5-4-1 约数与倍数(一).教师版

5-4-1.约数与倍数（一）.题库教师版page1of81.本讲主要对课本中的：约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数性质的应用。2.本讲核心目标：让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识，例如：（1）约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数的内在关系；（2）整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...☆☆☆△△△的结构，而且表达形式唯一”一、约数、公约数与最大公约数概念(1)约数:在正整数范围内约数又叫因数,整数a能被整数b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数；(2)公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”；(3)最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数；(4)0被排除在约数与倍数之外1．求最大公约数的方法①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．例如：2313711，22252237，所以(231,252)3721；②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：2181239632，所以(12,18)236；③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．例如，求600和1515的最大公约数：15156002315；6003151285；315285130；28530915；301520；所以1515和600的最大公约数是15．2．最大公约数的性质①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；③几个数都乘以一个自然数n，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n．3．求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各个分数的分子的最大公约数b；ba即为所求．4．约数、公约数最大公约数的关系知识点拨教学目标5-4-1.约数与倍数（一）5-4-1.约数与倍数（一）.题库教师版page2of8（1）约数是对一个数说的；（2）公约数是最大公约数的约数，最大公约数是公约数的倍数二、倍数的概念与最小公倍数(1)倍数:一个整数能够被另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数(2)公倍数:在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，那么这些倍数就叫做它们的公倍数(3)最小公倍数：公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数。1.求最小公倍数的方法①分解质因数的方法；例如：2313711，22252237，所以22231,252237112772；②短除法求最小公倍数；例如：2181239632，所以18,12233236；③[,](,)ababab．2.最小公倍数的性质①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．3.求一组分数的最小公倍数方法步骤先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a；求出各个分数分母的最大公约数b；ba即为所求．例如：35[3,5]15[,]412(4,12)4注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：1,414,4232,34．倍数、公倍数、最小公倍数的关系（1）倍数是对一个数说的；（2）最小公倍数是公倍数的约数，公倍数是最小公倍数的倍数三、最大公约数与最小公倍数的常用性质1．两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。如果m为A、B的最大公约数，且Ama，Bmb，那么ab、互质，所以A、B的最小公倍数为mab，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：①ABmambmmab，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；②最大公约数是A、B、AB、AB及最小公倍数的约数．2．两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。即(,)[,]ababab，此性质比较简单，学生比较容易掌握。3．对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数5-4-1.约数与倍数（一）.题库教师版page3of8例如：567210，210就是567的最小公倍数b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍例如：678336，而6,7,8的最小公倍数为3362168性质（3）不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系，即“几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大”。四、求约数个数与所有约数的和1．求任一整数约数的个数一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。如:1400严格分解质因数之后为32257，所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个。(包括1和1400本身)约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲过的数字“唯一分解定理”形式基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要求其掌握。