激光介质增益

2.6介质的增益系数一、增益系数的定义当激光工作物质处在粒子反转状态时，一束光强为I0的单色光入射后，由于受激辐射作用，光强会不断被放大。我们引入增益系数G来描述光强经过单位距离后的增长率。设有光强为I0的光自增益介质端面(z=0)入射，传播到Z处时，光强增至I(z)，在z+dz处时光强为I(z+dz)=I(z)+dI(z),则增益系数定义为：)162(dzzIzdIG如果增益系数是个恒定的常数，由（2-6-1）式很容易解出光强I(z)随z坐标变化的函数关系为：0z(262)GzIIe画出的光强变化曲线如图2-6-2所示。增益系数的量纲为1/m。其测量方法是：测出入射到激光介质的光强I0及出射光强I’,并量出激光介质的长度L，由（2-6-2）式可以出：)362(ln10IILG二、增益系数与反转粒子数之间的关系从四能级系统方程组中的光子数密度方程（2-5-7）式出发（三能级系统的讨论方法完全相同，只须将A32改为A21）并考虑到在讨论受激辐射引起的增益作用时，可不计损耗。现将该方程重写如下：W21受激辐射另外表示形式212103212103213321021212133212233,,8,8888vvvvWBgvvAcNhvWgvvNhvAhvWNgvvAAchvpBBchvvPvpVdvpcVdvc32320,vAWNgvvp三能级系统四能级系统因为光强与光子数密度成正比，即，故光强对Z坐标的导数可写为：NhI1(265)dIdIdtdzdtdzdzdtdIdNhdtdzdzdtdIdNhvdtdt320(,)-(257)cAdNNngNdtp320(,)(264)AdNngNdtp0/132cAP46,2.5-7公式5变形将代入（2-6-5）式，然后由增益系数的定义可得到：320(,)(264)AdNngNdtp)562(hdtdNdzdtdtdIdzdI3203201(,)(266)(,)dIdNGhvIdzNhvdtnAGgAdNpngNdtp单色模密度pν由（1-2-8）式给出但光速是用真空光速c表示的，现在的讨论是在激光工作物质中，因此用υ代替c后，并将pν计算公式代入（2-6-6），得：238(128)vpvpVdvc)762(),(802232gvnAG该式表明：激光增益介质对频率为ν的准单色光的增益系数是随ν而变化的。一般说来，激光介质的光谱线函数g(ν，ν0)的线宽从数量级上讲比起线型函数的中心频率ν0要小好几个量级，因此，为简化增益系数表达式，可以用中心频率ν0去代替（2-6-7）式中分母的ν，同时将增益系数写成频率的函数的形式：)862(),(8020232gAnG如果（2-6-8）式中反转粒子数密度Δn取小信号反转粒子数密度Δn0则相应的增益系数就是小信号增益系数。因为小信号反转粒子数密度是个与频率无关的常数，由（2-6-8）式可以看出，小信号增益系数与激光介质的线型函数成正比。),(802023232gA定义三、四能级系统小信号反转粒子数密度Δn0条件：小信号—N=0—W32=W23=0，n2=0，Δn0=n3，n1=n四能级速率方程化简结果411444311444303114143322233323244332323232032324430000dnnWnSnWnSdtdnnWnWnWnWnASnSndtASASnASnS表明Δn0与泵浦速率W14及激光上能级寿命τ3有关与频率v无关323332320141ASnnW分别将均匀加宽和非均匀加宽的线型函数（1-5-16）式与（1-5-12）式代入（2-6-8）式中，可得均匀加宽介质的小信号增益系数为)962()()2()2()(20220mHHHGvG其中：)1062(4202023200HHmnAGG200222200122,,(1516)222HHHHHHHvvgvvgvvvvvvvvv非均匀加宽介质增益系数为：)1162(e)(220)vv(2ln40DmiGG其中1200322020ln2()()(2612)4miDAnGGv由（2-6-9）式与（2-6-11）式画出小信号增益系数随变化的曲线，称小信号增益曲线。如图2-6-3所示，其中（a）为均匀加宽小信号增益曲线，属洛仑兹型，（b）为非均匀加宽小信号增益曲线，属高斯型。中心频率处的小信号增益系数，也就是增益系数最大值，可由经验公式求出。大信号增益系数增益饱和现象：入射光强很微弱时，反转粒子数密度基本上未被消耗，可以看成是一个常数，因此，激光介质对光的增益系数也是个常数。而当光强增大到一定程度，即可以与饱和光强Is相比时，由于反转粒子密度的下降，导致增益系数的下降，我们称这种现象为增益饱和现象。分别对均匀加宽介质与非均匀加宽介质讨论大信号增益系数。如果Δn表示的是大信号反转粒子数密度，则G就为大信号增益系数。)862(),(8020232gAnG四能级系统大信号反转粒子数密度Δn411444311444333322233323244332011433320332324433332200,,dnnWnSnWnSdtdnnWnWnASnSdtdnnnvvNnWdndtnvvNnASnSdtgnnnng10,dnnndt31432031,nWnvvN03230314vsINnnWhvhvI2200220()()2(,)()(1)()2HvvHsνννnνInIνννI一、均匀加宽大信号增益系数当频率为、光强为强光入射时，均匀加宽的激光介质对该强光以及对另一频率为的弱光的增益系数都有饱和作用，我们分别对这两种情况进行分析。