专题04--二次函数中的存在性问题之直角三角形(18阿坝)(解析版)

中考数学复习资料中考数学复习资料专题04二次函数中的存在性问题之直角三角形【典例1】（2018•阿坝州）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴分别交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（1）求此二次函数解析式；（2）点D为抛物线的顶点，试判断△BCD的形状，并说明理由；（3）将直线BC向上平移t（t＞0）个单位，平移后的直线与抛物线交于M，N两点（点M在y轴的右侧），当△AMN为直角三角形时，求t的值．【点拨】（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数解析式；（2）利用配方法及二次函数图象上点的坐标特征，可求出点C、D的坐标，利用两点间的距离公式可求出CD、BD、BC的长，由BC2+BD2＝CD2可证出△BCD为直角三角形；（3）根据点B、C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的解析式，进而可找出平移后直线的解析式，联立两函数解析式成方程组，通过解方程组可找出点M、N的坐标，利用两点间的距离公式可求出AM2、AN2、MN2的值，分别令三个角为直角，利用勾股定理可得出关于t的无理方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）将A（1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，得：，解得：，{𝑎+𝑏+3=09𝑎+3𝑏+3=0{𝑎=1𝑏=‒4∴此二次函数解析式为y＝x2﹣4x+3．（2）△BCD为直角三角形，理由如下：∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴顶点D的坐标为（2，﹣1）．当x＝0时，y＝x2﹣4x+3＝3，∴点C的坐标为（0，3）．中考数学复习资料中考数学复习资料∵点B的坐标为（3，0），∴BC3，BD，CD2=(3‒0)2+(0‒3)2=2=(2‒3)2+(‒1‒0)2=2=(2‒0)2+(‒1‒3)2=．5∵BC2+BD2＝20＝CD2，∴∠CBD＝90°，∴△BCD为直角三角形．（3）设直线BC的解析式为y＝kx+c（k≠0），将B（3，0），C（0，3）代入y＝kx+c，得：，解得：，{3𝑘+𝑐=0𝑐=3{𝑘=‒1𝑐=3∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，∴将直线BC向上平移t个单位得到的直线的解析式为y＝﹣x+3+t．联立新直线与抛物线的解析式成方程组，得：，{𝑦=‒𝑥+3+𝑡𝑦=𝑥2‒4𝑥+3解得：，，{𝑥1=3+9+4𝑡2𝑦1=3+2𝑡‒9+4𝑡2{𝑥2=3‒9+4𝑡2𝑦2=3+2𝑡+9+4𝑡2∴点M的坐标为（，），点N的坐标为（，）．3+9+4𝑡23+2𝑡‒9+4𝑡23‒9+4𝑡23+2𝑡+9+4𝑡2∵点A的坐标为（1，0），∴AM2＝（1）2+（0）2＝t2+5t+7﹣（1+t），AN2＝（3+9+4𝑡2‒3+2𝑡‒9+4𝑡2‒9+4𝑡3‒9+4𝑡21）2+（0）2＝t2+5t+7+（1+t），MN2＝（）2+（‒3+2𝑡+9+4𝑡2‒9+4𝑡3‒9+4𝑡2‒3+9+4𝑡2）2＝18+8t．3+2𝑡+9+4𝑡2‒3+2𝑡‒9+4𝑡2∵△AMN为直角三角形，∴分三种情况考虑：①当∠MAN＝90°时，有AM2+AN2＝MN2，即t2+5t+7﹣（1+t）t2+5t+7+（1+t）9+4𝑡+9+4𝑡=18+8t，整理，得：t2+t﹣2＝0，解得：t1＝1，t2＝﹣2（不合题意，舍去）；②当∠AMN＝90°时，有AM2+MN2＝AN2，即t2+5t+7﹣（1+t）18+8t＝t2+5t+7+（1+t）9+4𝑡+中考数学复习资料中考数学复习资料，9+4𝑡整理，得：t2﹣2t﹣8＝0，解得：t1＝4，t2＝﹣2（不合题意，舍去）；③当∠ANM＝90°时，有AN2+MN2＝AM2，即t2+5t+7+（1+t）18+8t＝t2+5t+7﹣（1+t）9+4𝑡+，9+4𝑡整理，得：（1+t）＝0．