难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有多少个约数，然后再结合其他几个条件将原数“还原构造”出来，或者是“构造出可能的最值”。2．求任一整数的所有约数的和一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。如：33210002357，所以21000所有约数的和为2323(1222)(13)(1555)(17)74880此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮助学生找规律性的记忆即可。模块一、求最大公约数【例1】把一张长1米3分米5厘米、宽1米5厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块，而没有剩余，问：能裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共可裁成几块？【考点】求最大公约数【难度】2星【题型】解答【【解解析析】】要把一张长方形的纸裁成同样大小的正方形纸块，还不能有剩余，这个正方形纸块的边长应该是长方形的长和宽的公约数．由于题目要求的是最大的正方形纸块，所以正方形纸块的边长是长方形的长和宽的最大公约数．1米3分米5厘米＝135厘米，1米5厘米＝105厘米，(135,105)15，长方形纸块的面积为13510514175(平方厘米)，正方形纸块的面积为1515225(平方厘米)，共可裁成正方形纸块1417522563(张)．【答案】边长15，裁成63块【【巩巩固固】】一个房间长450厘米，宽330厘米．现计划用方砖铺地，问需要用边长最大为多少厘米的方砖多少块(整块)，才能正好把房间地面铺满？【考点】求最大公约数【难度】2星【题型】解答【【解解析析】】要使方砖正好铺满地面，房间的长和宽都应是方砖边长的倍数，也就是方砖边长厘米数必须是房间长、宽厘米数的公约数．由于题中要求方砖边长尽可能大，所以方砖边长应为房间长与宽的最大公约数．450和330的最大公约数是30．4503015，3303011，共需1511165(块).【答案】边长30，需要165块【例2】将一个长和宽分别是是1833厘米和423厘米的长方形分割成若干修正在方形，则正方形最少是（）个。（A）78（B）7（C）5（D）6【考点】求最大公约数【难度】2星【题型】选择例题精讲5-4-1.约数与倍数（一）.题库教师版page4of8【关键词】华杯赛，初赛，第3题【解析】本题不是求1833与423的最大公约数，因为题目没有强调是相同正方形，所以应该用辗转相处法，求商，因为1833423=4141，所以先切成423423的共有4个剩下长方形141423的423141=3，所以应该还可以切成3个，所以一共有43=7个，选择B【答案】B【例3】如图，某公园有两段路，AB＝175米，BC＝125米，在这两段路上安装路灯，要求A、B、C三点各设一个路灯，相邻两个路灯间的距离都相等，则在这两段路上至少要安装路灯___个.【考点】求最大公约数【难度】2星【题型】填空【关键词】华杯赛，六年级，初赛，第7题【解析】175与125的最大公约数为25，所以取25米为两灯间距，175＝25×7，125＝25×5，AB段应按7＋1＝8盏灯，BC段应按5＋1＝6盏灯，但在B点不需重复按灯，故共需安装8＋6－1＝13（盏）【答案】13盏【例4】把20个梨和25个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2个，而苹果还缺2个，一共最多有多少个小朋友？【考点】求最大公约数【难度】3星【题型】解答【【解解析析】】此题相当于梨的总数是人数的整数倍还多2个，苹果数是人数的整数倍还缺2个，所以减掉2个梨，补充2个苹果后，18个梨和27个苹果就都是人数的整数倍了，即人数是18和27的公约数，要求最多的人数，即是18和27的最大公约数9了．【答案】9人【例5】有336个苹果，252个桔子，210个梨，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，三样水果各多少？【考点】求最大公约数【难度】3星【题型】解答【【解解析析】】此题本质上也是要求出这三种水果的最大公约数，有(336,252,210)42,即可以分42份，每份中有苹果8个，桔子6个，梨5个．【答案】42份，每份中有苹果8个、桔子6个、梨5个【【巩巩固固】】教师节那天，某校工会买了320个苹果、240个桔子、200个鸭梨，用来慰问退休的教职工，问用这些果品，最多可以分成多少份同样的礼物(同样的礼物指的是每份礼物中苹果、桔子、鸭梨的个数彼此相等)？在每份礼物中，苹果、桔子、鸭梨各多少个？【考点】求最大公约数【难度】3星【题型】解答【【解解析析】】因为(320,240,200)40，320408，240406，200405，所以最多可分40份，每份中有8个苹果6个桔子，5个鸭梨.【答案】可分40份，每份中有8个苹果6个桔子，5个鸭梨.模块二、约数【例6】2004的约数中，比100大且比200小的约数是。【考点】约数【难度】1星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，初赛，第4题，5分【解析】2004=3×4×167，所以结果为167【答案】167【例7】过冬了，小白兔只储存了180只胡萝卜，小灰兔只储存了120棵大白菜，为了冬天里有胡萝卜吃，小灰兔用十几棵大白菜换了小白兔的一些胡萝卜，这时他们储存的粮食数量相等，则一棵大白菜可以换__________只胡萝卜。【考点】约数【难度】2星【题型】填空5-4-1.约数与倍数（一）.题库教师版page5of8【关键词】希望杯，六年级，一试，第13题【解析】方法一：若使他们存储粮食的数量相等，需要将小白兔的胡萝卜给小灰兔1801202=30（只），但是本题需要去换，即若干次换完后要多30个胡萝卜即可，若想用十几颗大白菜换，而30里面只有15这个约数是十几，所以需要换15次，，每次换后要多3015=2（只），所以1棵白菜换了21=3只胡萝卜方法二：设1棵白菜换x只胡萝卜，灰兔用a棵白菜换胡萝卜，则10,20a，180120130215⇒axaaaxax，∴15a，12x，∴3x，即1棵白菜换了3只胡萝卜【答案】3只【例8】一个自然数，它的最大的约数和次大的约数的和是111，这个自然数是________.【考点】约数【难度