第7章 刚体

力学教案华南师范大学物理与电信工程学院第七章刚体力学§7.2刚体的动量和质心运动定理§7.1刚体的定轴转动内容目录§7.3刚体定轴转动的角动量.转动惯量§7.4刚体绕定轴转动的动能定理§7.5刚体平面运动的动力学§7.6刚体的平衡在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体.(任意两质点间距离保持不变的特殊质点组．)刚体的运动形式：平动、转动．⑴刚体是理想模型⑵刚体模型是为简化问题引进的．说明：一、刚体：§7.1刚体运动的描述刚体平动质点运动平动：刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同．特点：各点运动状态一样，如：等都相同．avv、v转动：分定轴转动和非定轴转动刚体的平面运动刚体的一般运动可看作：随质心的平动绕质心的转动+的合成转动平面：任一垂直于定轴的平面转动中心：转动平面与定轴的交点二、刚体定轴转动的描述1.转动平面可用圆周运动的角量描述刚体的整体运动定轴转动的特点：•各质点都在各自的转动平面内做圆周运动；•各质点运动的线量一般不同,但角量完全相同（角位移、角速度和角加速度）pro转动平面转轴X参考方向大小：方向：沿轴(与刚体的转动方向成右手螺旋)=ddt2.角速度矢量和角加速度矢量•角速度矢量=ddtvv刚体定轴转动（一维转动）的转动方向可以用角速度的正负来表示.00vvzzdtdv加速转动vv方向一致减速转动vv方向相反•角加速度矢量当刚体作匀变速转动时02002200122()tCtt，刚体绕定轴作匀变速转动质点匀变速直线运动at0vv22100attxxv)(20202xxavv0t22002()21002tt表１刚体绕定轴作变速转动质点变速直线运动tadt00vvtvdtxx0000tdttdt00vvr切向加速度：法向加速度：2nararrvvvv•角量和线量关系的矢量式2()=()dvdradtdtarr速度：加速度：[例1]、一转动的轮子由于摩擦力矩的作用，在5s内角速度由15rad/s匀减速地降到10rad/s。求：(1)角加速度；(2)在此5s内转过的圈数；(3)还需要多少时间轮子停止转动。解根据题意，角加速度为恒量。(1)利用公式20101515rad/st－(2)利用公式222200101562.522(1)rad5秒内转过的圈数圈。1014.325.6220N(3)再利用00100010101rad/sst§7.2刚体的质心和刚体的动量㈠、刚体的质心⒈质心计算公式⒉求质心的几种方法⑴对称法：根据刚体质心的定义式可知，刚体的质心必定在刚体的对称中心、对称轴、对称平面上iiiCmrmr/vviiiCmxmx/iiiCmymy/iiiCmzmz/•质量分立分布：dmdmrrC/vvdmzdmzdmydmydmxdmxCCC/,/,/•质量连续分布：⑵分割法：根据刚体的形状，把刚体分成几部分，转化成求几个质点的质心⑶积分法：选取合适的质元、坐标，通过做积分求出质心[例1]：如图所示，在半径为R的匀质圆板上钻一个半径为R/2的圆孔，求钻孔圆板的质心解：补上被钻掉的小圆板，整个大圆板可看作由小圆板mA和月牙板mB组成。由对称性分析可知：大圆板的质心在o点，小圆板的质心在A点，要求的月牙板的质心在x轴上的某一点，设为B62312])2/([)2/(222RRRRRRxmmxABAB0)/()(CBABBAAxmmxmxm据质心计算公式：ABomBmAx[例2]：求半径为a的匀质半球的质心解：建立图示坐标系o-xyz，由对称性分析，质心必在z轴上，即xc=0,yc=0，在坐标z处，取高为dz的薄圆盘状质元xyzorazdzdzzadzrdm)(222azaazadzaazdzzaaazdzzadmzdmzaaaC830222302222302233342122|)(2143)()()21(23)(23)(据计算质心的积分公式：㈡、刚体的动量与质心运动定理⒉刚体的动量守恒定律：若刚体所受外力矢量和为零，则刚体的动量保持不变。即若，则0外F恒矢量Cvmv•质点系的有关概念和规律都适用于刚体Ciivmvmpvv⒈刚体的动量：CamFvv外⒊刚体的质心运动定理：[例3]求偏心飞轮对轴承的压力：已知匀质飞轮质量m=5.0kg，半径r=0.15m，转速n=400rev/min，质心C距转轴O距离d=0.001m，飞轮所受重力忽略不计COdFv解:以飞轮为研究对象，设轴对其压力为据质心运动定理：CamFvvnnndmFˆ227ˆ001.0)(0.5ˆ'26024002v据牛顿第三定律，飞轮对轴的压力：转轴偏离质心会产生较大附加压力，使机座产生有害振动或使轴承变形，因此要尽量使质心位于转轴上.ndmFndaanCˆ,ˆ,022vvvPz*OFdFrMsinMvFvrvd刚体绕Oz轴旋转,力作用在刚体上点P,且在转动平面内,为由点O到力的作用点P的位矢.FvrvFrMvvv对转轴Z的力矩Fv0,0iiMFvv0,0iiMFvvFvFvFvFv一、力矩Mv§7.3刚体定轴转动的转动定律转动惯量zOkvFvrv讨论FFFzvvvFrkMzvvvsinrFMzzFvFv1）若力不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量Fv2）合力矩等于各分力矩的矢量和vvvv321MMMM其中对转轴的力矩为零，故对转轴的力矩zFF3）刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消jiijMMvvjrvirvijijFvjiFvdOijMvjiMvOrvmz二、转动定律FvtFvnFvsinrFMFmamr2eijjjjMMmr2）刚体质量元受外力，内力jFevjFivMv1）单个质点与转轴刚性连接m外力矩内力矩2Mmr2MrFmrOzjmjrvjFevjFiv2eijjjjjjMMmr0jijjiijMMM2(ejjjjMmr)2jjjImr定义转动惯量2dIrmOzjmjrvjFevjFiv即)(2iirmI于是得到ddMIIt刚体定轴转动定律写成矢量形式dtdIIM刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.a.