0.90.9Pz=20.9-1，查标准正态分布表得0.9=0.8159因此，0.3Px=0.63186.31Z，2Z，……，6Z表示从标准正态总体中随机抽取的容量，n=6的一个样本，试确定常数b，使得6210.95iiPZb解：由于卡方分布是由标准正态分布的平方和构成的：设Z1，Z2，……，Zn是来自总体N(0,1)的样本，则统计量222212nZZZ服从自由度为n的χ2分布，记为χ2～χ2（n）因此，令6221iiZ，则622216iiZ，那么由概率6210.95iiPZb，可知：b=210.956，查概率表得：b=12.596.4在习题6.1中，假定装瓶机对瓶子的灌装量服从方差21的标准正态分布。假定我们计划随机抽取10个瓶子组成样本，观测每个瓶子的灌装量，得到10个观测值，用这10个观测值我们可以求出样本方差22211(())1niiSSYYn，确定一个合适的范围使得有较大的概率保证S2落入其中是有用的，试求b1，b2，使得212()0.90pbSb解：更加样本方差的抽样分布知识可知，样本统计量：222(1)~(1)nsn此处，n=10，21，所以统计量22222(1)(101)9~(1)1nsssn根据卡方分布的可知：2212129990.90PbSbPbSb又因为：2221221911PnSn因此：22221212299919110.90PbSbPnSn222212122999191PbSbPnSn2220.950.059990.90PS则：2210.9520.0599,99bb220.950.051299,99bb查概率表：20.959=3.325，20.059=19.919，则20.95199b=0.369，20.05299b=1.887.2某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额。在为期3周的时间里选取49名顾客组成了一个简单随机样本。(1)假定总体标准差为15元，求样本均值的抽样标准误差。xn1549=2.143(2)在95％的置信水平下，求边际误差。xxt，由于是大样本抽样，因此样本均值服从正态分布，因此概率度t=2z因此，xxt2xz0.025xz=1.96×2.143=4.2(3)如果样本均值为120元，求总体均值的95％的置信区间。置信区间为：,xxxx=1204.2,1204.2=（115.8，124.2）7.4从总体中抽取一个n=100的简单随机样本,得到x=81，s=12。要求：大样本，样本均值服从正态分布：2,xNn或2,sxNn置信区间为：22,ssxzxznn，sn=12100=1.2(1)构建的90％的置信区间。2z=0.05z=1.645，置信区间为：811.6451.2,811.6451.2=（79.03，82.97）(2)构建的95％的置信区间。2z=0.025z=1.96，置信区间为：811.961.2,811.961.2=（78.65，83.35）(3)构建的99％的置信区间。2z=0.005z=2.576，置信区间为：812.5761.2,812.5761.2=（77.91，84.09）7.7某大学为了解学生每天上网的时间，在全校7500名学生中采取重复抽样方法随机抽取36人，调查他们每天上网的时间，得到下面的数据(单位：小时)：3.33.16.25.82.34.15.44.53.24.42.05.42.66.41.83.55.72.32.11.91.25.14.34.23.60.81.54.71.41.22.93.52.40.53.62.5求该校大学生平均上网时间的置信区间，置信水平分别为90％，95％和99％。解：（1）样本均值x=3.32，样本标准差s=1.61；（2）抽样平均误差：重复抽样：x=nsn=1.61/6=0.268不重复抽样：x=1NnNn1sNnNn=1.617500367500136=0.268×0.995=0.268×0.998=0.267（3）置信水平下的概率度：1=0.9，t=2z=0.05z=1.6451=0.95，t=2z=0.025z=1.961=0.99，t=2z=0.005z=2.576（4）边际误差（极限误差）：2xxxtz1=0.9，2xxxtz=0.05xz重复抽样：2xxz=0.05xz=1.645×0.268=0.441不重复抽样：2xxz=0.05xz=1.645×0.267=0.4391=0.95，2xxxtz=0.025xz重复抽样：2xxz=0.025xz=1.96×0.268=0.525不重复抽样：2xxz=0.025xz=1.96×0.267=0.5231=0.99，2xxxtz=0.005xz重复抽样：2xxz=0.005xz=2.576×0.268=0.69不重复抽样：2xxz=0.005xz=2.576×0.267=0.688（5）置信区间：,xxxx1=0.9，重复抽样：,xxxx=3.320.441,3.320.441=（2.88，3.76）不重复抽样：,xxxx=3.320.439,3.320.439=（2.88，3.76）1=0.95，重复抽样：,xxxx=3.320.525,3.320.525=（2.79，3.85）不重复抽样：,xxxx=3.320.441,3.320.441=（2.80，3.84）1=0.99，重复抽样：,xxxx=3.320.69,3.320.69=（2.63，4.01）不重复抽样：,xxxx=3.320.688,3.320.688=（2.63，4.01）7.9某居民小区为研究职工上班从家里到单位的距离，抽取了由16个人组成的一个随机样本，他们到单位的距离(单位：km)分别是：103148691211751015916132假定总体服从正态分布，求职工上班从家里到单位平均距离的95％的置信区间。解：小样本，总体方差未知，用t统计量xtsn1tn均值=9.375，样本标准差s=4.11置信区间：221,1ssxtnxtnnn1=0.95，n=16，21tn=0.02515t=2.13221,1ssxtnxtnnn=4.114.119.3752.13,9.3752.131616=（7.18，11.57）7．11某企业生产的袋装食品采用自动打包机包装，每袋标准重量为l00g。现从某天生产的一批产品中按重复抽样随机抽取50包进行检查，测得每包重量(单位：g)如下：每包重量（g）包数96~9898~100100~102102~104104~106233474合计50已知食品包重量服从正态分布，要求：(1)确定该种食品平均重量的95％的置信区间。解：大样本，总体方差未知，用z统计量xzsn0,1N样本均值=101.4，样本标准差s=1.829置信区间：22,ssxzxznn1=0.95，2z=0.025z=1.9622,ssxzxznn=1.8291.829101.41.96,101.41.965050=（100.89，101.91）(2)如果规定食品重量低于l00g属于不合格，确定该批食品合格率的95％的置信区间。解：总体比率的估计大样本，总体方差未知，用z统计量1pzppn0,1N样本比率=（50-5）/50=0.9置信区间：2211,pppppzpznn1=0.95，2z=0.025z=1.962211,pppppzpznn=0.910.90.910.90.91.96,0.91.965050=（0.8168，0.9832）7．13一家研究机构想估计在网络公司工作的员工每周加班的平均时间，为此随机抽取了18个员工。得到他们每周加班的时间数据如下(单位：小时)：63218171220117902182516152916假定员工每周加班的时间服从正态分布。估计网络公司员工平均每周加班时间的90%的置信区间。解：小样本，总体方差未知，用t统计量xtsn1tn均值=13.56，样本标准差s=7.801置信区间：221,1ssxtnxtnnn1=0.90，n=18，21tn=0.0517t=1.7369221,1ssxtnxtnnn=7.8017.80113.561.7369,13.561.73691818=（10.36，16.75）7．15在一项家电市场调查中．随机抽取了200个居民户，调查他们是否拥有某一品牌的电视机。其中拥有该品牌电视机的家庭占23％。求总体比例的置信区间，置信水平分别为90%和95%。解：总体比率的估计大样本，总体方差未知，用z统计量1pzppn0,1N样本比率=0.23置信区间：2211,pppppzpznn1=0.90，2z=0.025z=1.6452211,pppppzpznn=0.2310.230.2310.230.231.645,0.231.645200200=（0.1811，0.2789）1=0.95，2z=0.025z=1.962211,pppppzpznn=0.2310.230.2310.230.231.96,0.231.96200200=（0.1717，0.2883）7．20顾客到银行办理业务时往往需要等待一段时间，而等待时间的长短与许多因素有关，比如，银行业务员办理业务的速度，顾客等待排队的方式等。为此，某银行准备采取两种排队方式进行试验，第一种排队方式是：所有顾客都进入一个等待队列；第二种排队方式是：顾客在三个业务窗口处列队三排等待。为比较哪种排队方式使顾客等待的时间更短，银行各随机抽取10名顾客，他们在办理业务时所等待的时间(单位：