四年级秋季班第2讲 巧求面积

四年级秋季班第二讲——巧求面积李拉娜[e-mail]知识储备1、面积公式长方形面积=长×宽正方形面积=边长×边长2、特殊数21、41（1）平行四边形的对角线把平行四边形分成两个相同的三角形。利用这一点可以证明下面的结论：平行四边形中的一点向四个顶点连线，得到的四个三角形，如下图，图中红色块的面积和等于绿色块的面积和。（2）依次连接正方形四边的中点得到的新正方形是原正方形面积的一半。（3）平行四边形的两条对角线把平行四边形分成了四个面积相等的三角形（但是这四个三角形不一定相同）。四年级秋季班第二讲——巧求面积李拉娜[e-mail]（4）下图中两个正方形重叠部分面积是正方形ABCD面积的41,其中O为正方形ABCD的中心。第二讲巧求面积面积是各大杯赛的必考知识点。这一讲主要培养学生的转化思想。把不规则图形转化为规则图形，这是主要的目标。知识框架：一、长方形的性质（1）交叉相乘，乘积相等。分割：把不规则图形分割成一些可求面积的规则图形。添补：添上一个规则图形或者与所求图形有数量关系的图形，使原图形变为可求面积的规则图形。平移、旋转：主要通过移动的方法把分散的块集中到一个规则的图形中。四年级秋季班第二讲——巧求面积李拉娜[e-mail]如上图，3241SSSS，也就是说，对角的两个长方形面积相乘，乘积相等。练习1如图，长方形ABCD被分成9个小长方形，其中5个小长方形的面积如图中所标注，求长方形ABCD的面积。分析：先求第二行第一个的面积23611S，再求第一行第三个的面积46832S，然后求第三行第二个的面积1286163S，第三行第一个的面积461224S。那么长方形ABCD的面积为5616124862431。（2）四年级秋季班第二讲——巧求面积李拉娜[e-mail]如上图，图形中标注的字母表示那一块的面积，那么a=b，c=d。BD为长方形ABCD的对角线，那么三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积。caS的面积三角形ABD1，dbS的面积三角形BCD2，那么21SS。二、分割求图形的面积练习2一个长方形，如果长减少5厘米，宽减少2厘米，那么面积就减少66平方厘米，这时剩下部分刚好成为一个正方形。求原来长方形的面积。分析：下图中的阴影部分就是被剪去的部分。把阴影部分做如下的分割：其中C是长为5厘米、宽为2厘米的长方形，面积为1052平方厘米。A与B的面积之和为561066平方厘米。B的面积=2×正方形边长，A的面积=5×正方形边长。如果把B的面积看成2份，则A的面积就是5份，A与B的面积之和是7份，1份就是8756平方厘米。那么B的面积就是1682平方厘米，正方形的边长为8216厘米。原长方形的长为1358厘米，宽为1028厘米。原长方形的面积为1301013平方厘米。练习3（第12届“迎春杯”刊赛试题）街心花园里有一个正方形的花坛，四周有一条宽为1米的甬道（如图），如果甬道的面积是12平方米，那么中间的花坛面积是多少平方米？四年级秋季班第二讲——巧求面积李拉娜[e-mail]分析：（方法一）把甬道做如下图的分割：四个角上的是相同的正方形，边长均为1米，这四个正方形的面积之和为4142平方米。四个蓝色的长方形是相同的，宽为1米，它们的面积为24)412(平方米，那么长为212米。花坛的边长正好是长方形的长，花坛面积为422平方米。（方法二）把甬道做如下图的分割：分成的四个长方形是相同的，面积为3412平方米。宽是1米，那么长是3米。花坛的边长为213米，面积为422米。拓展1四个完全相同的长方形拼成下图，大正方形面积是100平方分米，小正方形面积是16平方分米。求每个长方形的面积是多少？长方形宽为多少米？方法二这种分割方法叫弦图分割。弦图分割时杯赛考试的热点。在弦图分割中，大正方形的边长=长方形的长+宽，小正方形的边长=长方形的长-宽。四年级秋季班第二讲——巧求面积李拉娜[e-mail]分析：长方形的长+宽=大正方形的边长=10分米，长方形的长-宽=小正方形的边长为4分米。长=72)410(分米，宽=32)410(分米，长方形面积为2137平方分米。拓展2在一个正方形中放入一个四个顶点与大正方形相接的小正方形（如图），如果两个正方形的周长相差16cm，面积相差96cm²，小正方形的面积是多少？分析：（方法一）将中间的小正方形旋转放在正中间，使图形变换成下图的状态：周长差为16，边长差为4。那么图中白色区域的宽度为2，面积为96。就转换为练习2的图形了。（方法二）将中间的小正方形旋转放在如下图的状态：四年级秋季班第二讲——巧求面积李拉娜[e-mail]图中AB=4，空白部分的面积为96，那么可以用练习1的分割方法来解决这道题。