1v1vI（一）对强光的增益系数1v当频率为、光强为的强光入射时，均匀加宽激光工作物质的反转粒子数下降，因此，对强光的增益系数按（2-6-8）式可写为：1v1vI111123211101321020221302020,,(,),,8,,(2682-21)HvvHvHHvAGInIgnIvvnIvvvvvv变量这里仍以四能级系统为例，对不同的能级系统，只须改变自发辐射几率A的下标即可。将信号均匀加宽的粒子数反转密度表达式和均匀加宽线型函数式（1-5-16）和式（2-6-9）代入（2-6-8-1）式中，可以得到：)962()2)(1()()2()(),(022012201111nνIIνννννIνnHsvHv11212210()2(,)(2610)()(1)()2HHvmvHsνGνIGIνννI均匀大信号对强光的增益系数式中，其大小由（2-6-10）式决定。)(00vGGm现在我们对上式进行讨论：1.当，有：01vI不难看出，该式实际上就是均匀加宽小信号增益系数的计算公式，这是无增益饱和现象。11212210()2(,)(2610)()(1)()2HvmvHsνGνIGIνννI212210()2(,0)(2611)()()2HmHνGνGνvv2.光强增大，增益系数下降，时有:1vI1vsII将与时的增益曲线画在下图中01vI1vsII)1262()2(2)()2(),(220121mHHSGννννIνG从图中可以看到：1）饱和作用的强弱与入射光频率v1有关，频率越接近增益曲线的中心频率，饱和作用就越厉害，偏离中心频率越远，饱和作用就越弱；2）不同频率处，曲线下降的不一样，这说明曲线下降是非均匀的。由于中心频率处的相对下降量大于其它频率处，因此，大信号增益曲线宽比小信号增益曲线要更宽一些。0v可以计算出均匀加宽介质在强光入射时，强光的大信号增益曲线线宽为：)1362(11HsvIIv（二）对弱光的增益系数2v均匀加宽的激光工作物质对各种频率入射光的放大作用全部使用相同的反转粒子数，因此，强光消耗的反转粒子数势必会影响对弱光的大信号增益系数。1v2v增益系数公式（2-6-8）式中的反转粒子数密度仍用代替，线型函数则用。n),(11vIvn),(02vvg这样，均匀加宽介质在强光入射条件下对弱光的大信号增益系数便可写成：1vI2v再将（2-6-9）式、（1-5-16）式和（2-6-12）式代入（2-6-14）式，可得：)1462(),(8,,02202321211HvvHgAInIG其中为小信号增益系数：),(020vvG对（2-6-15）式弱光大信号的增益系数进行讨论：1）我们来看这种大信号增益曲线的下降特点，如图：)1562(,)2)(1()()2()(),(02022012201211vvGνIIνννννIνGHHsvHvH)1662()2()()2(),(22022020mHHHGννννvνG变量从上图可以看出：整个曲线的下降时均匀的，下降后的曲线线宽与原小信号时的线宽相等。2）增益饱和的大小与入射强光的频率和光强的关系。先看与光强的关系：当时，由（2-6-15）式可以看出：02020(,)(,)HGvvGvv01vI即无饱和作用。随着入射光强的增大，增益系数的值下降的越厉害。当时，有：svII1221002202210()()2(,)(,)(3410)()2()2svvvGvIGvvvvv3）从下图中我们看增益饱和与入射强光的频率的关系。均匀加宽介质中每个发光粒子对谱线不同频率的增益都有贡献。当ν1强光消耗了激发态粒子后，同时也减少了对ν2弱光的增益。故在均匀激光器中，一个模式的起振会使其它模式的增益降低，因而阻止其它模式的震荡。因此，均匀加宽激光器中往往可以实现单纵模输出。二、非均匀加宽大信号增益系数在频率为、光强为的强光入射条件下，非均匀加宽介质的大信号增益系数也分对强光及弱光二种。1v1vI1v2v（一）对强光的增益系数1v非均匀加宽激光工作物质除非有非均匀家加宽的因素以外，同时，还存在均匀加宽的因素起码有属于均匀加宽的自然线宽。经过分析，可得强光大信号的增益系数为：将非均匀加宽线型函数表达式（1-5-13）代入（2-6-17）式中，可以得到：)1762()1(),(8),(21020232011sviviiIIvνgAnIνG21021142()(,)(3415)1DInvvvmiivvsGGvIeII式中由（2-6-12）式决定。)(00vGGim（2-6-18）非均匀加宽介质与均匀加宽介质的对强光大信号增益系数相比较，有两点区别：（1）非均匀加宽饱和作用比均匀加宽弱一些；（2）非均匀加宽大信号增益曲线均匀下降，下降后的曲线线宽不变，而均匀加宽大信号增益曲线则是非均匀下降，下降后曲线线宽加大。（二）对弱光的增益系数2v非均匀加宽工作物质的大信号反转粒子数密度烧孔效应，与此类似在强光入射的条件下，非均匀加宽介质的对弱光增益曲线也将在频率处产生烧孔效应。1v2v烧孔宽度与反转粒子数