9+4𝑡+9+4𝑡∵t＞0，∴该方程无解（或解均为增解）．综上所述：当△AMN为直角三角形时，t的值为1或4．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点间的距离公式结合勾股定理的逆定理找出BC2+BD2＝CD2；（3）分∠MAN＝90°、∠AMN＝90°及∠ANM＝90°三种情况考虑．【精练1】（2019春•东莞市校级月考）已知抛物线y＝﹣x2+bx与x轴交于点A，抛物线的对称轴经过点C（2，﹣2），顶点为M，（1）求b的值及直线AC的解析式；（2）P是抛物线在x轴上方的一个动点，过P的直线y＝﹣x+m与直线AC交于点D，与直线MC交于点E，连接MD，MP．①当m为何值时，△MDE的面积最大，最大为多少？②当m为何值时，MP⊥PD？③DE+DP的最大值是　6　（直接写出结果）2中考数学复习资料中考数学复习资料【点拨】（1）利用抛物线的对称轴为直线x＝2求得b的值；由点A、C的坐标求得直线AC的解析式；（2）①先得出E（2，m﹣2），M（2，4），D（m+2，m﹣2），由S△MDE[4﹣（m﹣2）]×（1212=12×12m+2﹣2）（m﹣3）2，依据二次函数的性质可得答案．=‒14+94②由题意知MP⊥PD，结合PD⊥AD，MP⊥PD得MP∥AD，从而得出直线MP解析式为y＝x+2，再联立方程组求出点P的坐标可得答案．③过点C作x轴的平行线，交直线PD于点H，作PG⊥CH于点G，证△CDH≌△CDE得DE＝DH，据此知DE+DP＝DH+DP＝PH，结合PHPG知当PG取得最大值时，DE+DP取得最大值，据此求=2解可得．【解答】解：（1）由题意得：抛物线y＝﹣x2+bx的对称轴为直线x＝2，∴2，𝑏2=∴b＝4，抛物线解析式为y＝﹣x2+4x．∴A（4，0）∵C（2，﹣2），∴直线AC解析式为y＝x﹣4．（2）①由题意得E（2，m﹣2），M（2，4），D（m+2，m﹣2）1212S△MDE[4﹣（m﹣2）]×（m+2﹣2）=12×12m2m=‒14+32（m﹣3）2，=‒14+94∴当m＝3时，面积可取最大，最大面积为；94②由题意得，MP⊥PD，∵PD⊥AD，MP⊥PD∴MP∥AD∴直线MP解析式为y＝x+2联立方程组，，{𝑦=𝑥+2𝑦=‒𝑥2+4𝑥解得P（1，3），∵3＝﹣1+m，中考数学复习资料中考数学复习资料∴m＝4；③如图所示，过点C作x轴的平行线，交直线PD于点H，作PG⊥CH于点G，∵∠HCD＝∠ECD＝45°，CD＝CD，∠CDH＝∠CDE＝90°，∴△CDH≌△CDE（ASA），∴DE＝DH，则DE+DP＝DH+DP＝PH，又∵Rt△PGH中，PHPG，=2∴当PG取得最大值时，DE+DP取得最大值，∵M（2，4），C（2，﹣2），∴当点P与点M重合时，PG取得最大值，最大值为4﹣（﹣2）＝6，则DE+DP的最大值为6，2故答案为：6．2【点睛】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、两直线相交的问题及全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识点．【精练2】（2019•卫辉市一模）如图所示，菱形ABCD位于平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过菱形的三个顶点A、B、C，已知A（﹣3，0）、B（0，﹣4）．中考数学复习资料中考数学复习资料（1）求抛物线解析式；（2）线段BD上有一动点E，过点E作y轴的平行线，交BC于点F，若S△BOD＝4S△EBF，求点E的坐标；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△BPD是以BD为斜边的直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由．