力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。b.内力矩不改变刚体定轴转动的状态c.若M一定，则I.转动惯量是转动惯性的量度.d.与地位相当2.说明amFvvM=IβM对应F，I对应m，对应a三、转动惯量质量离散分布刚体的转动惯量2221122jjjImrmrmr转动惯性的计算方法质量连续分布刚体的转动惯量22djjjImrrm：质量元md定义：刚体的转动惯量等于刚体上各质点的质量与各质点到转轴距离平方的乘积之和。物理意义：转动惯性的量度.I大转动惯性大dldmdsdmdVdm质量为线分布质量为面分布质量为体分布其中、、分别为质量的线密度、面密度和体密度。线分布体分布面分布质量连续分布的刚体的转动惯量2mIrdm注意：只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量。O′AB[例1]求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。解：取如图坐标，dm=dxdxxdIIOO2dmxIO220Lxdx32mL/222LLxdx122mL/L/2L/2OXdmdm对轴的转动惯量可见，同一刚体的转轴的位置不同，刚体转动惯量的值不同。ABLXdxO′dI=x2dm=x2dxOROR3402ππ2dRIrrRrdr[例2]一质量为,半径为的均匀圆盘，求通过盘中心O并与盘面垂直的轴的转动惯量.mR解:设圆盘面密度为，在盘上取半径为，宽为的圆环rrd2πRm而rrmdπ2d圆环质量212ImR所以232πdddrmrr圆环对轴的转动惯量[例3]内半径为R1外半径R2为质量为m的匀质中空圆柱绕其对称轴的转动惯量oo2R1RrrRRmmd2)(d212221222212()dRRmIrrrRR)(212122RRm[例4]质量为m半径为R的匀质薄球壳绕过中心轴的转动惯量sinRd在球面取一圆环带，半径sinRrrRdRmdm2422Irdm2032sin2dmR232mR[例5]质量为m半径为R的匀质球体绕过球心轴的转动惯量MR把球体看作无数个同心薄球壳的组合drrRmdm23434drrRm233223IdIdmrRdrrRm0432252mR一些均匀刚体的转动惯量表I的大小和下列因素有关：明确：•刚体的总质量；•刚体的质量分布；•转轴位置。四、平行轴定理222221111243ACLIImmLmLmL＝＋推广：若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚体对其转动惯量为I，则有——平行轴定理I＝IC+md2。说明：1)通过质心的轴线的转动惯量最小；2)平行轴定理可以用来计算刚体的转动惯量。ABLXABL/2L/2CXccodJJco五、垂直轴定理对于薄板刚体，若建立坐标系Oxyz，其中z轴与薄板垂直，Oxy平面在薄板内，则薄板刚体对z轴的转动惯量等于对x轴的转动惯量和对y轴的转动惯量之和zxyIIIyxz圆盘RCm[例1]:一定滑轮的质量为，半径为，一轻绳两边分别系和两物体挂于滑轮上，绳不伸长，绳与滑轮间无相对滑动。不计轴的摩擦，初角速度为零，求滑轮转动角速度随时间变化的规律。m1m2mr2m1mrm已知：0021,r,m,m,m求：?t思路：质点平动与刚体定轴转动关联问题，隔离法，分别列方程，先求角加速度,再三、转动定律的应用解：在地面参考系中，分别以为研究对象，用隔离法，分别以牛顿第二定律和刚体定轴转动定律建立方程。mmm,,211T1agm1以向下为正方向2a2Tgm2以向上为正方向思考：??2121TTaa11111:(1)mmgTma22222:(2)mTmgma×因为重滑轮加速转动r+1T2TNmg以顺时针方向为正方向四个未知数：三个方程？,,,2121TTaaa绳与滑轮间无相对滑动，由角量和线量的关系：)4(ra解得：rmmmgmm212121rmmmgtmmt21212102121(3)2TrTrImrm2m1[例2]：质量为m1的物体置于完全光滑的水平桌面上,用一根不可伸长的细绳拉着,细绳跨过固定于桌子边缘的定滑轮后，在下端悬挂一个质量为m2的物体,如图所示。已知滑轮是一个质量为M,半径为r的圆盘,轴间的摩擦力忽略不计。求滑轮与m1之间的绳子的张力、滑轮与m2之间的绳子的张力以及物体运动的加速度。1Tv2Tvav解：物体m1、m2和滑轮的受力情况如图所示。列方程T1=m1a（1）m2gT2=m2a（2）对于滑轮22112TrTrIMr（3）解以上四个联立方程式,可得1TvNFvgmv1α2Tv1Tv2Tvavgmv2(4)raMmmgma21212MmmgmmT2121211MmmgmMmT212121212)(此题还可以用能量的方法求解。在