三、添补求图形的面积练习3图中数字分别表示两个长方形和一个直角三角形的面积，另一个三角形的面积是多少？分析：在上面的图形中添上两个直角三角形，变成了一个交叉相乘的模型：根据长方形对角线的性质，B与A相同，右下角的面积也为5。那么A、B的面积之和为18)25(1215，9218A。拓展（第三届“华杯赛口试题”）这是一个楼梯的截面图，高280厘米，每级台阶的宽和高都是20厘米。问：此楼梯截面的面积是多少？总结：回字型、L型等形状，可以把图形分割成长方形与正方形的组合。分割的前提是：分割出来的图形是可求面积的。总结：直角三角形，再添补上一个相同的三角形变成长方形。直角三角形的面积为长方形面积的一半。四年级秋季班第二讲——巧求面积李拉娜[e-mail]分析：如果把楼梯的截面不成下图中的长方形，那么长方形的高是280厘米，宽是300厘米，面积恰好是所求截面的2倍。另外，L型的图形不仅可以用分割的方法做，也可以用添补的方法解决：B的面积=大长方形的面积长方形A的面积。四、平移与旋转练习2中把剪去部分分割成下图后也可以用旋转的方法做：总结：添补改造图形，目标是把所求面积转化为规则图形的面积减去所添图形的面积，所添图形的面积一定是可以求的，或者与所有图形的面积有倍数关系，比如说面积相等。四年级秋季班第二讲——巧求面积李拉娜[e-mail]把B移动到下图中的位置：A与B拼成的是一个长方形，长是剪成的正方形的边长，宽为725厘米，面积为56平方厘米，那么正方形的边长为8756厘米。练习4如图所示，7个完全相同的长方形拼成了图中的空白部分，已知最大的长方形长为24cm，求阴影部分的面积。分析：把最下面的长方形移动到最左边，从右边第一个长方形移到最上面，所有的阴影就会凑到成了一个长方形，如下图：上图中，红线既是小长方形的长，又是小长方形的4条宽，那么4宽长，蓝线等于1条小长方形的长+2条小长方形的宽=24，那么624宽，宽=4cm。绿线既是阴影的长，又是小长方形的2条宽。那么阴影的长为8cm，宽为4cm，面积为32cm²。四年级秋季班第二讲——巧求面积李拉娜[e-mail]拓展用同样大小的瓷砖铺一个正方形的地面，两条对角线上铺黑色的，其它地方铺白色的，如图所示。如果铺满这块地面共用101块黑色瓷砖，那么白色瓷砖用了多少块？分析：把对角线上的瓷砖平移到正方形的两条边上，如下图。在这一个平移的过程中瓷砖的位置发生了变化，但数量没有变，此时白色瓷砖组成了一个正方形，大正方形的边长上能放512)1101(块。白色瓷砖组成的正方形的边长上能放：50151块，所以白色瓷砖共用了25005050块。练习5如图，大正方形的边长为10cm，连接大正方形的各边中点得到小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积是多少？分析：由图形的对称性，把中间的阴影部分旋转到下图中的位置：四年级秋季班第二讲——巧求面积李拉娜[e-mail]阴影面积为5021010平方厘米。练习6（09年希望杯四年级1试，6分）图11中“风车”（阴影部分）的面积等于2cm分析：风车的每一个扇叶形状如下左图，我们可以把上面的小三角形分割出来，旋转至下方的正方形中，如右图：一共有四个扇叶，每个扇叶的面积都为1cm²，整个风车面积为4cm²。总结：通过平移或旋转，可以把分散的块集中成一个规则的图形。四年级秋季班第二讲——巧求面积李拉娜[e-mail]五、补充知识点以下内容为三升四的暑假班第一讲——四边形中的基本图形中的知识点。1、平行四边形的面积=底×高从平行四边形ABCD的一个顶点C向对边AB做一条垂线（画直角）CH。称CH为底边AB上的高。那么平行四边形ABCD的面积=AB×CH。2、三角形的面积=底×高÷2类似平行四边形，称AH为底边BC上的高。三角形ABC的面积=BC×AH÷23、梯形面积=（上底+下底）×高÷2梯形中平行的两条边，称上面的边为上底，下面的边为下底。从两条底中较短的一条底上的顶点一定能向另外一条底做垂线，如图，称AH为梯形ABCD的高。梯形ABCD的面积=（AB+CD）×AH÷2。练习7如下图是两个正方形，边长分别是8厘米和4厘米，那么阴影部分的面积是多少？四年级秋季班第二讲——巧求面积李拉娜[e-mail]分析：阴影下方的三角形面积为242)84(4平方厘米，阴影上方的三角形面积为32288平方厘米，阴影的面积为正方形的面积之和减去这两个三角形的面积，故所求面积为2432244488平方厘米。4、一半模型在平行四边形一边上（或延长线上）取一个点，在这个点与对边的两个顶点之间连线，形成一个三角形，此三角形的面积为平行四边形面积的一半。上图中，三角形EBC的面积都是平行四边形ABCD的一半。