【点拨】（1）由点A，B的坐标可得出AB的长度，利用菱形的性质结合点B的坐标可得出点C的坐标，再由点A，B，C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线解析式；（2）由EF∥OB，AD∥BC可得出∠OBD＝∠FEB，∠ODB＝∠FBE，进而可得出△BOD∽△EFB，利用相似三角形的性质及S△BOD＝4S△EBF，可得出BF＝1，由点B，D的坐标，利用待定相似法可求出直线BD的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点E的坐标；（3）利用二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为直线x，设点P的坐标为（，m），结合点B，=5252D的坐标可得出BD2，BP2，DP2的值，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（0，﹣4），∴OA＝3，OB＝4，∴AB5．=𝑂𝐴2+𝑂𝐵2=∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，BC＝AB＝5，∴点C的坐标为（5，﹣4）．将A（﹣3，0），B（0，﹣4），C（5，﹣4）代入y＝ax2+bx+c，得：中考数学复习资料中考数学复习资料，解得：，{9𝑎‒3𝑏+𝑐=0𝑐=‒425𝑎+5𝑏+𝑐=‒4{𝑎=16𝑏=‒56𝑐=‒4∴抛物线解析式为yx2x﹣4．=16‒56（2）∵EF∥OB，AD∥BC，∴∠OBD＝∠FEB，∠ODB＝∠FBE，∴△BOD∽△EFB，∴（）2．𝑆△𝐵𝑂𝐷𝑆△𝐸𝐹𝐵=𝑂𝐷𝐵𝐹∵S△BOD＝4S△EBF，∴OD＝2BF．∵AD＝AB＝5，OA＝3，∴OD＝2，∴点D的坐标为（2，0），BF＝1．设直线BD的解析式为y＝kx+d（k≠0），将B（0，﹣4），D（2，0）代入y＝kx+d，得：，解得：，{𝑑=‒42𝑘+𝑑=0{𝑘=2𝑑=‒4∴直线BD的解析式为y＝2x﹣4．当x＝1时，y＝2x﹣4＝﹣2，∴点E的坐标为（1，﹣2）．（3）∵抛物线解析式为yx2x﹣4，=16‒56∴抛物线的对称轴为直线x．=‒‒562×16=52设点P的坐标为（，m），52∵点B的坐标为（0，﹣4），点D的坐标为（2，0），∴BP2＝（0）2+[m﹣（﹣4）]2＝m2+8m，DP2＝（2）2+（m﹣0）2＝m2，BD2＝（2﹣52‒+89452‒+140）2+[0﹣（﹣4）]2＝20．中考数学复习资料中考数学复习资料∵△BPD是以BD为斜边的直角三角形，∴BP2+DP2＝BD2，即m2+8mm220，+894++14=整理，得：4m2+16m+5＝0，解得：m1，m2，=‒4‒112=‒4+112∴抛物线的对称轴上存在点P，使△BPD是以BD为斜边的直角三角形，点P的坐标为（，52‒4‒112）或（，）．52‒4+112【点睛】本题考查了勾股定理、菱形的性质、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）利用相似三角形的性质，求出点E的横坐标；（3）利用勾股定理，找出关于m的一元二次方程．【精练3】（2009•成都）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝a（x+1）2+c（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为M，若直线MC的函数表达式为y＝kx﹣3，与x轴的交点为N，且cos∠BCO．=31010中考数学复习资料中考数学复习资料（1）求此抛物线的函数表达式；（2）在此抛物线上是否存在异于点C的点P，使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）过点A作x轴的垂线，交直线MC于点Q．若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？【点拨】（1）根据MC的函数式不难得出C点的坐标应该是（0，﹣3），即c＝﹣3，那么要求抛物线的解析式还缺少一个点的坐标，可根据OC＝3，以及∠BCO的余弦值在直角三角形BCO中运用勾股定理求出OB的长，也就得出了B的坐标，进而可求出抛物线的解析式．（2）假设存在这样的点P，那么要分两种情况进行讨论：